全國版2017版高考數(shù)學一輪復習第七章立體幾何7.4直線平面平行的判定及其性質(zhì)課件理

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1、第四節(jié)直線、平面平行的判定及其性質(zhì) 【 知 識 梳 理 】1.直 線 與 平 面 平 行 的 判 定 定 理 和 性 質(zhì) 定 理文 字 語 言 圖 形 語 言 符 號 語 言判定定理 平 面 外 一 條 直 線與 _的 一條 直 線 平 行 ,則 該直 線 與 此 平 面 平行 (線 線 平 行 線面 平 行 ) 因 為 _,所 以 l 此 平 面 內(nèi) l a,a ,l 文 字 語 言 圖 形 語 言 符 號 語 言性質(zhì)定理 一 條 直 線 與 一 個 平面 平 行 ,則 過 這 條直 線 的 任 一 平 面與 此 平 面 的 _與 該 直 線 平 行 (簡記 為 “線 面 平 行 線 線 平

2、 行 ) 因 為 _,_,所 以 l b交 線 l ,l =b 2.平 面 與 平 面 平 行 的 判 定 定 理 和 性 質(zhì) 定 理文 字 語 言 圖 形 語 言 符 號 語 言判定定理 一 個 平 面 內(nèi) 的 兩 條_與 另 一 個平 面 平 行 ,則 這 兩個 平 面 平 行 (簡 記為 “線 面 平 行 面面 平 行 ”) 因 為 _,所 以 相 交 直 線 a ,b ,a b=P,a ,b 文 字 語 言 圖 形 語 言 符 號 語 言性質(zhì)定理 如 果 兩 個 平 行平 面 同 時 和 第三 個 平 面 _,那 么 它 們 的_平 行 因 為 _,所 以 a b相 交交 線 , =a

3、, =b 【 特 別 提 醒 】1.兩 個 平 面 平 行 的 有 關 結 論 :(1)垂 直 于 同 一 條 直 線 的 兩 個 平 面 平 行 ,即 若 a ,a ,則 .(2)平 行 于 同 一 平 面 的 兩 個 平 面 平 行 ,即 若 , ,則 . 2.在 推 證 線 面 平 行 時 ,一 定 要 強 調(diào) 直 線 不 在 平 面 內(nèi) ,否則 會 出 現(xiàn) 錯 誤 . 【 小 題 快 練 】鏈 接 教 材 練 一 練1.(必 修 2P61練 習 改 編 )下 列 命 題 中 正 確 的 是 ( )A.若 a,b是 兩 條 直 線 ,且 a b,那 么 a平 行 于 經(jīng) 過 b的 任 何

4、平 面B.若 直 線 a和 平 面 滿 足 a ,那 么 a與 內(nèi) 的 任 何 直線 平 行 C.平 行 于 同 一 條 直 線 的 兩 個 平 面 平 行D.若 直 線 a,b和 平 面 滿 足 a b,a ,b ,則 b 【 解 析 】 選 D.A錯 誤 ,因 a可 能 在 經(jīng) 過 b的 平 面 內(nèi) ;B錯誤 ,a與 內(nèi) 的 直 線 平 行 或 異 面 ;C錯 誤 ,兩 個 平 面 可 能 相交 ;D正 確 ,由 a ,可 得 a平 行 于 經(jīng) 過 直 線 a的 平 面 與 的 交 線 c,即 a c,又 a b,所 以 b c,b ,c ,所 以b . 2.(必 修 2P56練 習 T2

5、改 編 )在 正 方 體 ABCD-A1B1C1D1中 ,點 E是 DD1的 中 點 ,則 BD1與 平 面ACE的 位 置 關 系 為 _.【 解 析 】 連 接 BD,設 BD AC=O,連 接 EO,在 BDD1中 ,點E,O分 別 是 DD1,BD的 中 點 ,則 EO BD1,又 因 為 EO 平 面ACE,BD1 平 面 AEC,所 以 BD1 平 面 ACE.答 案 :平 行 感 悟 考 題 試 一 試3.(2015 北 京 高 考 )設 , 是 兩 個 不 同 的 平 面 ,m是 直線 且 m ,“ m ” 是 “ ” 的 ( )A.充 分 而 不 必 要 條 件 B.必 要

