2、
3.若函數(shù)f(x)=x+(x>2)在x=a處取最小值,則a等于( )
A.1+ B.1+ C.3 D.4
答案 C
解析 ∵x>2,∴x-2>0,∴f(x)=x+=(x-2)++2≥2+2=2+2=4,當且僅當x-2=,即(x-2)2=1時等號成立,解得x=1或3.又∵x>2,∴x=3,即a等于3時,函數(shù)f(x)在x=3 處取得最小值,故選C.
4.函數(shù)f(x)=x+(x<0)的值域為( )
A.(-∞,0) B.(-∞,-2]
C.[2,+∞) D.(-∞,+∞)
答案 B
解析 f(x)=-≤-2 =-2,當且僅當-x=,即x=-1時,等號成立.
5.設(shè)0
3、0,∴y==·≤·=,當且僅當x=2-x,即x=1時取等號.
6.函數(shù)y=(x>-1)的圖象的最低點的坐標是( )
A.(1,2) B.(1,-2) C.(1,1) D.(0,2)
答案 D
解析 y==(x+1)+≥2,當x=0時取最小值.
7.設(shè)00,即>a,D錯誤.故選B
4、.
8.已知a>0,b>0,a,b的等比中項是1,且m=b+,n=a+,則m+n的最小值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 B
解析 由題意知ab=1,∴m=b+=2b,n=a+=2a,∴m+n=2(a+b)≥4=4,當且僅當a=b=1時取等號.
9.若2x+2y=1,則x+y的取值范圍是( )
A.[0,2] B.[-2,0]
C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
答案 D
解析 ∵1=2x+2y≥2=2當且僅當2x=2y=,即x=y(tǒng)=-1時等號成立,∴≤,∴2x+y≤,得x+y≤-2.
10.下列函數(shù)中,最小值為4的是( )
A.y=
5、B.y=sinx+(0<x<π)
C.y=ex+4e-x
D.y=log3x+4logx3
答案 C
解析 對于A,因為≥,所以y=+的最小值不是4,所以不滿足題意;對于B,令sinx=t∈(0,1],則y=t+,y′=1-<0,因此函數(shù)y=t+在(0,1]上單調(diào)遞減,所以y≥5,所以不滿足題意;對于C,y≥2=4,當且僅當ex=4e-x,即x=ln 2時取等號,故滿足題意;對于D,當x∈(0,1)時,log3x,logx3<0,所以不滿足題意.
11.某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品,每批的生產(chǎn)準備費用為800元.若每批生產(chǎn)x件,則平均存儲時間為天,且每件產(chǎn)品每天的存儲費用為1元.為使平均到
6、每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與存儲費用之和最小,每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品( )
A.60件 B.80件 C.100件 D.120件
答案 B
解析 若每批生產(chǎn)x件產(chǎn)品,則每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用是元,存儲費用是元,總的費用y=+≥2 =20,當且僅當=時取等號,得x=80(件).故選B.
12.設(shè)M=,且a+b+c=1,a,b,c∈(0,+∞),則M的取值范圍是________.
答案 [8,+∞)
解析 M=··≥=8,當且僅當a=b=c=時取等號.
二、高考小題
13.(2017·天津高考)已知函數(shù)f(x)=設(shè)a∈R,若關(guān)于x的不等式f(x)≥+a在R上恒成立,則a的取值范圍是(
7、)
A.-,2 B.-,
C.[-2,2] D.-2,
答案 A
解析?、佼攛≤1時,關(guān)于x的不等式f(x)≥+a在R上恒成立等價于-x2+x-3≤+a≤x2-x+3在R上恒成立,即有-x2+x-3≤a≤x2-x+3在R上恒成立.由y=-x2+x-3圖象的對稱軸為x=<1,可得在x=處取得最大值-;由y=x2-x+3圖象的對稱軸為x=<1,可得在x=處取得最小值,則-≤a≤.
