高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 6-7 數(shù)學(xué)歸納法課件 理 新人教A版.ppt

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第七節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法,最新考綱展示 了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題．,數(shù)學(xué)歸納法 一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行： 1．(歸納奠基)證明當(dāng)n取____________________時命題成立． 2．(歸納遞推)假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N*)時命題成立，證明當(dāng)__________時命題也成立． 只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．,第一個值n0(n0∈N*),n＝k＋1,1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的框圖表示： 2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題．證明時步驟(1)和(2)缺一不可，步驟(1)是步驟(2)的基礎(chǔ)，步驟(2)是遞推的依據(jù)． 3．在用數(shù)學(xué)歸納法證明時，第(1)步驗算n＝n0的n0不一定為1，而是根據(jù)題目要求選擇合適的起始值．,,解析：三角形是邊數(shù)最少的凸多邊形，故第一步應(yīng)檢驗n＝3. 答案：C,解析：根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟可知，則n＝k(k≥2為偶數(shù))下一個偶數(shù)為k＋2，故選B. 答案：B,解析：項數(shù)為n2－(n－1)＝n2－n＋1. 答案：D,例1 已知等差數(shù)列{an}的公差為3，其前n項和為Sn，等比數(shù)列{bn}的公比為2，且a1＝b1＝2. (1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式； (2)記Tn＝anb1＋an－1b2＋…＋a1bn，n∈N*，證明Tn＋12＝－2an＋10bn(n∈N*)． 解析 (1)由a1＝2，公差d＝3， ∴an＝a1＋(n－1)d＝3n－1. 在等比數(shù)列{bn}中，公比q＝2，首項b1＝2， ∴bn＝2·2n－1＝2n.,用數(shù)學(xué)歸納法證明等式(師生共研),(2)證明：①當(dāng)n＝1時，T1＋12＝a1b1＋12＝16，－2a1＋10b1＝16，故等式成立； ②假設(shè)當(dāng)n＝k時等式成立， 即Tk＋12＝－2ak＋10bk， 當(dāng)n＝k＋1時， Tk＋1＝ak＋1b1＋akb2＋ak－1b3＋…＋a1bk＋1 ＝ak＋1b1＋q(akb1＋ak－1b2＋…＋a1bk) ＝ak＋1b1＋qTk ＝ak＋1b1＋q(－2ak＋10bk－12) ＝2ak＋1－4(ak＋1－3)＋10bk＋1－24 ＝－2ak＋1＋10bk＋1－12， 即Tk＋1＋12＝－2ak＋1＋10bk＋1. 因此n＝k＋1時等式也成立． 由①、②可知，對任意n∈N*，Tn＋12＝－2an＋10bn成立．,規(guī)律方法 (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題，要“先看項”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項，初始值n0是多少． (2)由n＝k時等式成立，推出n＝k＋1時等式成立，一要找出等式兩邊的變化(差異)，明確變形目標(biāo)；二要充分利用歸納假設(shè)，進(jìn)行合理變形，正確寫出證明過程．,1．求證：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*)． 證明：(1)當(dāng)n＝1時，等式左邊＝2，右邊＝21·1＝2，∴等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時，等式成立，即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)． 當(dāng)n＝k＋1時，左邊＝(k＋2)(k＋3)·…·2k·(2k＋1)(2k＋2) ＝2·(k＋1)(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)·(2k＋1) ＝2·2k·1·3·5·…·(2k－1)·(2k＋1) ＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)． 這就是說當(dāng)n＝k＋1時，等式成立． 根據(jù)(1)、(2)知，對n∈N*，原等式成立．,用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(師生共研),規(guī)律方法 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n＝k時命題成立證n＝k＋1時命題也成立，在歸納假設(shè)使用后可運用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來加以證明，充分應(yīng)用基本不等式、不等式的性質(zhì)等放縮技巧，使問題得以簡化．,2．若函數(shù)f(x)＝x2－2x－3，定義數(shù)列{xn}如下：x1＝2，xn＋1是過點P(4,5)、Qn(xn，f(xn))的直線PQn與x軸的交點的橫坐標(biāo)，試運用數(shù)學(xué)歸納法證明：2≤xnxn＋13.,歸納——猜想——證明(師生共研),規(guī)律方法 “歸納——猜想——證明”的模式，是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法綜合應(yīng)用的解題模式，這種方法在解決探索性問題、存在性問題時起著重要作用，它的模式是先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理證明結(jié)論的正確性．,解析：∵f ′(x)＝x2－1，an＋1≥f ′(an＋1)， ∴an＋1≥(an＋1)2－1. ∵函數(shù)g(x)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞增，于是由a1≥1，得a2≥(a1＋1)2－1≥22－1， 進(jìn)而得a3≥(a2＋1)2－1≥24－123－1， 由此猜想：an≥2n－1. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個猜想：,