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1、第三十章 二次函數(shù)
棗強(qiáng)縣第三中學(xué) 孫長(zhǎng)曉
30.1 二次函數(shù)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.理解、掌握二次函數(shù)的概念和一般形式;(重點(diǎn))
2.會(huì)利用二次函數(shù)的概念解決問題;(重點(diǎn))
3.列二次函數(shù)表達(dá)式解決實(shí)際問題.(難點(diǎn))
教學(xué)過程
一、情境導(dǎo)入
已知長(zhǎng)方形窗戶的周長(zhǎng)為6m,窗戶面積為y m2,窗戶寬為x m,你能寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式嗎?它是什么函數(shù)呢?
二、合作探究
探究點(diǎn)一:二次函數(shù)的概念
【類型一】 二次函數(shù)的識(shí)別
下列函數(shù)中是二次函數(shù)的有( )
①y=x+;②y
2、=3(x-1)2+2;③y=(x+3)2-2x2;④y=+x.
A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)
解析:①y=x+,④y=+x的右邊不是整式,故①④不是二次函數(shù);②y=3(x-1)2+2,符合二次函數(shù)的定義;③y=(x+3)2-2x2=-x2+6x+9,符合二次函數(shù)的定義.故選C.
方法總結(jié):判定一個(gè)函數(shù)是否是二次函數(shù)常有三個(gè)標(biāo)準(zhǔn):①所表示的函數(shù)關(guān)系式為整式;②所表示的函數(shù)關(guān)系式有唯一的自變量;③所含自變量的關(guān)系式最高次數(shù)為2,且函數(shù)關(guān)系式中二次項(xiàng)系數(shù)不等于0.
【類型二】 利用二次函數(shù)的概念求字母的值
當(dāng)k為何值時(shí),函數(shù)y=(k-1)xk2+k+1為二次函數(shù)?
3、
解析:根據(jù)二次函數(shù)的概念,可得k2+k=2且同時(shí)滿足k-1≠0即可解答.
解:∵函數(shù)y=(k-1)xk2+k+1為二次函數(shù),∴解得
∴k=-2.
方法總結(jié):解答本題要考慮兩方面:一是x的指數(shù)等于2;二是二次項(xiàng)系數(shù)不等于0.
【類型三】 二次函數(shù)相關(guān)量的計(jì)算
已知二次函數(shù)y=-x2+bx+3,當(dāng)x=2時(shí),y=3.則x=1時(shí),y=________.
解析:∵二次函數(shù)y=-x2+bx+3,當(dāng)x=2時(shí),y=3,∴3=-22+2b+3,解得b=2. ∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式是y=-x2+2x+3.將x=1代入得y=4.故答案為4.
方法總結(jié):解題的關(guān)鍵是先確定解析式,再代入求值.
【類
4、型四】 二次函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系
已知函數(shù)y=(m2-m)x2+(m-1)x+m+1.
(1)若這個(gè)函數(shù)是一次函數(shù),求m的值;
(2)若這個(gè)函數(shù)是二次函數(shù),則m的值應(yīng)怎樣?
解析:根據(jù)二次函數(shù)與一次函數(shù)的定義解答.
解:(1)根據(jù)一次函數(shù)的定義,得m2-m=0,解得m=0或m=1.又∵m-1≠0,即m≠1,∴當(dāng)m=0時(shí),這個(gè)函數(shù)是一次函數(shù);
(2)根據(jù)二次函數(shù)的定義,得m2-m≠0,解得m≠0或m≠1,∴當(dāng)m≠0或m≠1時(shí),這個(gè)函數(shù)是二次函數(shù).
方法總結(jié):熟記二次函數(shù)與一次函數(shù)的定義,另外要注意二次函數(shù)的二次項(xiàng)的系數(shù)不等于零.