②當x>1時,關(guān)于x的不等式f(x)≥+a在R上恒成立等價于-x+≤+a≤x+在R上恒成立,即有-x+≤a≤+在R上恒成立,由于x>1,所以-x+≤-2=-2,當且僅當x=時取得最大值-2;因為x>1,所以
8、x+≥2=2,當且僅當x=2時取得最小值2,則-2≤a≤2.
由①②可得-≤a≤2.故選A.
14.(2018·天津高考)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,則2a+的最小值為________.
答案
解析 由已知,得2a+=2a+2-3b≥2=2=2=,當且僅當2a=2-3b時等號成立,由a=-3b,a-3b+6=0,得a=-3,b=1,故當a=-3,b=1時,2a+取得最小值.
15.(2015·重慶高考)設(shè)a,b>0,a+b=5,則+的最大值為________.
答案 3
解析 令t=+,
則t2=(+)2
=a+1+b+3+2·
≤9+a+1+b+3=18,
當
9、且僅當a+1=b+3時,
即a=,b=時,等號成立,
所以t的最大值為3.
16.(2017·江蘇高考)某公司一年購買某種貨物600噸,每次購買x噸,運費為6萬元/次,一年的總存儲費用為4x萬元.要使一年的總運費與總存儲費用之和最小,則x的值是________.
答案 30
解析 設(shè)總費用為y萬元,則y=×6+4x=4x+≥240,當且僅當x=,即x=30時,等號成立.
17.(2017·天津高考)若a,b∈R,ab>0,則的最小值為________.
答案 4
解析 ∵a4+4b4≥2a2·2b2=4a2b2(當且僅當a2=2b2時“=”成立),∴≥=4ab+,由于ab>0,
10、∴4ab+≥2=4當且僅當4ab=時“=”成立,故當且僅當時,的最小值為4.
三、模擬小題
18.(2018·廊坊一模)已知m>0,n>0,2m+n=1,則+的最小值為( )
A.4 B.2 C. D.16
答案 C
解析 ∵m>0,n>0,2m+n=1,則+=(2m+n)·+=++≥+2=,當且僅當n=,m=時取等號.故選C.
19.(2018·山東日照模擬)若實數(shù)x,y滿足xy>0,則+的最大值為( )
A.2- B.2+
C.4+2 D.4-2
答案 D
解析?。剑?+-=1+=1+=1+,因為xy>0,所以>0,>0.由基本不等式可知+≥2,當且僅
11、當x=y(tǒng)時等號成立,所以1+≤1+=4-2.
20.(2018·四川資陽診斷)已知a>0,b>0,且2a+b=ab,則a+2b的最小值為( )
A.5+2 B.8
C.5 D.9
答案 D
解析 ∵a>0,b>0,且2a+b=ab,∴a=>0,解得b>2,即b-2>0,則a+2b=+2b=1++
2(b-2)+4≥5+2=9,當且僅當b=3,a=3時等號成立,其最小值為9.
21.(2018·江西九校聯(lián)考)若正實數(shù)x,y滿足(2xy-1)2=(5y+2)·(y-2),則x+的最大值為( )
A.-1+ B.1
C.1+ D.
答案 A
解析 由(2xy-1)2
12、=(5y+2)·(y-2),可得(2xy-1)2=9y2-(2y+2)2,即(2xy-1)2+(2y+2)2=9y2,得2x-2+2+2=9,又2x-2+2+2≥=,當且僅當2x-=2+時等號成立,所以2x++22≤18,得2x+≤3-2,所以x+≤,所以x+的最大值為-1+.故選A.
22.(2018·南昌摸底)已知函數(shù)y=x+(x>2)的最小值為6,則正數(shù)m的值為________.
答案 4
解析 由x>2,知x-2>0,又m>0,則y=(x-2)++2≥2+2=2+2,取等號的條件為x-2=.從而依題意可知2+2=6,解得m=4.
23.(2018·邯鄲模擬)設(shè)x>0,y>0,且
13、x-2=,則當x+取最小值時,x2+=________.
