安徽省2019年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第一部分 系統(tǒng)復(fù)習(xí) 成績(jī)基石 第三章 函數(shù)及其圖像 第13講 二次函數(shù)的應(yīng)用.ppt
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第三章函數(shù)及其圖象,第13講二次函數(shù)的應(yīng)用,考點(diǎn)1二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系,1.二次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系(1)一元一次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解,就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交點(diǎn)的.(2)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象位于x軸的部分對(duì)應(yīng)的x的取值范圍,就是不等于式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集;二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象位于x軸的部分對(duì)應(yīng)的x的取值范圍,就是不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集.,橫坐標(biāo),上方,下方,2.用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解:根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系,我們可以作出二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象,它與x軸交點(diǎn)的就是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根.,橫坐標(biāo),考點(diǎn)2用二次函數(shù)解決實(shí)際問題,1.在現(xiàn)實(shí)的生活生產(chǎn)中存在著很多有關(guān)二次函數(shù)的實(shí)際問題,我們要善于通過分析實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系,尤其是兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系,建立二次函數(shù)的模型,從而用二次函數(shù)解決有關(guān)的實(shí)際問題.2.建立起實(shí)際問題中的二次函數(shù)關(guān)系后,要注意根據(jù)實(shí)際問題確定其自變量的取值范圍.,歸納?二次函數(shù)的應(yīng)用關(guān)鍵在于建立二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型,這就需要認(rèn)真審題,理解題意,利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題.應(yīng)用最多的是根據(jù)二次函數(shù)的最值確定最大利潤(rùn)、最節(jié)省方案等問題.,命題趨勢(shì)?二次函數(shù)的應(yīng)用注重多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合考查以及對(duì)學(xué)生應(yīng)用二次函數(shù)解決實(shí)際問題能力的考察.近六年安徽中考中,本知識(shí)點(diǎn)命題難度較大,預(yù)測(cè)?二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用仍將作為重難點(diǎn)考查,題型以解答題為主.,命題點(diǎn)1二次函數(shù)在營(yíng)銷問題方面的應(yīng)用,1.[2018安徽,T22,12分]小明大學(xué)畢業(yè)回家鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè),第一期培植盆景與花卉各50盆.售后統(tǒng)計(jì),盆景的平均每盆利潤(rùn)是160元,花卉的平均每盆利潤(rùn)是19元.調(diào)研發(fā)現(xiàn):①盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利潤(rùn)減少2元;每減少1盆,盆景的平均每盆利潤(rùn)增加2元;②花卉的平均每盆利潤(rùn)始終不變.小明計(jì)劃第二期培植盆景與花卉共100盆,設(shè)培植的盆景比第一期增加x盆,第二期盆景與花卉售完后的利潤(rùn)分別為W1,W2(單位:元).(1)用含x的代數(shù)式分別表示W(wǎng)1,W2;(2)當(dāng)x取何值時(shí),第二期培植的盆景與花卉售完后獲得的總利潤(rùn)W最大,最大總利潤(rùn)是多少?,規(guī)范解答:(1)設(shè)培植的盆景比第一期增加x盆,則第二期盆景有(50+x)盆,花卉有(50-x)盆.∴W1=(50+x)(160-2x)=-2x2+60 x+8000,W2=19(50-x)=-19x+950;…………………………………………………………(6分)(2)根據(jù)題意,得W=W1+W2=-2x2+60 x+8000-19x+950=-2x2+41x+8950=-2(x-)2+.∵-2<0,且x為整數(shù),∴當(dāng)x=10時(shí),W取得最大值,最大值為9160.答:當(dāng)x=10時(shí),第二期培植的盆景與花卉售完后獲得的總利潤(rùn)W最大,最大總利潤(rùn)是9160元.…………………………………(12分),2.