探究點(diǎn)二:從實(shí)際問題中抽象出二次函數(shù)解析式
【
5、類型一】 從幾何圖形中抽象出二次函數(shù)解析式
如圖,用一段長(zhǎng)為30米的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻(墻的長(zhǎng)度不限)的矩形菜園ABCD,設(shè)AB邊長(zhǎng)為x米,則菜園的面積y(單位:米2)與x(單位:米)的函數(shù)關(guān)系式為多少?
解析:根據(jù)已知由AB邊長(zhǎng)為x米可以推出BC=(30-x),然后根據(jù)矩形的面積公式即可求出函數(shù)關(guān)系式.
解:∵AB邊長(zhǎng)為x米,而菜園ABCD是矩形菜園,∴BC=(30-x),∴菜園的面積=AB×BC= (30-x)·x,則菜園的面積y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=-x2+15x.
方法總結(jié):函數(shù)與幾何知識(shí)的綜合問題,關(guān)鍵是掌握數(shù)與形的轉(zhuǎn)化.有些題目是以幾何知識(shí)為背景,從幾何圖形中建
6、立函數(shù)關(guān)系,關(guān)鍵是運(yùn)用幾何知識(shí)建立量與量的等式.
【類型二】 從生活實(shí)際中抽象出二次函數(shù)解析式
某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個(gè)檔次,第1檔次(最低檔次)的產(chǎn)品一天能生產(chǎn)95件,每件利潤(rùn)6元.每提高一個(gè)檔次,每件利潤(rùn)增加2元,但一天產(chǎn)量減少5件.
(1)若生產(chǎn)第x檔次的產(chǎn)品一天的總利潤(rùn)為y元(其中x為正整數(shù),且1≤x≤10),求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若生產(chǎn)第x檔次的產(chǎn)品一天的總利潤(rùn)為1120元,求該產(chǎn)品的質(zhì)量檔次.
解析:(1)每件的利潤(rùn)為6+2(x-1),生產(chǎn)件數(shù)為95-5(x-1),則y=[6+2(x-1)][95-5(x-1)];(2)由題意可令y=1120,求
7、出x的實(shí)際值即可.
解:(1)∵第一檔次的產(chǎn)品一天能生產(chǎn)95件,每件利潤(rùn)6元,每提高一個(gè)檔次,每件利潤(rùn)加2元,但一天產(chǎn)量減少5件,∴第x檔次,提高的檔次是(x-1)檔,利潤(rùn)增加了2(x-1)元.∴y=[6+2(x-1)][95-5(x-1)],即y=-10x2+180x+400(其中x是正整數(shù),且1≤x≤10);
(2)由題意可得-10x2+180x+400=1120,整理得x2-18x+72=0,解得x1=6,x2=12(舍去).
所以,該產(chǎn)品的質(zhì)量檔次為第6檔.
方法總結(jié):解決此類問題的關(guān)鍵是要吃透題意,確定變量,建立函數(shù)模型.
三、板書設(shè)計(jì)
二次函數(shù)
1.二次函數(shù)的概念
2.從實(shí)際問題中抽象出二次函數(shù)解析式
教學(xué)反思
二次函數(shù)是一種常見的函數(shù),應(yīng)用非常廣泛,它是客觀地反映現(xiàn)實(shí)世界中變量之間的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的一種非常重要的數(shù)學(xué)模型.許多實(shí)際問題往往可以歸結(jié)為二次函數(shù)加以研究.本節(jié)課是學(xué)習(xí)二次函數(shù)的第一節(jié)課,通過實(shí)例引入二次函數(shù)的概念,并學(xué)習(xí)求一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題中二次函數(shù)的解析式.在教學(xué)中要重視二次函數(shù)概念的形成和建構(gòu),在概念的學(xué)習(xí)過程中,讓學(xué)生體驗(yàn)從問題出發(fā)到列二次函數(shù)解析式的過程,體驗(yàn)用函數(shù)思想去描述、研究變量之間變化規(guī)律的意義.