(課標通用)高考數(shù)學一輪復習 第六章 數(shù)列大題沖關 理-人教版高三全冊數(shù)學試題

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1、第六章 數(shù)列 高考中數(shù)列問題的熱點題型 對近幾年高考試題統(tǒng)計看,新課標全國卷中的數(shù)列與三角基本上交替考查,難度不大.但自主命題的省市高考題每年都考查,難度中等.考查內容主要集中在兩個方面:一是以選擇題和填空題的形式考查等差、等比數(shù)列的運算和性質,題目多為常規(guī)試題;二是等差、等比數(shù)列的通項與求和問題,有時結合函數(shù)、不等式等進行綜合考查,涉及內容較為全面,試題題型規(guī)范、方法可循. 熱點一 等差數(shù)列、等比數(shù)列的 綜合問題                    解決等差、等比數(shù)列的綜合問題時,重點在于讀懂題意,靈活利用等差、等比數(shù)列的定義、通項公式及前n項和公式解決問題,求解這類問題要重

2、視方程思想的應用. [典題1] [2015·湖北卷]設等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項和為Sn,等比數(shù)列{bn}的公比為q.已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100. (1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式; (2)當d>1時,記cn=,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn. [解] (1)由題意, 即解得 或 故或 (2)由d>1知,an=2n-1,bn=2n-1, 故cn=, 于是Tn=1+++++…+,① Tn=++++…++.② ①-②,得 Tn=2+++…+- =3-, 故Tn=6-. 用錯位相減法解決數(shù)列求和問題的步驟 第一步:(判斷結構

3、) 若數(shù)列{an·bn}是由等差數(shù)列{an}與等比數(shù)列{bn}(公比q)的對應項之積構成的,則可用此法求和. 第二步:(乘公比) 設{an·bn}的前n項和為Tn,然后兩邊同乘以q. 第三步:(錯位相減) 乘以公比q后,向后錯開一位,使含有qk(k∈N*)的項對應,然后兩邊同時作差. 第四步:(求和) 將作差后的結果求和,從而表示出Tn. 技巧點撥 1.分析已知條件和求解目標,確定為最終解決問題需要首先求解的中間問題,如為求和需要先求出通項、為求出通項需要先求出首項和公差(公比)等,確定解題的邏輯次序. 2.等差數(shù)列和等比數(shù)列可以相互轉化,若數(shù)列{bn}是一個公差為d的

4、等差數(shù)列,則{abn}(a>0,a≠1)就是一個等比數(shù)列,其公比q=ad;反之,若數(shù)列{bn}是一個公比為q(q>0)的正項等比數(shù)列,則{logabn}(a>0,a≠1)就是一個等差數(shù)列,其公差d=logaq. 設{an}是公比大于1的等比數(shù)列,Sn為數(shù)列{an}的前n項和,已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4構成等差數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)令bn=ln a3n+1,n=1,2,…,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 解:(1)由已知,得?a2=2. 設數(shù)列{an}的公比為q, 由a2=2,可得a1=,a3=2q, 又S3=7,所以+2+2q=7

5、, 即2q2-5q+2=0, 解得q=2或q=. ∵q>1,∴q=2,∴a1=1. 故數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-1. (2)由(1),得a3n+1=23n, ∴bn=ln 23n=3nln 2. 又bn+1-bn=3ln 2, ∴數(shù)列{bn}為等差數(shù)列. ∴Tn=b1+b2+…+bn= ==ln 2. 熱點二 數(shù)列的通項與求和 數(shù)列的通項與求和是高考必考的一種題型,重點在于靈活運用等差、等比數(shù)列的定義、性質、通項公式與前n項和公式.其中求通項是解答題目的基礎.同時要重視方程思想的應用. [典題2] [2015·天津卷]已知數(shù)列{an}滿足an+2=qan

6、(q為實數(shù),且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差數(shù)列. (1)求q的值和{an}的通項公式; (2)設bn=,n∈N*,求數(shù)列{bn}的前n項和. [解] (1)由已知,有(a3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4),即a4-a2=a5-a3, 所以a2(q-1)=a3(q-1). 又q≠1,所以a3=a2=2. 由a3=a1q,得q=2. 當n=2k-1(k∈N*)時,an=a2k-1=2k-1=2 ; 當n=2k(k∈N*)時,an=a2k=2k=2. 所以{an}的通項公式為an= (2)由(1),得b