[2017安徽,T22,12分]某超市銷售一種商品,成本每千克40元,規(guī)定每千克售價(jià)不低于成本,且不高于80元.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查,每天的銷售量y(千克)與每千克售價(jià)x(元)滿足一次函數(shù)關(guān)系,部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表:(1)求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式;(2)設(shè)商品每天的總利潤(rùn)為W(元),求W與x之間的函數(shù)表達(dá)式(利潤(rùn)=收入-成本);(3)試說明(2)中總利潤(rùn)W隨售價(jià)x的變化而變化的情況,并指出售價(jià)為多少元時(shí)獲得最大利潤(rùn),最大利潤(rùn)是多少?,3.[2013安徽,T22,12分]某大學(xué)生利用暑假40天社會(huì)實(shí)踐參與了一家網(wǎng)店的經(jīng)營(yíng),了解到一種成本為20元/件的新型商品在第x天銷售的相關(guān)信息如下表所示.(1)請(qǐng)計(jì)算第幾天該商品的銷售單價(jià)為35元/件?(2)求該網(wǎng)店第x天獲得的利潤(rùn)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(3)這40天中,該網(wǎng)店第幾天獲得的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?,命題點(diǎn)2二次函數(shù)在幾何圖形中的應(yīng)用,4.[2015安徽,T22,12分]為了節(jié)省材料,某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶利用水庫(kù)的岸堤(岸堤足夠長(zhǎng))為一邊,用總長(zhǎng)為80m的圍網(wǎng)在水庫(kù)中圍成了如圖所示的①②③三塊矩形區(qū)域,而且這三塊矩形區(qū)域的面積相等.設(shè)BC的長(zhǎng)度為xm,矩形區(qū)域ABCD的面積為ym2.(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并注明自變量x的取值范圍;(2)x為何值時(shí),y有最大值?最大值是多少?,解:(1)∵三塊矩形區(qū)域的面積相等,∴矩形AEFD面積是矩形BCFE面積的2倍,∴AE=2BE.設(shè)BE=FC=a,則AE=HG=DF=2a.∵DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC=80,即8a+2x=80,∴a=-x+10.∴y=3ax=-x2+30 x.,∵a=-x+10>0,∴x<40,則y=-x2+30 x(0<x<40);(2)∵y=-x2+30 x=-(x-20)2+300(0<x<40),且二次項(xiàng)系數(shù)為-<0,∴當(dāng)x=20時(shí),y有最大值,最大值為300平方米.,類型1二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系,1.[2018萊蕪]函數(shù)y=ax2+2ax+m(a<0)的圖象過點(diǎn)(2,0),則使函數(shù)值y<0成立的x的取值范圍是()A.x<-4或x>2B.-4<x<2C.x<0或x>2D.0<x<2,A,2.[2018南京]已知二次函數(shù)y=2(x-1)(x-m-3)(m為常數(shù)).(1)求證:不論m為何值,該函數(shù)的圖像與x軸總有公共點(diǎn);(2)當(dāng)m取什么值時(shí),該函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方?,解:(1)證明:當(dāng)y=0時(shí),2(x-1)(x-m-3)=0.解得x1=1,x2=m+3.當(dāng)m+3=1,即m=-2時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)m+3≠1,即m≠-2時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.所以,不論m為何值,該函數(shù)的圖像與x軸總有公共點(diǎn).(2)當(dāng)x=0時(shí),y=2m+6,即該函數(shù)的圖像與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2m+6.當(dāng)2m+6>0,即m>-3時(shí),該函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方.,3.[2018樂山]已知關(guān)于x的一元二次方程mx2+(1-5m)x-5=0(m≠0).(1)求證:無論m為任何非零實(shí)數(shù),此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根;(2)若拋物線y=mx2+(1-5m)x-5與x軸交于A(x1,0)、B(x2,0)兩點(diǎn),且|x1-x2|=6,求m的值;(3)若m>0,點(diǎn)P(a,b)與Q(a+n,b)在(2)中的拋物線上(點(diǎn)P、Q不重合),求代數(shù)式4a2-n2+8n的值.,類型2實(shí)物拋物線,4.[2018衢州]某游樂園有一個(gè)直徑為16米的圓形噴水池,噴水池的周邊有一圈噴水頭,噴出的水柱為拋物線,在距水池中心3米處達(dá)到最高,高度為5米,且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝飾物處匯合.如圖所示,以水平方向?yàn)閤軸,噴水池中心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.