高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十一章 第5節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法課件 理 新人教A版.ppt

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(理)第5節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法,Ⅰ.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理． Ⅱ.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題．,,,整合·主干知識(shí),數(shù)學(xué)歸納法 一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行： (1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0 (n0∈N*)時(shí)命題成立； (2)(歸納遞推)假設(shè)當(dāng)n＝k (k∈N*，k≥n0)時(shí)命題成立，推出當(dāng)________時(shí)命題也成立． 只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)n取第一個(gè)值后面的所有正整數(shù)都成立．上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法．,n＝k＋1,質(zhì)疑探究2：數(shù)學(xué)歸納法兩個(gè)步驟有什么關(guān)系？ 提示：數(shù)學(xué)歸納法證明中的兩個(gè)步驟體現(xiàn)了遞推思想，第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，兩個(gè)步驟缺一不可，否則就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤． (1)第一步中， 驗(yàn)算n＝n0中的n0不一定為1，根據(jù)題目要求，有時(shí)可為2或3等． (2)第二步中，證明n＝k＋1時(shí)命題成立的過(guò)程中，一定要用到歸納假設(shè)，掌握“一湊假設(shè)，二湊結(jié)論”的技巧．,解析：觀察等式左邊的特征易知選C. 答案：C,解析：因?yàn)榧僭O(shè)n＝k(k≥2且k為偶數(shù))，故下一個(gè)偶數(shù)為k＋2. 答案：B,解析：從n到n2共有n2－n＋1個(gè)數(shù)， 所以f(n)中共有n2－n＋1項(xiàng)． 答案：D,4．凸k邊形內(nèi)角和為f(k)，則凸k＋1邊形的內(nèi)角和為f(k＋1)＝f(k)＋________. 解析：易得f(k＋1)＝f(k)＋π. 答案：π,答案：2k,,聚集·熱點(diǎn)題型,用數(shù)學(xué)歸納法證明等式,[拓展提高] (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題是常見題型，其關(guān)鍵點(diǎn)在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始值n0是幾； (2)由n＝k到n＝k＋1時(shí)，除等式兩邊變化的項(xiàng)外還要充分利用n＝k時(shí)的式子，即充分利用假設(shè)，正確寫出歸納證明的步驟，從而使問題得以證明．,,用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,[拓展提高] (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等式一般有兩種具體形式：一是直接給出不等式，按要求進(jìn)行證明；二是給出兩個(gè)式子，按要求比較它們的大小，對(duì)第二類形式往往要先對(duì)n取前幾個(gè)值的情況分別驗(yàn)證比較，以免出現(xiàn)判斷失誤，最后猜出從某個(gè)n值開始都成立的結(jié)論，常用數(shù)學(xué)歸納法證明． (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n＝k時(shí)成立得n＝k＋1時(shí)成立，主要方法有①放縮法；②利用均值不等式法；③作差比較法等．,,[典例賞析3] 用數(shù)學(xué)歸納法證明42n＋1＋3n＋2能被13整除，其中n為正整數(shù)． [思路索引]當(dāng)n＝k＋1時(shí)，把42(k＋1)＋1＋3k＋3配湊成42k＋1＋3k＋2的形式是解題的關(guān)鍵． [證明] (1)當(dāng)n＝1時(shí)，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，42k＋1＋3k＋2能被13整除，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，,用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題,方法一 42(k＋1)＋1＋3k＋3＝42k＋1·42＋3k＋2·3－42k＋1·3＋42k＋1·3＝42k＋1·13＋3·(42k＋1＋3k＋2)， ∵42k＋1·13能被13整除，42k＋1＋3k＋2能被13整除．∴42(k＋1)＋1＋3k＋3能被13整除． 