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高中數(shù)學第四講數(shù)學歸納法證明不等式 2 用數(shù)學歸納法證明不等式課后練習新人教A版選修4-5

上傳人：san****019

文檔編號：11974423

上傳時間：2020-05-04

格式：DOC

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2016-2017學年高中數(shù)學第四講數(shù)學歸納法證明不等式 2 用數(shù)學歸納法證明不等式課后練習新人教A版選修4-5 一、選擇題 1．用數(shù)學歸納法證明“2n>n2＋1對于n>n0的正整數(shù)n都成立”時，第一步證明中的起始值n0應取(　　) A．2　　　　　　　　　　　　 B．3 C．5 D．6 解析：　使2n>n2＋1，經(jīng)過計算知應選C. 答案：　C 2．設p(k)：1＋＋＋…＋≤＋k(k∈N)，則p(k＋1)為(　　) A．1＋＋＋…＋＋≤＋k＋1 B．1＋＋＋…＋＋≤＋k＋1 C．1＋＋＋…＋＋＋…＋≤＋k＋1 D．上述均不正確解析：　分母是底數(shù)為2的冪，且冪指數(shù)是連續(xù)自然增加，故選A. 答案：　A 3．用數(shù)學歸納法證明：1＋a＋a2＋…＋an＋1(a≠1)，在驗證n＝1時，左端計算所得的項為(　　) A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 答案：　C 4．用數(shù)學歸納法證明“1＋＋＋…＋1)”時，由n＝k(k>1)不等式成立，推證n＝k＋1時，左邊應增加的項數(shù)是(　　) A．2k－1 B．2k－1 C．2k D．2k＋1 解析：　由k到k＋1，則左邊增加了＋＋…＋共2k項．答案：　C 二、填空題 5．用數(shù)學歸納法證明：1＋＋＋…＋1)，第二步證明從“k到k＋1”，左端增加的項數(shù)是________．答案：　2k 6．設a，b均為正實數(shù)(n∈N＋)，已知M＝(a＋b)n，N＝an＋nan－1b，則M，N的大小關系為________(提示：利用貝努利不等式，令x＝)．解析：　由貝努利不等式 (1＋x)n>1＋nx，令x＝， ∴n>1＋n， ∴n>1＋n，即(a＋b)n>an＋nan－1b. 故M>N. 答案：　M>N 三、解答題 7．求證：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n135…(2n－1)(n∈N＋)．證明：　(1)當n＝1時，等式左邊＝2，等式右邊＝21＝2， ∴等式成立． (2)假設n＝k(k∈N＋)等式成立，即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k135…(2k－1)成立．那么n＝k＋1時，(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝ 2(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)＝2k＋1135…(2k－1)[2(k＋1)－1]．即n＝k＋1時等式成立．由(1)(2)可知，對任何n∈N＋等式均成立． 8．設f(n)＝1＋＋＋…＋，由f(1)＝1>，f(3)>1，f(7)>，f(15)>2，….你能得到怎樣的結(jié)論？并證明．解析：　數(shù)列1,3,7,15，…，通項公式為an＝2n－1，數(shù)列，1，，2，…通項公式an＝， ∴猜測：f(2n－1)>.下面用數(shù)學歸納法證明： ①當n＝1時，f(21－1)＝f(1)＝1>，不等式成立． ②假設當n＝k(k≥1，k∈N＋)時不等式成立，即f(2k－1)>，則f(2k＋1－1)＝f(2k－1)＋＋＋…＋＋>f(2k－1)＋＋…＋＝f(2k－1)＋>＋＝. ∴當n＝k＋1時不等式也成立．據(jù)①②對任何n∈N＋原不等式均成立． 9．是否存在常數(shù)a，b，c使得122＋232＋342＋…＋n(n＋1)2＝(an2＋bn＋c)對一切n∈N＋都成立？證明你的結(jié)論．解析：　此題可用歸納猜想證明來思考．假設存在a，b，c使題設的等式成立．令n＝1，得4＝(a＋b＋c)；當n＝2時， 22＝(4a＋2b＋c)；當n＝3時，70＝9a＋3b＋c，聯(lián)立得a＝3，b＝11，c＝10. ∴當n＝1,2,3時，等式122＋232＋342＋…＋n(n＋1)2 ＝成立．猜想等式對n∈N＋都成立，下面用數(shù)學歸納法來證明．記Sn＝122＋232＋…＋n(n＋1)2，設當n＝k時，上面等式成立，即有Sk＝. 則當n＝k＋1時，Sk＋1＝Sk＋(k＋1)(k＋2)2 ＝(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2 ＝(k＋2)(3k＋5)＋(k＋1)(k＋2)2 ＝(3k2＋5k＋12k＋24) ＝[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]． ∴當n＝k＋1時，等式成立．綜上所述，當a＝3，b＝11，c＝10時，題設的等式對n∈N＋均成立．

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