(1)求水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達(dá)式;(2)王師傅在噴水池內(nèi)維修設(shè)備期間,噴水管意外噴水,為了不被淋濕,身高1.8米的王師傅站立時(shí)必須在離水池中心多少米以內(nèi)?(3)經(jīng)檢修評(píng)估,游樂園決定對(duì)噴水設(shè)施做如下設(shè)計(jì)改進(jìn):在噴出水柱的形狀不變的前提下,把水池的直徑擴(kuò)大到32米,各方向噴出的水柱仍在噴水池中心保留的原裝飾物(高度不變)處匯合,請(qǐng)?zhí)骄繑U(kuò)建改造后噴水池水柱的最大高度.,解題要領(lǐng)?拋物線型實(shí)際問題的解題步驟:(1)建立平面直角坐標(biāo)系:如果題目沒有給出平面直角坐標(biāo)系,則根據(jù)題意,建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,建系的原則一般是把頂點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn).(2)設(shè)函數(shù)表達(dá)式:根據(jù)所建立的坐標(biāo)系,設(shè)出表達(dá)式.(3)求表達(dá)式:依據(jù)實(shí)際問題中的線段的長(zhǎng),確定某些關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo),代入函數(shù)表達(dá)式,求出系數(shù),確定函數(shù)表達(dá)式.(4)解決實(shí)際問題:把問題轉(zhuǎn)化為已知拋物線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)(或縱坐標(biāo)),求其縱坐標(biāo)(或橫坐標(biāo)),再轉(zhuǎn)化為線段的長(zhǎng),解決實(shí)際問題.,5.[2012安徽]如圖,排球運(yùn)動(dòng)員站在點(diǎn)O處練習(xí)發(fā)球,將球從O點(diǎn)正上方2m的A處發(fā)出,把球看成點(diǎn),其運(yùn)行的高度y(m)與運(yùn)行的水平距離x(m)滿足關(guān)系式y(tǒng)=a(x-6)2+h.已知球網(wǎng)與點(diǎn)O的水平距離為9m,高度為2.43m,球場(chǎng)的邊界距點(diǎn)O的水平距離為18m.(1)當(dāng)h=2.6時(shí),求y與x的關(guān)系式;(2)當(dāng)h=2.6時(shí),球能否越過球網(wǎng)?球會(huì)不會(huì)出界?請(qǐng)說明理由;(3)若球一定能越過球網(wǎng),又不出邊界,求h的取值范圍.,解:(1)∵h(yuǎn)=2.6,球從O點(diǎn)正上方2m的A處發(fā)出,∴拋物線y=a(x-6)2+h過點(diǎn)(0,2),∴2=a(0-6)2+2.6,解得a=-.故y與x的關(guān)系式為y=-(x-6)2+2.6;,類型3二次函數(shù)在銷售問題中的應(yīng)用,6.[2018襄陽(yáng)]襄陽(yáng)市精準(zhǔn)扶貧工作已進(jìn)入攻堅(jiān)階段.貧困戶張大爺在某單位的幫扶下,把一片坡地改造后種植了優(yōu)質(zhì)水果藍(lán)莓,今年正式上市銷售.在銷售的30天中,第一天賣出20千克,為了擴(kuò)大銷量,采取了降價(jià)措施,以后每天比前一天多賣出4千克.第x天的售價(jià)為y元/千克,y關(guān)于x的函數(shù)解析式為且第12天的售價(jià)為32元/千克,第26天的售價(jià)為25元/千克.已知種植銷售藍(lán)莓的成本是18元/千克,每天的利潤(rùn)是W元(利潤(rùn)=銷售收入-成本).(1)m=________,n=________;(2)求銷售藍(lán)莓第幾天時(shí),當(dāng)天的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?(3)在銷售藍(lán)莓的30天中,當(dāng)天利潤(rùn)不低于870元的共有多少天?,解題要領(lǐng)?二次函數(shù)在銷售問題中的應(yīng)用有以下兩種??碱愋停?1)單純二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用;(2)與一次函數(shù)結(jié)合的實(shí)際應(yīng)用.出題形式有三種:①以某種產(chǎn)品的銷售為背景;②以公司的工作業(yè)績(jī)?yōu)楸尘?;③以某公司裝修所需材料為背景.設(shè)問方式主要有:(1)列函數(shù)關(guān)系式并求值;(2)求最優(yōu)解;(3)求最大利潤(rùn)及利潤(rùn)最大時(shí)自變量的值;(4)求最小值;(5)選擇最優(yōu)方案.,7.[2018揚(yáng)州]“揚(yáng)州漆器”名揚(yáng)天下,某網(wǎng)店專門銷售某種品牌的漆器筆筒,成本為30元/件,每天銷售y(件)與銷售單價(jià)x(元)之間存在一次函數(shù)關(guān)系,如圖所示.(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;(2)如果規(guī)定每天漆器筆筒的銷售量不低于240件,當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí),每天獲取的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是多少?(3)該網(wǎng)店店主熱心公益事業(yè),決定從每天的銷售利潤(rùn)中捐出150元給希望工程,為了保證捐款后每天剩余利潤(rùn)不低于3600元,試確定該漆器筆筒銷售單價(jià)的范圍.,(2)由題意,得-10 x+700≥240,解得x≤46.設(shè)利潤(rùn)為w=(x-30)y=(x-30)(-10 x+700),w=-10 x2+1000 x-21000=-10(x-50)2+4000,∵-10<0,∴x<50時(shí),w隨x的增大而增大,∴x=46時(shí),w最大=-10(46-50)2+4000=3840.