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1、
新人教A版選修2-1《拋物線》word單元測試
一、選擇題(每題5分共50分)
1.拋物線的焦點坐標是 ( )
A. B. C. D.
2.已知拋物線的頂點在原點,焦點在y軸上,其上的點到焦點的距離為5,則拋物線方程為 ( )
A. B. C. D.
3.拋物線截直線所得弦長等于 ( )
A. B. C. D.15
4.頂點在原點,坐標軸為對稱軸
2、的拋物線過點(-2,3),則它的方程是 ( )
A.或 B.或
C. D.
5.點到曲線(其中參數(shù))上的點的最短距離為 ( )
A.0 B.1 C. D.2
6.拋物線上有三點,是它的焦點,若 成等差數(shù)列,則 ( )
A.成等差數(shù)列 B.成等差數(shù)列
C.成等差數(shù)列 D.成等差數(shù)列
3、
7.若點A的坐標為(3,2),為拋物線的焦點,點是拋物線上的一動點,則 取得最小值時點的坐標是 ( )
A.(0,0) B.(1,1) C.(2,2) D.
8.已知拋物線的焦點弦的兩端點為,,則關(guān)系式
的值一定等于 ( )
A.4p B.-4p C.p2 D.-p
9.過拋物線的焦點F作一直線交拋物線于P,Q兩點,若線段PF與FQ的長分別是,則
4、 ( )
A. B. C. D.
10.若AB為拋物線y2=2px (p>0)的動弦,且|AB|=a (a>2p),則AB的中點M到y(tǒng)軸的最近距離是 ( )
A.a(chǎn) B.p C.a(chǎn)+p D.a(chǎn)-p
二、填空題(每題5分共20分)
11.拋物線上到其準線和頂點距離相等的點的坐標為 ______________.
12.已知圓,與拋物線
5、的準線相切,則 ___________.
13.如果過兩點和的直線與拋物線沒有交點,那么實數(shù)a的取值范圍是 .
14.對于頂點在原點的拋物線,給出下列條件;
(1)焦點在y軸上; (2)焦點在x軸上;
(3)拋物線上橫坐標為1的點到焦點的距離等于6;(4)拋物線的通徑的長為5;
(5)由原點向過焦點的某條直線作垂線,垂足坐標為(2,1).
其中適合拋物線y2=10x的條件是(要求填寫合適條件的序號) ______.
三、解答題(共80分)
15.(12分)已知點A(2,8),B(x1,y1),C(x2,y2)在拋物線上,△ABC的
6、重心與此拋物線的焦點F重合(如圖)
(1)寫出該拋物線的方程和焦點F的坐標;
(2)求線段BC中點M的坐標;
(3)求BC所在直線的方程.
16.(11分)已知拋物線y=ax2-1上恒有關(guān)于直線x+y=0對稱的相異兩點,求a的取值范圍.
17.(12分)拋物線x2=4y的焦點為F,過點(0,-1)作直線L交拋物線A、B兩點,再以AF、BF為鄰邊作平行四邊形FARB,試求動點R的軌跡方程.
18.(15分)已知拋物線C:,過C上一點M,且與M
7、處的切線垂直的直線稱為C在點M的法線.
(1)若C在點M的法線的斜率為,求點M的坐標(x0,y0);
(2)設(shè)P(-2,a)為C對稱軸上的一點,在C上是否存在點,使得C在該點的法線通過點P?若有,求出這些點,以及C在這些點的法線方程;若沒有,請說明理由.
19.(15分)已知拋物線y2=4ax(0<a<1=的焦點為F,以A(a+4,0)為圓心,|AF|為半徑在x軸上方作半圓交拋物線于不同的兩點M和N,設(shè)P為線段MN的中點.
(1)求|MF|+|NF|的值;
(2)是否存在這樣的a值,使|MF|、|PF|、|NF|成等差數(shù)列
8、?如存在,求出a的值,若不存在,說明理由.
20.(15分)如圖, 直線y=x與拋物線y=x2-4交于A、B兩點, 線段AB的垂直平分線與直線y=-5交于Q點.
(1)求點Q的坐標;
(2)當P為拋物線上位于線段AB下方
(含A、B)的動點時, 求ΔOPQ面積的最大值.
參考答案
一、選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
A
B
B
A
C
B
C
D
二、填空題
11.
9、12. 2 13. 14. (2),(5)
三、解答題
15.[解析]:(1)由點A(2,8)在拋物線上,有,
解得p=16. 所以拋物線方程為,焦點F的坐標為(8,0).
(2)如圖,由于F(8,0)是△ABC的重心,M是BC的中點,所以F是線段AM的
定比分點,且,設(shè)點M的坐標為,則
,解得,
所以點M的坐標為(11,-4).
(3)由于線段BC的中點M不在x軸上,所以BC所在
的直線不垂直于x軸.設(shè)BC所在直線的方程為:
由消x得,
所以,由(2)的結(jié)論得,解得
因此BC所在直線的方程為:
16.[解析]:設(shè)在拋物線y=ax2-1上關(guān)于直線
10、x+y=0對稱的相異兩點為P(x,y),Q(-y,-x),則
,由①-②得x+y=a(x+y)(x-y),∵P、Q為相異兩點,∴x+y≠0,又a≠0,
∴,代入②得a2x2-ax-a+1=0,其判別式△=a2-4a2(1-a)>0,解得.
17.[解析]:設(shè)R(x,y),∵F(0,1), ∴平行四邊形FARB的中心為,L:y=kx-1,代入拋物線方程得x2-4kx+4=0, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=4k,x1x2=4,且△=16k2-16>0,即|k|>1 ①,
,∵C為AB的中點.
∴
,消去k得x2=4(y+3),由① 得,,故動點R的
11、軌跡方程為x2=4(y+3)( ).
18. [解析]:(1)由題意設(shè)過點M的切線方程為:,代入C得,
則,,即M(-1,).
(2)當a>0時,假設(shè)在C上存在點滿足條件.設(shè)過Q的切線方程為:,代入
,則,
且.若時,由于,
∴ 或 ;若k=0時,顯然也滿足要求.
∴有三個點(-2+,),(-2-,)及(-2,-),
且過這三點的法線過點P(-2,a),其方程分別為:
x+2y+2-2a=0,x-2y+2+2a=0,x=-2.
當a≤0時,在C上有一個點(-2,-),在這點的法線過點P(-2,a),其方程為:x=-2.
19.[解析]:(1)F(a,0),設(shè),由
,
12、, (2)假設(shè)存在a值,使的成等差數(shù)列,即
①,∵P是圓A上兩點M、N 所在弦的中點,∴
由①得,這是不可能的.
∴假設(shè)不成立.即不存在a值,使的成等差數(shù)列.
20.[解析]:【解】(1) 解方程組 得 或
即A(-4,-2),B(8,4), 從而AB的中點為M(2,1).由kAB==,直線AB的垂直平分線方程
y-1=(x-2). 令y=-5, 得x=5, ∴Q(5,-5).
(2) 直線OQ的方程為x+y=0, 設(shè)P(x, x2-4).∵點P到直線OQ的距離
d==,,∴SΔOPQ==.
∵P為拋物線上位于線段AB下方的點, 且P不在直線OQ上, ∴-4≤x<4-4或4-4