6、而 不 充 分 條 件 C.充 分 必 要 條 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 條 件 【 解 析 】 選 B.當 m 時 ,可 能 ,也 可 能 與 相交 .當 時 ,由 m 可 知 ,m .因 此 ,“ m ”是 “ ” 的 必 要 而 不 充 分 條 件 . 4.(2016 蘭 州 模 擬 )設 l為 直 線 , , 是 兩 個 不 同 的 平面 .下 列 命 題 中 正 確 的 是 ( )A.若 l ,l ,則 B.若 l ,l ,則 C.若 l ,l ,則 D.若 ,l ,則 l 【 解 析 】 選 B.選 項 A,若 l ,l ,則 和 可 能 平 行也 可 能 相 交 ,

7、故 錯 誤 ;選 項 B,若 l ,l ,則 ,故 正 確 ;選 項 C,若 l ,l ,則 ,故 錯 誤 ;選 項 D,若 ,l ,則 l與 的 位 置 關 系 有 三 種 可 能 :l與 相 交 ,l ,l ,故 錯 誤 . 5.(2016 合 肥 模 擬 )已 知 平 面 , 和 直 線 m,給 出 條件 : m ; m ; m ; ; .能推 導 出 m 的 是 ( )A. B. C. D. 【 解 析 】 選 D.由 兩 平 面 平 行 的 性 質(zhì) 可 知 ,兩 平 面 平 行 ,在 一 個 平 面 內(nèi) 的 直 線 必 平 行 于 另 一 個 平 面 ,故 選 D. 考 向 一 直

8、線 與 平 面 平 行 的 判 定 與 性 質(zhì)【 考 情 快 遞 】命 題 方 向 命 題 視 角證 明 直 線 與 平面 平 行 主 要 考 查 利 用 線 面 平 行 的 判 定 定 理 或利 用 面 面 平 行 的 性 質(zhì) 證 明 線 面 平 行線 面 平 行 性 質(zhì)定 理 的 應 用 主 要 考 查 利 用 線 面 平 行 性 質(zhì) 定 理 得 出線 線 平 行 ,進 而 求 解 其 他 問 題 【 考 題 例 析 】命 題 方 向 1:證 明 直 線 與 平 面 平 行【 典 例 1】 (2015 山 東 高 考 改 編 題 )如 圖 ,在 三 棱 臺 DEF-ABC中 ,AB=2DE

9、,點 G,H分 別為 AC,BC的 中 點 .求 證 :BD 平 面 FGH. 【 解 題 導 引 】 構 造 線 線 平 行 或 面 面 平 行 證 明 線 面 平 行 .【 規(guī) 范 解 答 】 如 圖 ,連 接 DG,CD,設 CD FG=O,連 接 OH.在 三 棱 臺 DEF-ABC中 ,AB=2DE,點 G為 AC的 中 點 ,可 得 DF GC,DF=GC,所 以 四 邊 形 DFCG為 平 行 四 邊 形 ,所 以 點 O為 CD的 中 點 . 又 因 為 點 H為 BC的 中 點 ,所 以 OH BD.又 因 為 OH 平 面 FGH,BD 平 面 FGH,所 以 BD 平 面

10、 FGH. 【 一 題 多 解 】 解 答 本 題 ,還 有 以 下 解 法 :因 為 DEF-ABC是 三 棱 臺 ,且 AB=2DE,所 以 BC=2EF,因 為 點 H為 BC的 中 點 ,所 以 BH EF,BH=EF,所 以 四 邊 形 BHFE為 平 行 四 邊 形 ,所 以 BE HF.BE 平 面 ABED,FH 平 面 ABED, 所 以 FH 平 面 ABED,在 ABC中 ,點 G為 AC的 中 點 ,點 H為 BC的 中 點 ,所 以 GH AB,同 理 GH 平 面 ABED.又 因 為 GH HF=H,所 以 平 面 FGH 平 面 ABED.因 為 BD 平 面

