?a
10、+2·+a-b?2·>0,顯然成立.
一、高考大題
1.(2018·北京高考)設(shè)n為正整數(shù),集合A={α|α=(t1,t2,…,tn),tk∈{0,1},k=1,2,…,n}.對于集合A中的任意元素α=(x1,x2,…,xn)和β=(y1,y2,…,yn),記M(α,β)=[(x1+y1-|x1-y1|)+(x2+y2-|x2-y2|)+…+(xn+yn-|xn-yn|)].
(1)當(dāng)n=3時(shí),若α=(1,1,0),β=(0,1,1),求M(α,α)和M(α,β)的值;
(2)當(dāng)n=4時(shí),設(shè)B是A的子集,且滿足:對于B中的任意元素α,β,當(dāng)α,β相同時(shí),M(α,β)是奇數(shù);當(dāng)α,β
11、不同時(shí),M(α,β)是偶數(shù).求集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值;
(3)給定不小于2的n,設(shè)B是A的子集,且滿足:對于B中的任意兩個(gè)不同的元素α,β,M(α,β)=0.寫出一個(gè)集合B,使其元素個(gè)數(shù)最多,并說明理由.
解 (1)因?yàn)棣粒?1,1,0),β=(0,1,1),
所以M(α,α)=[(1+1-|1-1|)+(1+1-|1-1|)+(0+0-|0-0|)]=2,
M(α,β)=[(1+0-|1-0|)+(1+1-|1-1|)+(0+1-|0-1|)]=1.
(2)設(shè)α=(x1,x2,x3,x4)∈B,
則M(α,α)=x1+x2+x3+x4.
由題意知x1,x2,x3,x4∈{0,
12、1},且M(α,α)為奇數(shù),
所以x1,x2,x3,x4中1的個(gè)數(shù)為1或3.
所以B?{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(0,1,1,1),(1,0,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1,0)}.
將上述集合中的元素分成如下四組:
(1,0,0,0),(1,1,1,0);(0,1,0,0),(1,1,0,1);(0,0,1,0),(1,0,1,1);(0,0,0,1),(0,1,1,1).
經(jīng)驗(yàn)證,對于每組中兩個(gè)元素α,β均有M(α,β)=1.
所以每組中的兩個(gè)元素不可能同時(shí)是集合B的元素.
所以集合B中元素的個(gè)數(shù)不超過4.
13、
又集合{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}滿足條件,
所以集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值為4.
(3)設(shè)Sk={(x1,x2,…,xn)|(x1,x2,…,xn)∈A,
xk=1,x1=x2=…=xk-1=0}(k=1,2,…,n),
Sn+1={(x1,x2,…,xn)|x1=x2=…=xn=0},
所以A=S1∪S2∪…∪Sn+1.
對于Sk(k=1,2,…,n-1)中的不同元素α,β,經(jīng)驗(yàn)證,M(α,β)≥1.
所以Sk(k=1,2,…,n-1)中的兩個(gè)元素不可能同時(shí)是集合B的元素.
所以B中元素的個(gè)數(shù)不超過n+1.
取ek=(
14、x1,x2,…,xn)∈Sk且xk+1=…=xn=0(k=1,2,…,n-1).
令B={e1,e2,…,en-1}∪Sn∪Sn+1,則集合B的元素個(gè)數(shù)為n+1,且滿足條件.
故B是一個(gè)滿足條件且元素個(gè)數(shù)最多的集合.
2.(2018·江蘇高考)記f′(x),g′(x)分別為函數(shù)f(x),g(x)的導(dǎo)函數(shù),若存在x0∈R,滿足f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0),則稱x0為函數(shù)f(x)與g(x)的一個(gè)“S點(diǎn)”.
(1)證明:函數(shù)f(x)=x與g(x)=x2+2x-2不存在“S點(diǎn)”;
(2)若函數(shù)f(x)=ax2-1與g(x)=ln x存在“S點(diǎn)”,求實(shí)數(shù)a的值;
(3)
15、已知函數(shù)f(x)=-x2+a,g(x)=,對任意a>0,判斷是否存在b>0,使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)存在“S點(diǎn)”,并說明理由.
解 (1)證明:函數(shù)f(x)=x,g(x)=x2+2x-2,
則f′(x)=1,g′(x)=2x+2,
由f(x)=g(x)且f′(x)=g′(x),
得此方程組無解.
因此,f(x)=x與g(x)=x2+2x-2不存在“S點(diǎn)”.
(2)函數(shù)f(x)=ax2-1,g(x)=ln x,
則f′(x)=2ax,g′(x)=,
設(shè)x0為f(x)與g(x)的“S點(diǎn)”,由f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0),得
即(*)
得
16、ln x0=-,即x0=e-,則a==.
當(dāng)a=時(shí),x0=e-滿足方程組(*),
即x0為f(x)與g(x)的“S點(diǎn)”,因此,a的值為.
(3)f′(x)=-2x,g′(x)=,x≠0,
f′(x0)=g′(x0)?bex0=->0?x0∈(0,1),
f(x0)=g(x0)?-x+a==-?
a=x-,
令h(x)=x2--a=,
x∈(0,1),a>0,
設(shè)m(x)=-x3+3x2+ax-a,x∈(0,1),a>0,
則m(0)=-a<0,m(1)=2>0?m(0)·m(1)<0,
又m(x)的圖象在(0,1)上連續(xù)不斷,
∴m(x)在(0,1)上有零點(diǎn),則h(x)
17、在(0,1)上有零點(diǎn).因此,對任意a>0,存在b>0,使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)存在“S點(diǎn)”.
二、模擬大題
3.(2018·貴州安順調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=3x-2x,求證:對于任意的x1,x2∈R,均有≥f.
證明 要證明≥f,
即證明≥3-2·,
因此只要證明-(x1+x2)≥3-(x1+x2),
即證明≥3,
因此只要證明≥,
由于x1,x2∈R時(shí),3x1>0,3x2>0,
由基本不等式知≥(當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí),等號成立)顯然成立,
故原結(jié)論成立.
4.(2018·山東臨沂三校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足an+Sn=2.
(
18、1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求證:數(shù)列{an}中不存在三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列.
解 (1)當(dāng)n=1時(shí),a1+S1=2a1=2,則a1=1.
又an+Sn=2,所以an+1+Sn+1=2,
兩式相減得an+1=an,所以{an}是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列,所以an=.
(2)證明:(反證法)假設(shè)存在三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列,記為ap+1,aq+1,ar+1(p