答案 12
解析 ∵x>0,y>0,∴當x+取最小值時,x+2取得最小值,∵x+2=x2++,又x-2=,∴x2+=+,∴x+2=+≥2=16,∴x+≥4,當且僅當=,即x=2y時取等號,∴當x+取最小值時,x=2y,x2++=16,∴x2++=16,∴x2+=16-4=12.
一、高考大題
本考點在近三年高考中未涉及此題型.
二、模擬大題
1.(2018·河北唐山模擬)已知x,y∈(0,+∞),x2+y2=x+y.
(1)求+的最小值;
(2)是否存在x,y滿足(x+1)(y+1)=5?并說明理由.
解 (1)因
14、為+==≥=2,當且僅當x=y(tǒng)=1時,等號成立,所以+的最小值為2.
(2)不存在.理由如下:
因為x2+y2≥2xy,
所以(x+y)2≤2(x2+y2)=2(x+y).
又x,y∈(0,+∞),所以x+y≤2.
從而有(x+1)(y+1)≤2≤4,
因此不存在x,y滿足(x+1)(y+1)=5.
2.(2018·河南駐馬店檢測)某地需要修建一條大型輸油管道通過240 km寬的沙漠地帶,該段輸油管道兩端的輸油站已建好,余下工程是在該段兩端已建好的輸油站之間鋪設(shè)輸油管道和等距離修建增壓站(又稱泵站).經(jīng)預(yù)算,修建一個增壓站的費用為400萬元,鋪設(shè)距離為x km的相鄰兩增壓站之間的
15、輸油管道的費用為x2+x萬元.設(shè)余下工程的總費用為y萬元.
(1)試將y表示成x的函數(shù);
(2)需要修建多少個增壓站才能使y最小,其最小值為多少?
解 (1)設(shè)需要修建k個增壓站,
則(k+1)x=240,即k=-1.
所以y=400k+(k+1)(x2+x)
=400+
=+240x-160.
因為x表示相鄰兩增壓站之間的距離,則0
16、需要修建11個增壓站才能使y最小,其最小值為9440萬元.
3.(2018·保定診斷)某商人投資81萬元建一間工作室,第一年裝修費為1萬元,以后每年增加2萬元,把工作室出租,每年收入租金30萬元.
(1)若扣除投資和各種裝修費,則從第幾年開始獲取純利潤?
(2)若干年后該商人為了投資其他項目,對該工作室有兩種處理方案:①年平均利潤最大時,以46萬元出售該工作室;②純利潤總和最大時,以10萬元出售該工作室.問該商人會選擇哪種方案?
解 (1)設(shè)第n年獲取利潤為y萬元.
n年付出的裝修費構(gòu)成一個首項為1,公差為2的等差數(shù)列,n年付出的裝修費之和為n×1+×2=n2,又投資81萬元,n年共
17、收入租金30n萬元,
∴利潤y=30n-n2-81(n∈N*).
令y>0,即30n-n2-81>0,∴n2-30n+81<0,
解得3
18、元),兩種方案盈利相同,但方案①時間比較短,所以選擇方案①.
4.(2018·南京質(zhì)檢)為了凈化空氣,某科研單位根據(jù)實驗得出,在一定范圍內(nèi),每噴灑1個單位的凈化劑,空氣中釋放的濃度y(單位:毫克/立方米)隨著時間x(單位:天)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y=若多次噴灑,則某一時刻空氣中的凈化劑濃度為每次投放的凈化劑在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和.由實驗知,當空氣中凈化劑的濃度不低于4(毫克/立方米)時,它才能起到凈化空氣的作用.
(1)若一次噴灑4個單位的凈化劑,則凈化時間可達幾天?
(2)若第一次噴灑2個單位的凈化劑,6天后再噴灑a(1≤a≤4)個單位的藥劑,要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效凈化,
19、試求a的最小值(精確到0.1,參考數(shù)據(jù):取1.4).
解 (1)因為一次噴灑4個單位的凈化劑,所以濃度
f(x)=4y=
則當0≤x≤4時,
由-4≥4,解得x≥0,所以此時0≤x≤4.
當4