高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章 第8講 數(shù)學(xué)歸納法課件 理.ppt
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第8講,數(shù)學(xué)歸納法,1.掌握“歸納—猜想—證明”這一基本思路. 2.了解數(shù)學(xué)歸納法的基本原理.,3.能利用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題.,1.運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題要分兩步,第一步是歸納奠基 (或遞推基礎(chǔ)),第二步是歸納遞推(或歸納假設(shè)),兩步缺一不可. 2.用數(shù)學(xué)歸納法可以證明許多與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題, 其中包括恒等式、不等式、數(shù)列通項(xiàng)公式、整除性問(wèn)題、幾何 問(wèn)題等.,條時(shí),第一步檢驗(yàn)第一個(gè)值 n0 等于(,),A.1,B.2,C.3,D.4,且 n1)時(shí),在第二步證明從 n=k 到 n=k+1 成立時(shí),左邊增加,的項(xiàng)數(shù)是(,),A.2k B.2k-1 C.2k-1 D.2k+1,C,A,3.凸 n 邊形有 f(n)條對(duì)角線(xiàn),則凸 n+1 邊形有對(duì)角線(xiàn)數(shù) f(n,+1)為(,),C,5,A.f(n)+n+1 C.f(n)+n-1,B.f(n)+n D.f(n)+n-2,4.若不等式 2nn2+1對(duì)于n≥n0的正整數(shù) n 都成立,則 n0 的最小值為_(kāi)______.,考點(diǎn)1,對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟的認(rèn)識(shí),上述證法(,),A.過(guò)程全都正確 B.n=1 驗(yàn)得不正確 C.歸納假設(shè)不正確 D.從 n=k 到 n=k+1 的推理不正確 解析:上述證明過(guò)程中,在由n=k 變化到n=k+1 時(shí),不 等式的證明使用的是放縮法而沒(méi)有使用歸納假設(shè).故選 D. 答案:D,答案:B,【規(guī)律方法】用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí),要注意觀(guān)察下列幾個(gè) 方面:①n 的范圍以及遞推的起點(diǎn);②觀(guān)察首末兩項(xiàng)的次數(shù)(或 其他),確定n=k 時(shí)命題的形式f(k);③從f(k+1)和f(k)的差異, 尋找由k 到 k+1 遞推中,左邊要加(或乘)的式子.,,【互動(dòng)探究】,1.用數(shù)學(xué)歸納法證明 1+a+a2+…+an=,1-an+1 (a≠1, 1-a,n∈N*)時(shí),在驗(yàn)證 n=1 時(shí),左邊計(jì)算所得的式子是(,),B,A.1 C.1+a+a2,B.1+a D.1+a+a2+a4,解析:n=1 時(shí),左邊的最高次數(shù)為1,即最后一項(xiàng)為a, 左邊是 1+a.,,,,+, —的,2.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,1 1 n+1 n+2,+…+,1 13 n+n 24,過(guò) 程中 , 由 k 推 導(dǎo)到 k + 1 時(shí) ,不等式左 邊增加 的 式子 是,.,,答案:,n(n+1) =,(an2+bn+c)對(duì)一切正整數(shù) n 都成立?證明你,考點(diǎn)2,用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式命題,例2:是否存在常數(shù) a,b,c,使等式 122+232+…+,2,n(n+1) 12,的結(jié)論. 思維點(diǎn)撥:從特殊入手,探求a,b,c 的值,考慮到有 3 個(gè)未知數(shù),先取 n=1,2,3,列方程組求得,然后用數(shù)學(xué)歸納法 對(duì)一切 n∈N*,等式都成立.,,(3n2+11n,a+b+c=24, 解:把 n=1,2,3 代入得方程組 4a+2b+c=44, 9a+3b+c=70, a=3, 解得 b=11, c=10.,猜想:等式122+232+…+n(n+1)2=,n(n+1) 12,+10)對(duì)一切 n∈N*都成立.,,,,,(3k2+11k+10),,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明: (1)當(dāng) n=1 時(shí),由上面可知等式成立. (2)假設(shè) n=k 時(shí)等式成立, 即 122+232+…+k(k+1)2,=,k(k+1) 12,,,,,k(k+1),k(k+1),則122+232+…+k(k+1)2+(k+1)(k+2)2,=,12,(3k2+11k+10)+(k+1)(k+2)2,=,12,(3k+5)(k+2)+(k+1)(k+2)2,=,(k+1)(k+2) 12,[k(3k+5)+12(k+2)],=,(k+1)(k+2) 12,[3(k+1)2+11(k+1)+10].,∴當(dāng) n=k+1 時(shí),等式也成立. 綜合(1)(2),對(duì)n∈N*等式都成立.,【規(guī)律方法】這是一個(gè)探索性命題,“歸納—猜想—證明” 是一個(gè)完整的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的思維模式.對(duì)于探索命題 特別有效,要求善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律,敢于提出更一般的結(jié)論,最后 進(jìn)行嚴(yán)密的論證.