11、ABED,所 以 BD 平 面 FGH. 命 題 方 向 2:線 面 平 行 性 質(zhì) 定 理 的 應 用【 典 例 2】 (2014 安 徽 高 考 )如 圖 ,四 棱錐 P-ABCD的 底 面 是 邊 長 為 8的 正 方 形 ,四條 側(cè) 棱 長 均 為 2 .點 G,E,F,H分 別 是棱 PB,AB,CD,PC上 共 面 的 四 點 ,平 面 GEFH 平 面 ABCD,BC 平 面 GEFH. 17 (1)證 明 :GH EF.(2)若 EB=2,求 四 邊 形 GEFH的 面 積 .【 解 題 導 引 】 (1)由 線 面 平 行 得 出 BC平 行 于 直 線 EF,GH.(2)連

12、 接 AC,BD交 于 點 O,設 BD交 EF于 點 K,連 接 OP,GK,則點 K為 OB的 中 點 ,由 面 面 垂 直 得 出 GK EF,再 由 梯 形 面 積公 式 S= GK計 算 求 解 .GH EF2 【 規(guī) 范 解 答 】 (1)因 為 BC 平 面 GEFH,BC 平 面 PBC,且平 面 PBC 平 面 GEFH=GH,所 以 GH BC,同 理 可 證 EF BC,因 此 GH EF. (2)連 接 AC,BD交 于 點 O,設 BD交 EF于 點 K,連 接 OP,GK,因 為 PA=PC,點 O是 AC的 中 點 ,所 以 PO AC,同 理 可 得 PO BD

13、,又 因 為 BD AC=O,且 AC,BD都 在 底 面 內(nèi) ,所 以 PO 底 面 ABCD, 又 因 為 平 面 GEFH 平 面 ABCD,且 PO 平 面 GEFH,所 以 PO 平 面 GEFH,因 為 平 面 PBD 平 面 GEFH=GK,所 以 PO GK,且 GK 底 面 ABCD,從 而 GK EF,所 以 GK是 梯 形 GEFH的 高 ,由 AB=8,EB=2得EB AB=KB DB=1 4,從 而 KB= DB= OB,即 點 K是 OB的 中 點 .14 12 再 由 PO GK得 GK= PO,即 點 G是 PB的 中 點 ,且 GH= BC=4,由 已 知 可

14、 得 OB=4 ,PO= 所 以 GK=3,故 四 邊 形 GEFH的 面 積 S= GK= 3=18. 12122 2PB OB 68 32 6 ， 2 GH EF24 82 【 技 法 感 悟 】1.證 明 直 線 與 平 面 平 行 的 兩 種 重 要 方 法 及 關 鍵方 法 關 鍵利 用 線 面 平 行 的 判定 定 理 在 該 平 面 內(nèi) 找 或 作 一 直 線 ,證 明其 與 已 知 直 線 平 行利 用 面 面 平 行 的 性質(zhì) 過 該 線 找 或 作 一 平 面 ,證 明 其 與已 知 平 面 平 行 2.線 面 平 行 性 質(zhì) 定 理 的 應 用轉(zhuǎn) 化 為 該 線 與 過

15、該 線 的 一 個 平 面 與 該 平 面 的 交 線 平 行 . 【 題 組 通 關 】1.(2014 全 國 卷 改 編 )如 圖 所 示 ,在 四 棱 錐 P-ABCD中 , ABC= ACD=90 , BAC= CAD=60 ,點 E為 PD的中 點 ,AB=1,求 證 :CE 平 面 PAB. 【 證 明 】 由 已 知 條 件 有 AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD=2 .如 圖 所 示 ,延 長 DC,AB,設 其 交 于 點 N,連 接 PN,因 為 NAC= DAC=60 ,AC CD,所 以 點 C為 ND的 中 點 ,又 因 為 點 E為 PD的 中 點 ,所 以