∴當(dāng)銷售單價(jià)為46元時(shí),每天獲取的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是3840元;(3)由題意,得w-150=-10 x2+1000 x-21000-150=3600,整理,得-10(x-50)2=-250,解得x1=55,x2=45.由圖象,得當(dāng)45≤x≤55時(shí),捐款后每天剩余利潤(rùn)不低于3600元.,類型4二次函數(shù)在面積問題中的應(yīng)用,8.[2018荊州]為響應(yīng)荊州市“創(chuàng)建全國(guó)文明城市”號(hào)召,某單位不斷美化環(huán)境,擬在一塊矩形空地上修建綠色植物園,其中一邊靠墻,可利用的墻長(zhǎng)不超過18m,另外三邊由36m長(zhǎng)的柵欄圍成.設(shè)矩形ABCD空地中,垂直于墻的邊AB=xm,面積為ym2(如圖).(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;(2)若矩形空地的面積為160m2,求x的值;(3)若該單位用8600元購(gòu)買了甲、乙、丙三種綠色植物共400棵(每種植物的單價(jià)和每棵栽種的合理用地面積如下表).問丙種植物最多可以購(gòu)買多少棵?此時(shí),這批植物可以全部栽種到這塊空地上嗎?請(qǐng)說明理由.,解:(1)y=x(36-2x)=-2x2+36x(9≤x<18).(2)由題意,得-2x2+36x=160,解得x=10或8.∵x=8時(shí),36-16=20>18,不符合題意,∴x的值為10.(3)∵y=-2x2+36x=-2(x-9)2+162,∴x=9時(shí),y有最大值162.設(shè)購(gòu)買了乙種綠色植物a棵,購(gòu)買了丙種綠色植物b棵.由題意,得14(400-a-b)+16a+28b=8600,∴a+7b=1500,∴b的最大值為214,此時(shí)a=2,需要種植的面積=0.4(400-214-2)+12+0.4214=161.2<162.∴這批植物可以全部栽種到這塊空地上.,解題要領(lǐng)?解此類題的關(guān)鍵是通過幾何性質(zhì)確定出二次函數(shù)的表達(dá)式,然后確定其最大值,實(shí)際問題中自變量x的取值要使實(shí)際問題有意義,因此在求二次函數(shù)的最值時(shí),一般采用配方法把二次函數(shù)表達(dá)式配成頂點(diǎn)形式,但求最值要結(jié)合拋物線的開口方向和自變量的取值范圍,否則容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.,9.[2018資陽(yáng)]已知:如圖,拋物線y=ax2+bx+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A(0,6),B(6,0),C(-2,0),點(diǎn)P是線段AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)求拋物線的解析式;(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),△PAB的面積有最大值?(3)過點(diǎn)P作x軸的垂線,交線段AB于點(diǎn)D,再過點(diǎn)P做PE∥x軸交拋物線于點(diǎn)E,連接DE,請(qǐng)問是否存在點(diǎn)P使△PDE為等腰直角三角形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.,類型5靈活選用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型,10.[2018壽光模擬]某企業(yè)信息部進(jìn)行市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn):信息一:如果單獨(dú)投資A種產(chǎn)品,所獲利潤(rùn)yA(萬元)與投資金額x(萬元)之間存在某種關(guān)系的部分對(duì)應(yīng)值如下表:信息二:如果單獨(dú)投資B種產(chǎn)品,則所獲利潤(rùn)yB(萬元)與投資金額x(萬元)之間存在二次函數(shù)關(guān)系:yB=ax2+bx,且投資2萬元時(shí)獲利潤(rùn)2.4萬元,當(dāng)投資4萬元時(shí),可獲利潤(rùn)3.2萬元.(1)求出yB與x的函數(shù)關(guān)系式;(2)從所學(xué)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)中確定哪種函數(shù)能表示yA與x之間的關(guān)系,并求出yA與x的函數(shù)關(guān)系式;(3)如果企業(yè)同時(shí)對(duì)A、B兩種產(chǎn)品共投資15萬元,請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)能獲得最大利潤(rùn)的投資方案,并求出按此方案能獲得的最大利潤(rùn)是多少?,11.[2018貴陽(yáng)]六盤水市梅花山國(guó)際滑雪自建成以來,吸引大批滑雪愛好者,一滑雪者從山坡滑下,測(cè)得滑行距離y(單位:cm)與滑行時(shí)間x(單位:s)之間的關(guān)系可以近似的用二次函數(shù)來表示.(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出二次函數(shù)的表達(dá)式.現(xiàn)測(cè)量出滑雪者的出發(fā)點(diǎn)與終點(diǎn)的距離大約800m,他需要多少時(shí)間才能到達(dá)終點(diǎn)?(2)將得到的二次函數(shù)圖象補(bǔ)充完整后,向左平移2個(gè)單位,再向上平移5個(gè)單位,求平移后的函數(shù)表達(dá)式.,- 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