從特殊入手,探求a,b,c 的值,考慮到有3 個(gè)未知數(shù),先取n=1,2,3,列方程組求得,然后用數(shù)學(xué)歸納 法對(duì)一切n∈N*,等式都成立.,,,,,,=,= ,,= ,左邊=右邊,所以等式成立.,【互動(dòng)探究】,3.用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng) n∈N*時(shí),,1 13,+,1 35,+…+,1 n (2n-1)(2n+1) 2n+1,.,證明:(1)當(dāng)n=1 時(shí),左邊=,1 1 13 3,右邊=,1 21+1,1 3,,,,,,,,,,,,,,,,,+,k+1 k+1,(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)等式成立,即有,1 13,+,1 35,+…+,1 (2k-1)(2k+1),=,k 2k+1,,,則當(dāng) n=k+1 時(shí),,1 13,+,1 35,+…+,1 (2k-1)(2k+1),+,1 (2k+1)(2k+3),=,k 1 2k+1 (2k+1)(2k+3),=,k(2k+3)+1 (2k+1)(2k+3),=,2k2+3k+1 (2k+1)(2k+3),=,= 2k+3 2(k+1)+1,,,所以當(dāng) n=k+1 時(shí),等式也成立. 由(1)(2)可知,對(duì)一切n∈N*等式都成立.,考點(diǎn)3 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性命題,例3:試證:當(dāng)n 為正整數(shù)時(shí),f(n)=32n+2-8n-9能被 64,整除.,證明:方法一:(1)當(dāng)n=1時(shí),f(1)=34-8-9=64, 命題顯然成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N*)時(shí), f(k)=32k+2-8k-9能被64整除. 由于32(k+1)+2-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+98k+99-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+64(k+1), 即f(k+1)=9f(k)+64(k+1), ∴n=k+1時(shí)命題也成立. 根據(jù)(1)(2)可知,對(duì)任意的n∈N*,命題都成立.,方法二:(1)當(dāng)n=1時(shí),f(1)=34-8-9=64,命題顯然成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N*)時(shí),f(k)=32k+2-8k-9能被64整除. 由歸納假設(shè),設(shè)32k+2-8k-9=64m(m為大于1的自然數(shù)),將32k+2=64m+8k+9代入到f(k+1)中, 得f(k+1)=9(64m+8k+9)-8(k+1)-9=64(9m+k+1), ∴當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立. 根據(jù)(1)(2)可知,?n∈N*,命題都成立.,【互動(dòng)探究】,4.求證:二項(xiàng)式 x2n-y2n(n∈N*)能被 x+y 整除.,證明:(1)當(dāng)n=1時(shí), x2-y2=(x+y)(x-y),能被x+y整除,命題成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N*)時(shí),x2k-y2k能被x+y整除,那么當(dāng)n=k+1時(shí), x2k+2-y2k+2=x2x2k-y2y2k=x2x2k-x2y2k+x2y2k-y2y2k =x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2), 顯然x2k+2-y2k+2能被x+y整除, 即當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立. 由(1)(2)知,對(duì)任意的正整數(shù)n命題均成立.,,●難點(diǎn)突破●,⊙數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用,例題:(2014年廣東)設(shè)數(shù)列{an}的前n和為Sn,滿(mǎn)足Sn=2nan+1-3n2-4n,n∈N*,且S3=15. (1)求a1,a2,a3的值; (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.,,則Sk=3+5+7+(2k+1)=,3+(2k+1) 2,k=k(k+2).,解:S2=4a3-20,S3=S2+a3=5a3-20. 又S3=15,∴a3=7,S2=4a3-20=8. 又S2=S1+a2=(2a2-7)+a2=3a2-7, ∴a2=5,a1=S1=2a2-7=3. 綜上所述,a1=3,a2=5,a3=7. (2)由(1)猜想an=2n+1, ①當(dāng)n=1時(shí),結(jié)論顯然成立; ②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí),ak=2k+1,,又Sk=2kak+1-3k2-4k, ∴k(k+2)=2kak+1-3k2-4k.解得ak+1=2k+3. ∴ak+1=2(k+1)+1,即當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論成立. 由①②知,?n∈N*,an=2n+1. 【規(guī)律方法】猜想an=2n+1;根據(jù)猜想求出Sk;再利用Sk=2kak+1-3k2-4k求出ak+1;驗(yàn)證ak+1也滿(mǎn)足猜想,得出結(jié)論.,- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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