16、EC PN,因 為 EC 平 面PAB,PN 平 面 PAB,所 以 CE 平 面 PAB. 3 【 一 題 多 解 】 解 答 本 題 ,還 有 以 下 方 法 :取 AD中 點 為 M,連 接 ME,MC,因 為 點 E為 PD的中 點 ,所 以 EM PA,EM 平 面 PAB,PA 平 面PAB,所 以 EM 平 面 PAB,由 已 知 得 AC=2AB=2,AD=2AC=4,則 CM=AM=2,所 以 BAC= ACM=60 ,所 以 MC AB,又 因為 CM 平 面 PAB,所 以 CM 平 面 PAB,而 CM EM=M,所 以 平面 EMC 平 面 PAB,又 因 為 CE

17、平 面 EMC,所 以 CE 平 面 PAB. 2.(2016 昆 明 模 擬 )在 三 棱 錐 S-ABC中 , ABC是 邊 長 為 6的 正 三 角 形 ,SA=SB=SC=15,平 面 DEFH分 別 與 AB,BC,SC,SA交 于 點D,E,F,H,且 點 D,E,F,H分 別 是 AB,BC,SC,SA的 中 點 ,如 果直 線 SB 平 面 DEFH,求 四 邊 形 DEFH的 面 積 . 【 解 析 】 因 為 點 D,E,F,H分 別 是 AB,BC,SC,SA的 中 點 ,所 以 DE AC,FH AC,DH SB,EF SB,則 四 邊 形 DEFH是 平 行 四 邊

18、形 ,且 DE= AC=3,取 AC的 中 點 O,連 接 OB,OS,因 為 SA=SC=15,AB=BC=6,所 以 AC SO,AC OB, 1 15HD SB2 2 ，12 因 為 SO OB=O,所 以 AO 平 面 SOB,所 以 AO SB,則 HD DE,即 四 邊 形 DEFH是 矩 形 ,所 以 四 邊 形 DEFH的 面 積 S= 15 453 .2 2 【 加 固 訓 練 】 (2014 山 東 高 考 改 編 題 )如 圖 ,四 棱 錐P-ABCD中 ,AD BC,AB=BC= AD,點 E,F,H分 別 為 線 段AD,PC,CD的 中 點 ,AC與 BE交 于 O

19、點 ,G是 線 段 OF上 一 點 .(1)求 證 :AP 平 面 BEF.(2)求 證 :GH 平 面 PAD. 12 【 證 明 】 (1)連 接 EC,因 為 AD BC,BC= AD,E為 AD中 點 ,所 以 BC AE,所 以 四 邊 形 ABCE是 平 行 四 邊 形 ,12 所 以 點 O為 AC的 中 點 ,又 因 為 點 F是 PC的 中 點 ,所 以 FO AP,又 FO 平 面 BEF,AP 平 面 BEF,所 以 AP 平 面 BEF. (2)連 接 FH,OH,因 為 點 F,H分 別 是 PC,CD的 中 點 ,所 以 FH PD,FH 平 面 PAD,PD 平

20、面 PAD,所 以 FH 平 面PAD,又 因 為 點 O是 AC的 中 點 ,點 H是 CD的 中 點 ,所 以 OH AD,同 理 OH 平 面 PAD, 又 因 為 FH OH=H,所 以 平 面 OHF 平 面 PAD.又 因 為 GH 平 面 OHF,所 以 GH 平 面 PAD. 考 向 二 面 面 平 行 的 判 定 與 性 質(zhì)【 典 例 3】 (2016 長 春 模 擬 )如 圖 ,在 三 棱 柱 ABC-A1B1C1中 ,點 D是 BC上 一 點 ,且 A1B 平 面 AC1D,點 D1是 B1C1的 中點 ,求 證 :平 面 A1BD1 平 面 AC1D. 【 解 題 導

21、引 】 先 證 點 D是 BC的 中 點 ,再 證 BD1 DC1.【 規(guī) 范 解 答 】 如 圖 ,連 接 A1C交 AC1于 點 E,連 接 ED.因 為 四 邊 形 A1ACC1是 平 行 四 邊 形 ,所 以 點 E是 A1C的 中 點 ,因 為 A1B 平 面 AC1D,平 面 A1BC 平 面 AC1D=ED,所 以 A1B ED, 因 為 點 E是 A1C的 中 點 ,所 以 點 D是 BC的 中 點 ,又 因 為 點 D1是 B1C1的 中 點 ,所 以 D1C1 BD,所 以 四 邊 形 BDC1D1為 平 行 四 邊 形 ,所 以 BD1 C1D. BD1 平 面 AC1D

