(廣東專用)2013高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第二章第十一節(jié) 課時跟蹤訓(xùn)練 理

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1、課時知能訓(xùn)練 一、選擇題 1.函數(shù)f(x)=(x-3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是(  ) A.(-∞,2)       B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞) 【解析】 f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex, 令f′(x)>0,解得x>2. 【答案】 D 2.(2012·梅州調(diào)研)若函數(shù)f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)內(nèi)有極小值,則實數(shù)b的取值范圍是(  ) A.(0,1) B.(-∞,1) C.(0,+∞) D.(0,) 【解析】 f′(x)=3x2-6b,且f(x)在(0,1)內(nèi)有極小值.

2、 ∴f′(x)=0在(0,1)內(nèi)有解, 易知b>0且0<<1,解之得0<b<. 【答案】 D 3.對于在R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x),若滿足(x-a)f′(x)≥0,則必有(  ) A.f(x)≥f(a) B.f(x)≤f(a) C.f(x)>f(a) D.f(x)<f(a) 【解析】 由(x-a)f′(x)≥0知, 當(dāng)x>a時,f′(x)≥0;當(dāng)x<a時,f′(x)≤0. ∴當(dāng)x=a時,函數(shù)f(x)取得最小值,則f(x)≥f(a). 【答案】 A 4.(2011·浙江高考)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),若x=-1為函數(shù)f(x)ex的

3、一個極值點,則下列圖象不可能為y=f(x)的圖象是(  ) 【解析】 設(shè)h(x)=f(x)ex,則 h′(x)=(2ax+b)ex+(ax2+bx+c)ex =(ax2+2ax+bx+b+c)ex. 由x=-1為函數(shù)f(x)ex的一個極值點. 因此ax2+2ax+bx+b+c=c-a=0,∴c=a. ∴f(x)=ax2+bx+a. 若方程ax2+bx+a=0有兩根x1,x2,則 x1x2==1,D中圖象一定不滿足該條件. 【答案】 D 5.(2012·東莞調(diào)研)函數(shù)f(x)=x2-2ax+a在區(qū)間(-∞,1)上有最小值,則函數(shù)g(x)=在區(qū)間(1,+∞)上一定(  )

4、 A.有最小值 B.有最大值 C.是減函數(shù) D.是增函數(shù) 【解析】 由函數(shù)f(x)=x2-2ax+a在區(qū)間(-∞,1)上有最小值,可得a的取值范圍為a<1, ∴g(x)==x+-2a,則g′(x)=1-. 易知在x∈(1,+∞)上g′(x)>0,所以g(x)為增函數(shù). 【答案】 D 二、填空題 6.已知f(x)=mx2+ln x-2x在定義域內(nèi)是增函數(shù),則實數(shù)m的取值范圍為________. 【解析】 f′(x)=mx+-2≥0對一切x>0恒成立, ∴m≥-()2+. 令g(x)=-()2+=-(-1)2+1, 當(dāng)=1,即x=1時,g(x)有最大值1,故m

5、≥1. 【答案】 [1,+∞) 7.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處取極值10,則f(2)=________. 【解析】 f′(x)=3x2+2ax+b, 由題意即 消去b,得a=4或a=-3. 但當(dāng)a=-3時,f′(x)=3x2-6x+3≥0,故不存在極值. ∴a=4,b=-11,f(2)=18. 【答案】 18 8.給出定義:若函數(shù)f(x)在D上可導(dǎo),即f′(x)存在,且導(dǎo)函數(shù)f′(x)在D上也可導(dǎo),則稱f(x)在D上存在二階導(dǎo)函數(shù),記f″(x)=(f′(x))′,若f″(x)<0在D上恒成立,則稱f(x)在D上為凸函數(shù).以下四個函數(shù)在(0,)上是凸函

6、數(shù)的是________.(把你認(rèn)為正確的序號都填上) ①f(x)=sin x+cos x;②f(x)=ln x-2x; ③f(x)=-x3+2x-1;④f(x)=xex. 【解析】 在定義域(0,)內(nèi),由f″(x)=-sin x-cos x<0,得①是凸函數(shù); 由f″(x)=-<0,得②是凸函數(shù); 由f″(x)=-6x<0,得③是凸函數(shù); 由f″(x)=2ex+xex>0,得④不是凸函數(shù). 【答案】?、佗冖? 三、解答題 9.已知函數(shù)f(x)=ex-ax-1. (1)若f(x)在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增,求a的取值范圍; (2)是否存在a,使f(x)在(-∞,0]上單調(diào)遞減,在[

7、0,+∞)上單調(diào)遞增?若存在,求出a的值;若不存在,說明理由. 【解】 (1)∵f(x)=ex-ax-1, ∴f′(x)=ex-a. ∵f(x)在R上單調(diào)遞增 ∴f′(x)=ex-a≥0恒成立,即a≤ex,x∈R恒成立. ∵x∈R時,ex∈(0,+∞),∴a≤0. (2)由已知f(x)在(-∞,0]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增可知,f(0)是f(x)的極小值. ∴f′(0)=e0-a=0?a=1,經(jīng)檢驗,a=1符合要求. ∴存在a=1滿足條件. 10.(2012·肇慶調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=ax2+bln x在x=1處有極值. (1)求a,b的值; (2)判斷

8、函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性并求出單調(diào)區(qū)間. 【解】 (1)f′(x)=2ax+,又f(x)在x=1處有極值. ∴即 解之得a=且b=-1. (2)由(1)可知f(x)=x2-ln x, 其定義域是(0,+∞), 且f′(x)=x-=. 當(dāng)x變化時,f′(x)、f(x)的變化情況如下表: x (0,1) 1 (1,+∞) f′(x) - 0 + f(x) 極小值  所以函數(shù)y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(0,1),單調(diào)增區(qū)間是(1,+∞). 11.設(shè)函數(shù)f(x)=ln x+ln(2-x)+ax(a>0). (1)當(dāng)a=1時,求f(x)的單

9、調(diào)區(qū)間; (2)若f(x)在(0,1]上的最大值為,求a的值. 【解】  函數(shù)f(x)的定義域為(0,2),f′(x)=-+a. (1)當(dāng)a=1時,f′(x)=, 令f′(x)>0,由于0<x<2,得2-x2>0, ∴0<x<,此時函數(shù)f(x)是增函數(shù). 令f′(x)<0,由0<x<2,得2-x2<0, ∴<x<2,此時,f(x)是減函數(shù). 故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0, ),單調(diào)遞減區(qū)間為(,2). (2)當(dāng)x∈(0,1]時,f′(x)=+a, ∵a>0. ∴≥0,+a>0,f′(x)>0. 所以,f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增, 故f(x)在(0,1]上的最大值為f(1)=a, 因此a=.

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