高考數學一輪總復習 第十一章 第5節(jié) 數學歸納法課件.ppt

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第十一章 復數、算法、推理與證明,第5節(jié) 數學歸納法,,1．了解數學歸納法的原理． 2．能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題．,[要點梳理] 數學歸納法 一般地，證明一個與正整數n有關的命題，可按下列步驟進行： (1)(歸納奠基)證明當n取第一個值n0 (n0∈N*)時命題成立； (2)(歸納遞推)假設當n＝k(k∈N*，k≥n0)時命題成立，推出當__________時命題也成立．,,,,,,n＝k＋1,只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對n取第一個值后面的所有正整數都成立．上述證明方法叫做數學歸納法． 質疑探究：數學歸納法兩個步驟有什么關系？ 提示：數學歸納法證明中的兩個步驟體現了遞推思想，第一步是遞推的基礎，第二步是遞推的依據，兩個步驟缺一不可，否則就會導致錯誤． (1)第一步中， 驗算n＝n0中的n0不一定為1，根據題目要求，有時可為2或3等． (2)第二步中，證明n＝k＋1時命題成立的過程中，一定要用到歸納假設，掌握“一湊假設，二湊結論”的技巧．,[解析] 觀察等式左邊的特征易知選C. [答案] C,[解析] 從n到n2共有n2－n＋1個數， 所以f(n)中共有n2－n＋1項. [答案] D,4．凸k邊形內角和為f(k)，則凸k＋1邊形的內角和為f(k＋1)＝f(k)＋________. [解析] 易得f(k＋1)＝f(k)＋π. [答案] π,,[典例透析],所以當n＝k＋1時等式也成立． 綜合(1)(2)知對一切n∈N* ，等式都成立． 拓展提高 (1)用數學歸納法證明等式問題是常見題型，其關鍵點在于弄清等式兩邊的構成規(guī)律，等式兩邊各有多少項，初始值n0是幾； (2)由n＝k到n＝k＋1時，除等式兩邊變化的項外還要充分利用n＝k時的式子，即充分利用假設，正確寫出歸納證明的步驟，從而使問題得以證明．,思路點撥 利用假設后，要注意不等式的放大和縮?。?拓展提高 (1)用數學歸納法證明與n有關的不等式一般有兩種具體形式：一是直接給出不等式，按要求進行證明；二是給出兩個式子，按要求比較它們的大小，對第二類形式往往要先對n取前幾個值的情況分別驗證比較，以免出現判斷失誤，最后猜出從某個n值開始都成立的結論，常用數學歸納法證明． (2)用數學歸納法證明不等式的關鍵是由n＝k時成立得n＝k＋1時成立，主要方法有①放縮法；②利用均值不等式法；③作差比較法等．,考向三 用數學歸納法證明整除性問題 例3 用數學歸納法證明42n＋1＋3n＋2能被13整除，其中n為正整數． 思路點撥 當n＝k＋1時，把42(k＋1)＋1＋3k＋3配湊成42k＋1＋3k＋2的形式是解題的關鍵．,拓展提高 用數學歸納法證明整除問題，P(k)?P(k＋1)的整式變形是個難點，找出它們之間的差異，然后將P(k＋1)進行分拆、配湊成P(k)的形式，也可運用結論：“P(k)能被p整除且P(k＋1)－P(k)能被p整除?P(k＋1)能被p整除．”,活學活用3 已知n為正整數，a∈Z，用數學歸納法證明：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除． [證明] (1)當n＝1時，an＋1＋(a＋1)2n－1＝a2＋a＋1，能被a2＋a＋1整除． (2)假設n＝k時，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，那么當n＝k＋1時， ak＋2＋(a＋1)2k＋1 ＝(a＋1)2[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋ak＋2－ak＋1(a＋1)2,思路點撥 關鍵是搞清n＝k到n＝k＋1時對角線增加的條數，看頂點的變化可知對角線的變化從而可解．,拓展提高 用數學歸納法證明幾何問題的關鍵是“找項”，即幾何元素從k個變成k＋1個時，所證的幾何量將增加多少，這需用到幾何知識或借助于幾何圖形來分析；事實上，將n＝k＋1和n＝k分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，這也是用數學歸納法證明幾何問題的一大技巧. 活學活用4 平面上有n個圓，每兩圓交于兩點，每三圓不過同一點，求證這n個圓分平面為n2－n＋2個部分．,[審題視角] (1)將n＝1,2,3代入已知等式得a1，a2，a3，從而可猜想an，并用數學歸納法證明． (2)利用分析法，結合x＞0，y＞0，x＋y＝1，利用基本不等式可證．,【答題模板】 第1步：尋找特例a1，a2，a3等． 第2步：猜想an的公式． 第3步：轉換遞推公式為an與an－1的關系． 第4步：用數學歸納法證明an. ①驗證遞推公式中的第一個自然數n＝2. ②推證ak＋1的表達式為k＋1. ③補驗n＝1，說明對于n∈N*成立． 第5步：分析法證明．,提醒：(1)利用數學歸納法可以探索與正整數n有關的未知問題、存在性問題，其基本模式是“歸納—猜想—證明”，即先由合情推理發(fā)現結論，然后經邏輯推理即演繹推理論證結論的正確性． (2)為了正確地猜想an，首先準確求出a1，a2，a3的值．,[思維升華] 【方法與技巧】,1．數學歸納法的兩個步驟相互依存，缺一不可 有一無二，是不完全歸納法，結論不一定可靠；有二無一，第二步就失去了遞推的基礎． 2．歸納假設的作用 在用數學歸納法證明問題時，對于歸納假設要注意以下兩點：,(1)歸納假設就是已知條件；(2)在推證n＝k＋1時，必須用上歸納假設． 3．利用歸納假設的技巧 在推證n＝k＋1時，可以通過湊、拆、配項等方法用上歸納假設．此時既要看準目標，又要掌握n＝k與n＝k＋1之間的關系．在推證時，分析法、綜合法、反證法等方法都可以應用．,【失誤與防范】,1．數學歸納法證題時初始值n0不一定是1； 2．推證n＝k＋1時一定要用上n＝k時的假設，否則不是數學歸納法．,