22、,C1D 平 面 AC1D,所 以 BD1 平 面 AC1D,又 因 為 A1B BD1=B,所 以 平 面 A1BD1 平 面 AC1D. 【 規(guī) 律 方 法 】1.判 定 面 面 平 行 的 方 法(1)利 用 定 義 :常 用 反 證 法 .(2)利 用 面 面 平 行 的 判 定 定 理 .(3)利 用 垂 直 于 同 一 條 直 線 的 兩 平 面 平 行 .(4)利 用 兩 個 平 面 同 時 平 行 于 第 三 個 平 面 ,則 這 兩 個 平面 平 行 . 2.面 面 平 行 的 性 質(zhì)(1)兩 平 面 平 行 ,則 一 個 平 面 內(nèi) 的 直 線 平 行 于 另 一 平 面

23、.(2)若 一 平 面 與 兩 平 行 平 面 相 交 ,則 交 線 平 行 . 3.證 明 線 線 平 行 的 常 用 方 法(1)利 用 公 理 4:找 第 三 線 ,只 需 證 明 兩 線 都 與 第 三 線 平行 即 可 .(2)利 用 三 角 形 的 中 位 線 的 性 質(zhì) .(3)構 建 平 行 四 邊 形 利 用 其 對 邊 平 行 .(4)利 用 面 面 平 行 的 性 質(zhì) 定 理 . 易 錯 提 醒 :利 用 面 面 平 行 的 判 定 定 理 證 明 兩 平 面 平 行 時需 要 說 明 是 一 個 平 面 內(nèi) 的 兩 條 相 交 直 線 與 另 一 個 平 面平 行 .

24、重 視 三 種 平 行 間 的 轉(zhuǎn) 化 關 系線 線 平 行 、 線 面 平 行 、 面 面 平 行 的 相 互 轉(zhuǎn) 化 是 解 決 與平 行 有 關 的 問 題 的 指 導 思 想 ,解 題 中 既 要 注 意 一 般 的 轉(zhuǎn)化 規(guī) 律 ,又 要 看 清 題 目 的 具 體 條 件 ,選 擇 正 確 的 轉(zhuǎn) 化 方向 . 【 變 式 訓 練 】 (2016 西 安 模 擬 )如 圖 ,四 棱 柱 ABCD-A1B1C1D1的 底 面 ABCD是 正 方 形 ,點 O是 底 面 中 心 ,A1O底 面 ABCD,AB=AA1= .(1)證 明 :平 面 A1BD 平 面 CD1B1.(2)求

25、三 棱 柱 ABD-A1B1D1的 體 積 .2 【 解 析 】 (1)由 題 設 知 ,BB1 DD1,所 以 四 邊 形 BB1D1D是 平 行 四 邊 形 ,所 以 BD B1D1,又 因 為 BD 平 面 CD1B1,B1D1 平 面 CD1B1,所 以 BD 平 面 CD1B1. 因 為 A1D1 B1C1 BC,所 以 四 邊 形 A1BCD1是 平 行 四 邊 形 ,所 以 A1B D1C,又 因 為 A1B 平 面 CD1B1,D1C 平 面 CD1B1, 所 以 A1B 平 面 CD1B1,又 因 為 BD A1B=B,所 以 平 面 A1BD 平 面 CD1B1. (2)因

26、 為 A1O 平 面 ABCD,所 以 A1O是 三 棱 柱 ABD-A1B1D1的 高 .又 因 為 AO= AC=1,AA1= ,所 以 A1O= 又 因 為 S ABD= 所 以 =S ABD A1O=1.12 22 21AA AO 1. 1 2 2 ,2 1 1 1ABD ABDV 【 加 固 訓 練 】1.如 圖 所 示 ,已 知 ABCD-A1B1C1D1是 棱 長 為 3的 正 方 體 ,點E在 AA1上 ,點 F在 CC1上 ,點 G在 BB1上 ,且 AE=FC1=B1G=1,點H是 B1C1的 中 點 .(1)求 證 :E,B,F,D1四 點 共 面 .(2)求 證 :平

