高中數(shù)學 3-1-3 空間向量的數(shù)量積運算 活頁規(guī)范訓練 新人教A版選修2-1

上傳人:huo****ian 文檔編號:147850734 上傳時間:2022-09-03 格式:DOC 頁數(shù):5 大?。?31KB
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1、3.1.3 空間向量的數(shù)量積運算 雙基達標 (限時20分鐘) 1.對于向量a、b、c和實數(shù)λ,下列命題中的真命題是 (  ). A.若a·b=0,則a=0或b=0 B.若λa=0,則λ=0或a=0 C.若a2=b2,則a=b或a=-b D.若a·b=a·c,則b=c 解析 對于A,可舉反例:當a⊥b時,a·b=0; 對于C,a2=b2,只能推得|a|=|b|,而不能推出a=±b; 對于D,a·b=a·c可以移項整理推得a⊥(b-c). 答案 B 2.如圖,已知空間四邊形每條邊和對角線長都等于a,點E、F、G分別是A

2、B、AD、DC的中點,則下列向量的數(shù)量積等于a2的是 (  ). A.2· B.2· C.2· D.2· 解析 2·=-a2,故A錯;2·=-a2,故B錯; 2·=-a2,故D錯,只有C正確. 答案 C 3.空間四邊形OABC中,OB=OC,∠AOB=∠AOC=,則cos〈,〉的值為 (  ). A. B. C.- D.0 解析 因為·=·(-)=·-·=||||cos〈,〉- ||||cos

3、〈,〉, 又因為〈,〉=〈,〉=, ||=||,所以·=0, 所以⊥,所以cos〈,〉=0. 答案 D 4.已知a,b是空間兩個向量,若|a|=2,|b|=2,|a-b|=,則cos〈a,b〉=________. 解析 將|a-b|=化為(a-b)2=7,求得a·b=,再由a·b=|a||b|cos〈a,b〉求得 cos〈a,b〉=. 答案  5.已知空間向量a,b,c滿足a+b+c=0,|a|=3,|b|=1,|c|=4,則a·b+b·c+c·a的值為________. 解析 ∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=0,∴a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=0,

4、 ∴a·b+b·c+c·a=-=-13. 答案 -13 6.已知長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E為側面AA1B1B的中心,F(xiàn)為A1D1的中點.求下列向量的數(shù)量積: (1)·;(2)· 解 如圖所示,設=a,=b,=c, 則|a|=|c|=2,|b|=4,a·b=b·c=c·a=0. (1)·=·(+)=b·[(c-a)+b] =|b|2=42=16. (2)·=(+)·(+) =(c-a+b)·(a+c)=|c|2-|a|2=22-22=0. 綜合提高(限時25分鐘) 7.已知在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,同一頂點為端點的三

5、條棱長都等于1,且彼此的夾角都是60°,則此平行六面體的對角線AC1的長為 (  ). A. B.2 C. D. 解析:∵=++ ∴2=(++)2=2+2+2+2·+2·+2·=1+1 +1+2(cos 60°+cos 60°+cos 60°)=6,∴||=. 答案:D 8.已知a,b是異面直線,A、B∈a,C、D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,則a與b所成的角是

6、 (  ). A.30° B.45° C.60° D.90° 解析 ∵·=(++)·=·+||2+·=||2=1, ∴cos〈,〉==, ∴a與b的夾角為60°. 答案 C 9.已知|a|=3,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,〈a,b〉=135°,m⊥n,則λ=________. 解析 由m⊥n,得(a+b)·(a+λb)=0,∴a2+(1+λ)a·b+λb2=0,∴18+(λ+1)×3× 4cos 135°+16λ=0,即4λ+6=0,∴λ=-. 答案?。? 10.如圖,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各條

7、棱長都相等,M是側棱CC1的中點,則異面直線AB1和BM所成的角的大小是______. 解析 不妨設棱長為2,則=-,=+, cos〈,〉=== 0,故填90°. 答案 90° 11.如圖所示,已知△ADB和△ADC都是以D為直角頂點的直角三角形,且AD=BD=CD,∠BAC=60°. 求證:BD⊥平面ADC. 證明 不妨設AD=BD=CD=1,則AB=AC=. ·=(-)·=·-·, 由于·=·(+)=·=1,·=||·||cos 60°=×× =1.∴·=0,即BD⊥AC,又已知BD⊥AD,AD∩AC=A,∴BD⊥平面ADC. 12.(創(chuàng)新拓展)如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面邊長為. (1)設側棱長為1,求證:AB1⊥BC1; (2)設AB1與BC1的夾角為,求側棱的長. (1)證明?。剑剑? ∵BB1⊥平面ABC,∴·=0,·=0. 又△ABC為正三角形,∴〈·〉=π-〈·〉=π-=. ∵·=(+)·(+) =·+·+2+· =||·||·cos〈,〉+2=-1+1=0, ∴AB1⊥BC1. (2)解 結合(1)知·=||·||·cos〈,〉+2=2-1. 又||=)2==||. ∴cos〈,〉==, ∴||=2,即側棱長為2.

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