高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 7-7 立體幾何中的向量方法課件 理 新人教A版.ppt

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第七節(jié) 立體幾何中的向量方法,最新考綱展示 1．理解直線的方向向量及平面的法向量． 2.能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系． 3.能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡單定理(包括三垂線定理)． 4.能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題，了解向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用．,一、直線的方向向量和平面的法向量 1．直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l_______或_______，則稱此向量a為直線l的方向向量． 2．平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫作平面α的法向量．,平行,重合,二、空間位置關(guān)系的向量表示,三、利用空間向量求空間角 1．求兩條異面直線所成的角 設(shè)a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則,(2)設(shè)n1，n2分別是二面角α l β的兩個面α，β的法向量，則向量n1與n2的夾角(或其補角)的大小就是 ______________________(如圖②③)．,二面角的平面角的大小,1．通常取直線上兩個特殊點構(gòu)成直線的方向向量；當直線平行于x軸、y軸或z軸時，直線的方向向量可分別取i＝(1,0,0)，j＝(0,1,0)，k＝(0,0,1)． 2．一個平面的法向量有無數(shù)多個，任意兩個都是共線向量． 3．若能找出平面的垂線，則垂線上取兩個特殊點可構(gòu)成平面的一個法向量． 4．若通過解三元一次方程組(僅兩個方程組成)求平面的法向量時，不妨取z＝1. 5．利用空間向量證明平行垂直關(guān)系的關(guān)鍵是確定直線的方向向量及平面的法向量．同時要結(jié)合圖形根據(jù)要證的平行式垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線方向向量與平面的法向量之間的關(guān)系．,一、利用空間向量表示平行、垂直問題 1．若直線l∥平面α，直線l的方向向量為s、平面α的法向量為n，則下列結(jié)論正確的是( ) A．s＝(－1,0,2)，n＝(1,0，－1) B．s＝(－1,0,1)，n＝(1,2，－1) C．s＝(－1,1,1)，n＝(1,2，－1) D．s＝(－1,1,1)，n＝(－2,2,2) 解析：直線與平面平行，直線的方向向量和平面的法向量垂直，經(jīng)檢驗只有選項C中sn＝0，故選C. 答案：C,2．設(shè)u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,4)分別是平面α，β的法向量．若α⊥β，則t＝( ) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：∵α⊥β，則uv＝－26＋2(－4)＋4t＝0，∴t＝5. 答案：C,二、空間向量求空間角 3．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)若兩直線的方向向量不平行，則兩直線不平行．( ) (2)若兩平面的法向量平行，則兩平面平行．( ) (3)兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角．( ) (4)兩個平面的法向量所成的角是這兩個平面所成的角．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3) (4),4．已知兩平面的法向量分別為m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，則兩平面所成的二面角為( ) A．45 B．135 C．45或135 D．90 答案：C,5．若平面α的一個法向量為n＝(4,1,1)，直線l的一個方向向量為a＝(－2，－3,3)，則l與α所成角的正弦值為________．,例1 如圖所示，在四棱錐P ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90，AB＝4，CD＝1，點M在PB上，PB＝4PM，PB與平面ABCD成30的角． (1)求證：CM∥平面PAD； (2)求證：平面PAB⊥平面PAD.,利用空間向量證明平行、垂直(師生共研),,規(guī)律方法 (1)恰當建立坐標系，準確表示各點與相關(guān)向量的坐標，是運用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵． (2)證明直線與平面平行，只需證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個向量共面，然后說明直線在平面外即可．這樣就把幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為向量運算． (3)證明直線與直線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直，而直線與平面垂直，平面與平面垂直可轉(zhuǎn)化為直線與直線垂直證明．,1.如圖所示，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90，BF＝FC，H是BC的中點． (1)求證：FH∥平面EDB； (2)求證：AC⊥平面EDB.,證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB⊥BC. 又∵EF∥AB，∴EF⊥BC. 又∵EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC.∴EF⊥FH， ∴AB⊥FH. 又∵BF＝FC，H為BC的中點，∴FH⊥BC. ∴FH⊥平面ABC.,,例2 (2013年高考江蘇卷)如圖，在直三棱柱A1B1C1 ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，點D是BC的中點． (1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值； (2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值．,利用空間向量求空間角(師生共研),,,規(guī)律方法 求空間角的基本方法： (1)建立適當?shù)目臻g直角坐標系，便于坐標的求解． (2)利用向量法求異面直線l1與l2所成的角θ，主要求出兩直線的方向向量v1與v2，則cos θ＝|cosv1，v2|. (3)利用向量法求斜線與平面所成的角的方法： ①分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影所在直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)． ②通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角(若是鈍角，取其補角)，取其余角就是斜線和平面所成的角． (4)利用向量法求二面角的方法：,①分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角． ②分別在二面角的兩個面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足出發(fā)的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小．,例3 (2015年福州調(diào)研) 如圖，在長方體ABCD A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD的中點． (1)求證：B1E⊥AD1. (2)在棱AA1上是否存在一點P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由．,利用空間向量解決探索性問題(師生共研),,,,,規(guī)律方法 立體幾何開放性問題求解方法有以下兩種： (1)根據(jù)題目的已知條件進行綜合分析和觀察猜想，找出點或線的位置，然后再加以證明，得出結(jié)論． (2)假設(shè)所求的點或線存在，并設(shè)定參數(shù)表達已知條件，根據(jù)題目進行求解，若能求出參數(shù)的值且符合已知限定的范圍，則存在這樣的點或線，否則不存在．本題是設(shè)出點P的坐標，借助向量運算，判定關(guān)于z0的方程是否有解.,