27、面 A1GH 平 面 BED1F. 【 證 明 】 (1)連 接 FG.因 為 AE=B1G=1,所 以BG=A1E=2,又 因 為 BG A1E,所 以 四 邊 形BGA1E為 平 行 四 邊 形 ,所 以 A1G BE.又 因 為C1F B1G,C1F=B1G,所 以 四 邊 形 C1FGB1為 平 行 四 邊 形 ,所以 FG B1C1,FG=B1C1. 又 因 為 B1C1 D1A1,B1C1=D1A1,所 以 FG D1A1,FG=D1A1,所以 四 邊 形 A1GFD1為 平 行 四 邊 形 ,所 以 A1G D1F,所 以D1F BE.故 E,B,F,D1四 點 共 面 . (2

28、)因 為 點 H是 B1C1的 中 點 ,所 以 B1H= .又 因 為 B1G=1, 又 因 為 且 FCB= GB1H=90 .所 以 B1HG CBF,則 B1GH= CFB= FBG.所 以HG FB.又 由 (1)知 ,A1G BE,且 HG A1G=G,FB BE=B,所 以 平 面A 1GH 平 面 BED1F. 3211BG 2.BH 3FC 2C 3 ， 2.平 面 內(nèi) 有 ABC,AB=5,BC=8,AC=7,梯 形 BCDE的 底DE=2,過 EB的 中 點 B1的 平 面 ,若 分 別 交 EA,DC于A1,C1,求 A1B1C1的 面 積 . 【 解 析 】 因 為

29、,所 以 A1B1 AB,B1C1 BC,又 因 A1B1C1與 ABC同 向 .所 以 A1B1C1= ABC.又 因 為 cos ABC= 所 以 ABC=60 = A1B1C1.又 因 為 B1為 EB的 中 點 ,2 2 25 8 7 1,2 5 8 2 所 以 B1A1是 EAB的 中 位 線 ,所 以 B1A1= AB= ,同 理 知 B1C1為 梯 形 BCDE的 中 位 線 ,所 以 B1C1= (BC+DE)=5.則故 A1B1C1的 面 積 為 .521212 1 1 1ABC 1 1 1 11 1 5 3 25S AB BC sin 60 5 3.2 2 2 2 8 25

30、 38 考 向 三 線 、 面 平 行 中 的 探 索 性 問 題【 典 例 4】 (2014 四 川 高 考 )在 如 圖 所 示 的 多 面 體 中 ,四 邊 形 ABB1A1和 ACC1A1都 為 矩 形 . (1)若 AC BC,證 明 :直 線 BC 平 面 ACC1A1.(2)設 D,E分 別 是 線 段 BC,CC1的 中 點 ,在 線 段 AB上 是 否 存在 一 點 M,使 直 線 DE 平 面 A1MC?請 證 明 你 的 結 論 . 【 解 題 導 引 】 (1)先 利 用 線 面 垂 直 的 判 定 定 理 證 明AA1 平 面 ABC,再 證 明 直 線 BC 平 面

31、 ACC1A1.(2)由 于 D,E分 別 是 線 段 BC,CC1的 中 點 ,易 猜 想 M應 為 線 段 AB的 中 點 ,只 要 在 平 面 A1MC內(nèi) 找 到 一 條 與 DE平 行 的 直 線 即 可 . 【 規(guī) 范 解 答 】 (1)因 為 四 邊 形 ABB1A1和 ACC1A1都 是 矩 形 ,所 以 AA1 AB,AA1 AC.因 為 AB,AC為 平 面 ABC內(nèi) 兩 條 相 交 直 線 ,所 以 AA1 平 面 ABC.因 為 直 線 BC 平 面 ABC,所 以 AA1 BC.又 由 已 知 ,AC BC,AA1,AC為 平 面 ACC1A1內(nèi) 兩 條 相 交 直 線