方法二 因?yàn)閇42(k＋1)＋1＋3k＋3]－3(42k＋1＋3k＋2) ＝(42k＋1·42＋3k＋2·3)－3(42k＋1＋3k＋2) ＝42k＋1·13， ∵42k＋1·13能被13整除， ∴[42(k＋1)＋1＋3k＋3]－3(42k＋1＋3k＋2)能被13整除，因而42(k＋1)＋1＋3k＋3能被13整除， ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立， 由(1)(2)知，當(dāng)n∈N*時(shí)，42n＋1＋3n＋2能被13整除．,[拓展提高] 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題，P(k)?P(k＋1)的整式變形是個(gè)難點(diǎn)，找出它們之間的差異，然后將P(k＋1)進(jìn)行分拆、配湊成P(k)的形式，也可運(yùn)用結(jié)論：“P(k)能被p整除且P(k＋1)－P(k)能被p整除?P(k＋1)能被p整除．”,[變式訓(xùn)練] 3．已知n為正整數(shù)，a∈Z，用數(shù)學(xué)歸納法證明：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除． 證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，an＋1＋(a＋1)2n－1＝a2＋a＋1，能被a2＋a＋1整除． (2)假設(shè)n＝k時(shí)，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋2＋(a＋1)2k＋1 ＝(a＋1)2[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋ak＋2－ak＋1(a＋1)2 ＝(a＋1)2[ak＋1＋(a＋1)2k－1]－ak＋1(a2＋a＋1)能被a2＋a＋1整除．,即當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立． 根據(jù)(1)(2)可知，對(duì)于任意n∈N*，an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除．,[思路索引]關(guān)鍵是搞清n＝k到n＝k＋1時(shí)對(duì)角線增加的條數(shù)，看頂點(diǎn)的變化可知對(duì)角線的變化從而可解． [證明] ①因?yàn)槿切螞]有對(duì)角線， 所以n＝3時(shí)，f(3)＝0，命題成立．,用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題,[拓展提高] 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是“找項(xiàng)”，即幾何元素從k個(gè)變成k＋1個(gè)時(shí)，所證的幾何量將增加多少，這需用到幾何知識(shí)或借助于幾何圖形來(lái)分析；事實(shí) 上，將n＝k＋1和n＝k分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，這也是用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的一大技巧.,,[變式訓(xùn)練] 4．平面上有n個(gè)圓，每?jī)蓤A交于兩點(diǎn)，每三圓不過(guò)同一點(diǎn)，求證這n個(gè)圓分平面為n2－n＋2個(gè)部分． 證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，n2－n＋2＝1－1＋2＝2，而一圓把平面分成兩部分，所以n＝1命題成立． (2)設(shè)n＝k時(shí)，k個(gè)圓分平面為k2－k＋2個(gè)部分，則n＝k＋1時(shí)，第k＋1個(gè)圓與前k個(gè)圓有2k個(gè)交點(diǎn)，這2k個(gè)交點(diǎn)分第k＋1個(gè)圓為2k段，每一段都將原來(lái)所在的平面一分為二，故增加了2k個(gè)平面塊，共有(k2－k＋2)＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2個(gè)部分．∴對(duì)n＝k＋1也成立．,由(1)(2)可知，這n個(gè)圓分割平面為n2－n＋2個(gè)部分．,[備課札記] ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________,,提升·學(xué)科素養(yǎng),(理)歸納、猜想、證明,,[審題視角] (1)將n＝1,2,3代入已知等式得a1，a2，a3，從而可猜想an，并用數(shù)學(xué)歸納法證明． (2)利用分析法，結(jié)合x＞0，y＞0，x＋y＝1，利用基本不等式可證．,[溫馨提醒] (1)利用數(shù)學(xué)歸納法可以探索與正整數(shù)n有關(guān)的未知問題、存在性問題，其基本模式是“歸納—猜想—證明”，即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理即演繹推理論證結(jié)論的正確性． (2)為了正確地猜想an，首先準(zhǔn)確求出a1，a2，a3的值．,,1．一種方法 數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題．證明時(shí)步驟(1)和(2)缺一不可，步驟(1)是步驟(2)的基礎(chǔ)，步驟(2)是遞推的依據(jù)． 2．兩點(diǎn)注意——運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)注意： (1)第一步驗(yàn)證n＝n0時(shí)，n0不一定為1，要根據(jù)題目要求選擇合適的起始值． (2)由n＝k時(shí)命題成立，證明n＝k＋1時(shí)命題成立的過(guò)程中，一定要?dú)w納假設(shè)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法．,,