7、n==,n∈N*. 設{bn}的前n項和為Sn,則 Sn=1×+2×+3×+…+(n-1)×+n×, Sn=1×+2×+3×+…+(n-1)×+n×, 上述兩式相減,得 Sn=1+++…+-=- =2--, 整理,得Sn=4-,n∈N*. 所以數(shù)列{bn}的前n項和為4-,n∈N*. 1.根據(jù)所給條件的特點,確定合適的方法求通項,如根據(jù)an與Sn的關系求an.根據(jù)遞推關系求an. 2.根據(jù)數(shù)列的特點選擇合適的求和方法,常用的有分組求和,裂項求和、錯位相減法求和等.  [2017·安徽合肥模擬]已知數(shù)列{an+1+an}的前n項和Sn=2n+1-2,a1=0. (

8、1)求數(shù)列{an+1+an}的通項公式; (2)求數(shù)列{an}的通項公式. 解:(1)設an+1+an=bn. 當n≥2時,bn=Sn-Sn-1=(2n+1-2)-(2n-2)=2n. 當n=1時,b1=S1=2,滿足n≥2時bn的形式. 所以an+1+an=bn=2n. (2)由(1),得an+1+an=2n,則an+2+an+1=2n+1. 兩式相減,得an+2-an=2n. 當n為奇數(shù)時, an=a1+(a3-a1)+(a5-a3)+…+(an-2-an-4)+(an-an-2) =0+21+23+…+2n-4+2n-2 ==-. 當n為偶數(shù)時,由(1)知,a1=

9、0,a2+a1=2,得a2=2. an=a2+(a4-a2)+(a6-a4)+…+(an-2-an-4)+(an-an-2) =2+22+24+…+2n-4+2n-2 =2+=+. 綜上所述,數(shù)列{an}的通項公式是 an= 熱點三 數(shù)列與不等式的綜合問題 數(shù)列與不等式知識相結合的考查方式主要有三種:一是判斷數(shù)列問題中的一些不等關系;二是以數(shù)列為載體,考查不等式的恒成立問題;三是考查與數(shù)列問題有關的不等式的證明.在解決這些問題時,如果是證明題要靈活選擇不等式的證明方法,如比較法、綜合法、分析法等.如果是解不等式問題,要使用不等式的各種不同解法,如數(shù)軸法、因式分解法等. 主要

10、有以下幾個命題角度: [考查角度一] 放縮法證明數(shù)列不等式 [典題3] 設各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn滿足S-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*. (1)求a1的值; (2)求數(shù)列{an}的通項公式; (3)求證:對一切正整數(shù)n,有++…+<. (1)[解] 由題意知,S-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*.令n=1,有S-(12+1-3)S1-3×(12+1)=0, 可得S+S1-6=0,解得S1=-3或2,即a1=-3或2, 又an為正數(shù),所以a1=2. (2)[解] 由S-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0

11、,n∈N*,可得(Sn+3)(Sn-n2-n)=0,則Sn=n2+n或Sn=-3,又數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),所以Sn=n2+n,所以當n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n.又a1=2=2×1,所以an=2n,n∈N*. (3)[證明] 當n=1時,==<成立; 當n≥ 2時,=< =, 所以++…+ <+ =+<+=. 所以對一切正整數(shù)n,有++…+<. 數(shù)列中不等式可以通過對中間過程或最后的結果放縮得到.即先放縮再求和或先求和再放縮. [考查角度二] 數(shù)列中不等式的恒成立問題 [典題4] 已知單調遞增的等比數(shù)列{an}滿

12、足a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中項. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)若bn=anlogan,Sn=b1+b2+…+bn,對任意正整數(shù)n,Sn+(n+m)an+1<0恒成立,試求m的取值范圍. [解] (1)設等比數(shù)列{an}的首項為a1,公比為q. 依題意,有2(a3+2)=a2+a4, 代入a2+a3+a4=28,得a3=8. ∴a2+a4=20,∴ 解得 或 又{an}單調遞增,∴ ∴an=2n. (2)bn=2n·log2n=-n·2n, ∴-Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n,① ∴-2Sn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1,② ①-②,得Sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1 =-n×2n+1=2n+1-n×2n+1-2. 由Sn+(n+m)an+1<0,得 2n+1-n×2n+1-2+n×2n+1+m×2n+1<0對任意正整數(shù)n恒成立, ∴m×2n+1<2-2n+1,即m<-1對任意正整數(shù)n恒成立.∵-1>-1,∴m≤-1, 即m的取值范圍是(-∞,-1]. 數(shù)列中有關項或前n項和的恒成立問題,往往轉化為數(shù)列的最值問題;求項或前n項和的不等關系可以利用不等式的性質或基本不等式求解.

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