32、 ,所 以 BC 平 面 ACC 1A1. (2)存 在 一 點 M(線 段 AB的 中 點 ),使 DE 平 面 A1MC.證 明如 下 :取 線 段 AB的 中 點 M,連 接 A1M,MC,A1C,AC1.設 O為 A1C,AC1的 交 點 .由 已 知 ,O為 AC1的 中 點 ,連 接 MD,OE,則 MD,OE分 別 為 ABC, ACC1的 中 位 線 , 所 以 MD AC,OE AC,因 此 MD OE,連 接 OM,從 而 四 邊 形 MDEO為 平 行 四 邊 形 ,則 DE MO.因 為 直 線 DE 平 面 A1MC,MO 平 面 A1MC,所 以 直 線 DE 平

33、面 A1MC.即 線 段 AB上 存 在 一 點 M(線 段 AB的 中 點 ),使 直 線 DE 平面 A1MC. 12 12 【 母 題 變 式 】 1.本 例 題 中 在 (2)的 條 件 下 ,試 在 線 段 AB上 找 一 點 N,使 得 平 面 DEN 平 面 A1MC.【 解 析 】 取 線 段 BM的 中 點 N,連 接 DN,EN,在 BMC中 ,DN是 中 位 線 ,所 以 DN MC,由 (2)知 DE MO,又 因 為 DN DE=D,MO MC=M,所 以 平 面 DEN 平 面 A1MC,即 當 點 N是 BM的 中 點 時 ,平 面 DEN 平 面 A 1MC.

34、2.本 例 題 中 在 (2)的 條 件 下 ,試 在 線 段 A1B1上 找 一 點 F,使 得 平 面 BC1F 平 面 A1MC.【 解 析 】 取 A1B1的 中 點 F,連 接 BF,C1F,BC1,因 為 A1F MB,所 以 四 邊 形 A1MBF是 平 行 四 邊 形 ,從 而 A1M BF, 又 因 為 DE是 BCC1的 中 位 線 ,所 以 DE BC1,又 因 為 DE MO,則 BC1 MO,因 為 BF BC1=B,A1M MO=M,所 以 平 面 BC1F 平 面 A1MC,即 當 F是 線 段 A1B1的 中 點 時 ,平 面 BC1F 平 面 A1MC. 【

35、規(guī) 律 方 法 】 解 決 探 索 性 問 題 的 策 略 方 法(1)根 據(jù) 探 索 性 問 題 的 設 問 ,假 設 其 存 在 并 探 索 出 結 論 ,然 后 在 這 個 假 設 下 進 行 推 理 論 證 ,若 得 到 合 乎 情 理 的 結論 就 肯 定 假 設 ,若 得 到 矛 盾 就 否 定 假 設 .(2)按 類 似 于 分 析 法 的 格 式 書 寫 步 驟 :從 結 論 出 發(fā) “ 要使 成 立 ” ,“ 只 需 使 成 立 ” . 【 變 式 訓 練 】 (2016 昆 明 模 擬 )如 圖 ,四 棱 錐 P-ABCD中 ,AB CD,AB=2CD,E為 PB的 中 點

36、 .(1)求 證 :CE 平 面 PAD.(2)在 線 段 AB上 是 否 存 在 一 點 F,使 得 平 面 PAD 平 面 CEF?若 存 在 ,證 明 你 的 結 論 ,若 不 存 在 ,請 說 明 理 由 . 【 解 析 】 (1)如 圖 所 示 ,取 PA的 中 點 H,連 接 EH,DH,因 為 E為 PB的 中 點 ,所 以 EH AB,EH= AB,又 AB CD,CD= AB,所 以 EH CD,EH=CD,1212 因 此 四 邊 形 DCEH是 平 行 四 邊 形 ,所 以 CE DH,又 DH 平 面 PAD,CE 平 面 PAD,因 此 CE 平 面 PAD. (2)

37、如 圖 所 示 ,取 AB的 中 點 F,連 接 CF,EF,所 以 AF= AB,又 CD= AB,所 以 AF=CD,又 AF CD,所 以 四 邊 形 AFCD為 平 行 四 邊 形 ,因 此 CF AD,1212 又 CF 平 面 PAD,所 以 CF 平 面 PAD,由 (1)可 知 CE 平 面 PAD,又 CE CF=C,故 平 面 CEF 平 面 PAD,故 存 在 AB的 中 點 F滿 足 要 求 . 【 加 固 訓 練 】1.(2016 濰 坊 模 擬 )如 圖 所 示 ,四 棱 錐P-ABCD的 底 面 是 邊 長 為 a的 正 方 形 ,側(cè) 棱PA 底 面 ABCD,在

