7、-=--=-1.
10.已知f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),且f(x)-g(x)=x,則f(1),g(0),g(-1)之間的大小關(guān)系是________.
答案:f(1)>g(0)>g(-1)
解析:在f(x)-g(x)=x中,用-x替換x,得
f(-x)-g(-x)=2x,
由于f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),
因此得-f(x)-g(x)=2x.
聯(lián)立方程組解得f(x)=,g(x)=-,
于是f(1)=-,g(0)=-1,g(-1)=-,
故f(1)>g(0)>g(-1).
11.設(shè)定
8、義在R上的函數(shù)f(x)同時(shí)滿足以下條件:①f(x)+f(-x)=0;②f(x)=f(x+2);③當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)=2x-1,則f +f(1)+f +f(2)+f =________.
答案:
解析:依題意知,函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且周期為2,
∴f+f(1)+f+f(2)+f
=f+f(1)+f+f(0)+f
=f+f(1)-f+f(0)+f
=f+f(1)+f(0)
=2-1+21-1+20-1
=.
[沖刺名校能力提升練]
1.[2017·福建廈門雙十中學(xué)高三上期中]已知定義在R上的函數(shù)f(x)=2|x-m|-1(m為實(shí)數(shù))為偶函數(shù),記a=f(log0.53),b
9、=f(log25),c=f(2m),則a,b,c的大小關(guān)系為( )
A.a(chǎn)
10、=f(-x-1),∴-g(x)=f(x+1).
又g(x)=f(x-1),∴f(x+1)=-f(x-1),
∴f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
則f(x)是以4為周期的周期函數(shù),
所以f(2 014)=f(2)=2.
3.[2017·廣東陽(yáng)東一中、廣雅中學(xué)高三聯(lián)考]已知函數(shù)f(x)是定義在(-∞,+∞)上的奇函數(shù),若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x≥0,都有f(x+2)=f(x),且當(dāng)x∈[0,2)時(shí)f(x)=log2(x+1),則f(-2 013)+f(2 014)的值為( )
A.-1 B.-2
C.2 D.1
答案:A
解析:因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)
11、,且周期為2,
所以f(-2 013)+f(2 014)=-f(2 013)+f(2 014)=-f(1)+f(0).
又當(dāng)x∈[0,2)時(shí),f(x)=log2(x+1),
所以f(-2 013)+f(2 014)=-1+0=-1.
4.[2017·內(nèi)蒙古包頭模擬]若關(guān)于x的函數(shù)f(x)=(t>0)的最大值為M,最小值為N,且M+N=4,則實(shí)數(shù)t的值為________.
答案:2
解析:由題意,f(x)==t+,顯然函數(shù)g(x)=是奇函數(shù),
∵函數(shù)f(x)最大值為M,最小值為N,且M+N=4,
∴M-t=-(N-t),即2t=M+N=4,∴t=2.
5.設(shè)f(x)是(-∞
12、,+∞)上的奇函數(shù),f(x+2)=-f(x),當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)=x.
(1)求f(π)的值;
(2)當(dāng)-4≤x≤4時(shí),求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積.
解:(1)由f(x+2)=-f(x),得
f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x),
∴f(x)是以4為周期的周期函數(shù).
∴f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.
(2)由f(x)是奇函數(shù)與f(x+2)=-f(x),得
f((x-1)+2)=-f(x-1)=f(-(x-1)),
即f(1+x)=f(1-x).
從而可知函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直
13、線x=1對(duì)稱.
又當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)=x,且f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱,則f(x)的圖象如圖所示.
設(shè)當(dāng)-4≤x≤4時(shí),f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S,則S=4S△OAB=4×=4.
6.[2017·安徽合肥模擬]已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=f(x-1),且當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f(x)=.
(1)求f(x)在區(qū)間[-1,1]上的解析式;
(2)若存在x∈(0,1),滿足f(x)>m,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解:(1)當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),-x∈(0,1).
由f(x)為R上的奇函數(shù),
得f(-x)=-f(x)==,
即f(x)=,x∈(-1,0).
又由f(x)為R上的奇函數(shù),得f(0)=0,
∵f(x+1)=f(x-1),∴當(dāng)x=0時(shí),f(1)=f(-1).
又∵f(-1)=-f(1),∴f(-1)=0,f(1)=0,
故f(x)在區(qū)間[-1,1]上的解析式為
f(x)=
(2)∵f(x)===1-.
又x∈(0,1),∴2x∈(1,2),
∴1-∈.
若存在x∈(0,1),滿足f(x)>m,則m<,
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是.