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1、立體幾何中的向量方法,空間向量的引入為代數(shù)方法處理立體幾何問題提供了一種重要的工具和方法,解題時,可用定量的計算代替定性的分析,從而避免了一些繁瑣的推理論證。求空間角與距離是立體幾何的一類重要的問題,也是高考的熱點之一。,空間的角常見的有:,線線角、線面角、面面角。,異面直線所成角的范圍:,,,,,,,,思考:,結(jié)論:,一、線線角:,,,,,,,,,,,(2011陜西卷)如圖,在ABC中,ABC60,BAC90,AD是BC上的高,沿AD把ABD折起,使BDC90. 設(shè)E為BC的中點,求AE與DB夾角的余弦值,易得D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,3,0),A(0,0, ),E
2、,,,x,,,y,z,,直線與平面所成角的范圍:,,,,,,,思考:,結(jié)論:,,,,,,二、線面角:,,,,,,,,,,1若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角等于120,則直線l與平面所成的角等于( ) A120B60 C30 D60或30 解析:由題意得直線l與平面的法向量所在直線的夾角為60,直線l與平面所成的角為906030. 答案:C,練習(xí):,如圖所示,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是矩形,PA平面ABCD,PAAD2,AB1,AMPD于點M. 求直線CD與平面ACM 所成角的正弦值,,x,,,y,z,利用向量法求線面角的方法: (1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直
3、線的方向向量,轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補角); (2)通過平面的法向量來求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角,取其余角就是斜線和平面所成的角,將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個面的方向向量(在二面角的面內(nèi)且垂直于二面角的棱)的夾角。如圖,設(shè)二面角 的大小為 ,其中,,,D,C,B,A,三、面面角:,方向向量法:,二面角的范圍:,練習(xí):如圖3,甲站在水庫底面上的點A處,乙站在水壩斜面上的點B處。從A,B到直線 (庫底與水壩的交線)的距離AC和BD分別為 和 ,CD的長為 , AB的長為 。求庫底與水壩所成二面角的余弦值。,解:如圖,,化為向量問題,根據(jù)向量的加法法則有,于是,得
4、,設(shè)向量 與 的夾角為 , 就是庫底與水壩所成的二面角。,因此,所以,所以庫底與水壩所成二面角的余弦值為,,,,,,,三、面面角:,二面角的范圍:,法向量法,,,,,,,【注意】法向量的方向:一進一出,二面角等于法向量夾角; 同進同出,二面角等于法向量夾角的補角。,,已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱垂直于底面,BAC90,ABAA12,AC1,M、N分別是A1B1、BC的中點 求二面角MANB的余弦值,,x,,,y,z,求二面角最常用的方法 (1)分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量,然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小,但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角 (2)分別在二面角的兩個平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足出發(fā)的兩個向量,則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小 以上兩種方法各有利弊,要善于結(jié)合題目的特點選擇適當?shù)姆椒ń忸},1.異面直線所成角:,2.直線與平面所成角:,,,,,,,,,,,,,,歸納小結(jié):,,,D,C,B,A,方向向量法:,3.二面角:,法向量法:,【注意】法向量的方向:一進一出,二面角等于法向量夾角;同進同出,二面角等于法向量夾角的補角。,