38、 側(cè) 面 PBC內(nèi) ,有 BE PC于 點 E,且 BE= a,試 在 AB上 找 一 點 F,使 EF 平 面 PAD.63 【 解 析 】 在 平 面 PCD內(nèi) 作 EG PD于 點 G,連 接 AG,因 為 PA 底 面 ABCD,所 以 PA CD,PA BC,又 因 為 CD AD,BC AB,PA AD=A,PA AB=A,所 以 CD 平 面 PAD,BC 平 面 PAB, 所 以 CD PD,PB BC,所 以 CD EG,又 AB CD,所 以 EG AB,若 有 EF 平 面 PAD,則 EF AG,所 以 四 邊 形 AFEG為 平 行 四 邊 形 ,EG=AF.因 為

39、CE= 且 PBC為 直 角 三 角 形 ,2 26 3a ( a) a,3 3 所 以 BC2=CE CP,所 以 CP= a. 故 存 在 點 F,當 AF FB=2 1時 ,EF 平 面 PAD.3 33a aAF EG PE 23 ,AB CD CP 33a 又 2.如 圖 ,在 正 方 體 ABCD -A1B1C1D1中 ,點 O為 底 面 ABCD的中 心 ,點 P是 DD1的 中 點 ,設 點 Q是 CC1上 的 點 ,問 :當 點 Q在什 么 位 置 時 ,平 面 D1BQ 平 面 PAO? 【 解 析 】 當 點 Q為 CC1的 中 點 時 ,平 面 D1BQ 平 面 PAO

40、.證明 如 下 :因 為 點 Q為 CC1的 中 點 ,點 P為 DD1的 中 點 ,所 以 QB PA.因 為 點 P,O分 別 為 DD1,DB的 中 點 ,所 以 D1B PO.又 因 為 D1B 平 面 PAO,PO 平 面 PAO,QB 平 面 PAO,PA 平面 PAO,所 以 D1B 平 面 PAO,QB 平 面 PAO,又 因 為D 1B QB=B,D1B,QB 平 面 D1BQ,所 以 平 面 D1BQ 平 面 PAO. 3.如 圖 所 示 ,在 三 棱 柱 ABC-A1B1C1中 ,點 D是 棱 CC1的 中 點 ,問 在 棱 AB上 是 否 存 在 一 點 E,使 DE

41、平 面 AB1C1?若 存 在 ,請 確 定 點 E的 位 置 ;若 不 存 在 ,請 說 明 理 由 . 【 解 析 】方 法 一 :存 在 點 E,且 E為 AB的 中 點 時 ,DE 平 面 AB1C1,下 面 給 出 證 明 :如 圖 ,取 BB1的 中 點 F,連 接 DF,則 DF B1C1,因 為 AB的 中 點 為 E,連 接 EF,則 EF AB1,B1C1 AB1=B1, DF EF=F,所 以 平 面 DEF 平 面 AB1C1,而 DE 平 面 DEF,所 以 DE 平 面 AB1C1. 方 法 二 :假 設 在 棱 AB上 存 在 點 E,使 得 DE 平 面 AB1C1,如 圖 ,取 BB1的 中 點 F,連 接 DF,EF,則 DF B1C1,又 因 為 DF 平 面 AB1C1,所 以 DF 平 面 AB1C1.又 因 為 DE 平 面 AB1C1,DE DF=D,所 以 平 面 DEF 平 面 AB1C1, 因 為 EF 平 面 DEF,所 以 EF 平 面 AB1C1,又 因 為 EF 平 面 ABB1,平 面 ABB1 平 面 AB1C1=AB1,所 以EF AB1,因 為 點 F是 BB1的 中 點 ,所 以 點 E是 AB的 中 點 ,即 當 點 E是 AB的 中 點 時 ,DE 平 面 AB1C1.