2019年高考數學大一輪復習 熱點聚焦與擴展 專題52 幾何關系巧解圓錐曲線問題.doc

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專題52 幾何關系巧解圓錐曲線問題 【熱點聚焦與擴展】 縱觀近幾年的高考試題，高考對橢圓的考查，主要考查以下幾個方面：一是考查橢圓的定義，與橢圓的焦點三角形結合，解決橢圓、三角形等相關問題；二是考查橢圓的標準方程，結合橢圓的基本量之間的關系，利用待定系數法求解；三是考查橢圓的幾何性質，較多地考查離心率問題；四是考查直線與橢圓的位置關系問題，綜合性較強，往往與向量結合，涉及方程組聯(lián)立，根的判別式、根與系數的關系、弦長問題、不等式等. 高考對雙曲線的考查，主要考查以下幾個方面：一是考查雙曲線的標準方程，結合雙曲線的定義及雙曲線基本量之間的關系，利用待定系數法求解；二是考查雙曲線的幾何性質，較多地考查離心率、漸近線問題；三是考查雙曲線與圓、橢圓或拋物線相結合的問題，綜合性較強.命題以小題為主，多為選擇題或填空題. 高考對拋物線的考查，主要考查以下幾個方面：一是考查拋物線的標準方程，結合拋物線的定義及拋物線的焦點，利用待定系數法求解；二是考查拋物線的幾何性質，較多地涉及準線、焦點、焦準距等；三是考查直線與拋物線的位置關系問題，綜合性較強，往往與向量結合，涉及方程組聯(lián)立，根的判別式、根與系數的關系、弦長問題等，其中，過焦點的直線較多. 解決圓錐曲線中的范圍、最值問題一般有三種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉化為函數問題，然后根據函數的特征選用參數法、配方法、判別式法、三角函數有界法、函數單調性法以及均值不等式法求解；三是通過建立不等式、解不等式求解. 本專題在分析研究近幾年高考題及各地模擬題的基礎上，重點說明利用幾何關系解答圓錐曲線的綜合問題，特別是最值（范圍）問題的常見解法. 1、利用幾何關系求最值的一般思路: （1）抓住圖形中的定點與定長，通常與求最值相關 （2）遇到線段和差的最值，經常在動點與定點共線的時候取到.因為當動點與定點不共線時，便可圍成三角形，從而由三角形性質可知兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，無法取得最值.所以只有共線時才有可能達到最值.要注意動點與定點相對位置關系.一般的，尋找線段和的最小值，則動點應在定點連成的線段上；若尋找線段差的最小值，則動點應在定點連成的線段延長線上. （3）若所求線段無法找到最值關系，則可考慮利用幾何關系進行線段轉移，將其中某些線段用其它線段進行表示，進而找到最值位置 （4）處理多個動點問題時，可考慮先只讓一個動點運動，其他動點不動，觀察此動點運動時最值選取的規(guī)律，再根據規(guī)律讓其他點動起來，尋找最值位置. 2、常見的線段轉移： （1）利用對稱軸轉移線段 （2）在圓中，可利用與半徑相關的直角三角形（例如半弦，圓心到弦的垂線，半徑；或是切線，半徑，點與圓心的連線）通過勾股定理進行線段轉移. （3）在拋物線中，可利用“點到準線的距離等于該點到焦點的距離”的特點進行兩個距離的相互轉化. （4）在橢圓中，利用兩條焦半徑的和為常數，可將一條焦半徑轉移至另一條焦半徑 （5）在雙曲線中，利用兩條焦半徑的差為常數，也可將一條焦半徑轉移至另一條焦半徑（注意點在雙曲線的哪一支上） 3、與圓相關的最值問題： （1）已知圓及圓外一定點，設圓的半徑為則圓上點到點距離的最小值為，最大值為（即連結并延長，為與圓的交點，為延長線與圓的交點 （2）已知圓及圓內一定點，則過點的所有弦中最長的為直徑，最短的為與該直徑垂直的弦 解：，弦長的最大值為直徑，而最小值考慮弦長公式為，若最小，則要取最大，在圓中為定值，在弦繞旋轉的過程中， ，所以時，最小 （3）已知圓和圓外的一條直線，則圓上點到直線距離的最小值為，距離的最大值為（過圓心作的垂線，垂足為，與圓交于，其反向延長線交圓于 （4）已知圓和圓外的一條直線，則過直線上的點作圓的切線，切線長的最小值為 解：，則若最小，則只需最小即可， 所以點為過作垂線的垂足時，最小 過作圓的切線，則切線長最短 4、與圓錐曲線相關的最值關系： （1）橢圓：設橢圓方程為 ① 焦半徑：焦半徑的最大值為，最小值為 ② 焦點弦：焦點弦長的最小值稱為通徑，為，此時焦點弦與焦點所在的坐標軸垂直 （2）雙曲線：設雙曲線方程為 ① 焦半徑：焦半徑的最小值為，無最大值 ② 焦點弦：焦點弦長的最小值稱為通徑，為，此時焦點弦與焦點所在的坐標軸垂直 （3）拋物線：設拋物線方程為 ① 焦半徑：由拋物線的焦半徑公式可知：焦半徑的最小值為原點到焦點的距離，即 ② 焦點弦：當焦點弦與焦點所在坐標軸垂直時，弦長最小，為 【經典例題】 例1.已知點在拋物線的準線上，過點作拋物線的切線，若切點在第一象限，是拋物線的焦點，點在直線上，點在圓上，則的最小值為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 例2.【2018屆湖南省長沙市長郡中學模擬二】已知橢圓：的右焦點為，短軸的一個端點為，直線：交橢圓于，兩點，若，點與直線的距離不小于，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：設為橢圓的左焦點，連接，由橢圓的對稱性，結合橢圓的定義可得，利用點與直線的距離不小于列不等式求解即可. 詳解： 可設為橢圓的左焦點，連接， 解得， 橢圓的離心率的取值范圍是，故選B. 點睛：本題主要考查利用橢圓的簡單性質求雙曲線的離心率，屬于中檔題.求解與橢圓性質有關的問題時要結合圖形進行分析，既使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形，當涉及頂點、焦點、長軸、短軸、橢圓的基本量時，要理清它們之間的關系，挖掘出它們之間的內在聯(lián)系.求離心率問題應先將 用有關的一些量表示出來，再利用其中的一些關系構造出關于的不等式，從而求出的范圍. 例3.【2018屆四川省成都市第七中學三診】已知雙曲線的右頂點到其一條漸近線的距離等于，拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合，則拋物線上的動點到直線和距離之和的最小值為（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】分析：由雙曲線的右頂點到漸近線的距離求出，從而可確定雙曲線的方程和焦點坐標，進而得到拋物線的方程和焦點，然后根據拋物線的定義將點M到直線的距離轉化為到焦點的距離，最后結合圖形根據“垂線段最短”求解． 詳解：由雙曲線方程可得， 雙曲線的右頂點為，漸近線方程為，即． ∴， ∴拋物線的方程為，焦點坐標為．如圖， 設點M到直線的距離為，到直線的距離為，則， ∴． 結合圖形可得當三點共線時，最小，且最小值為點F到直線的距離． 故選B． 點睛：與拋物線有關的最值問題一般情況下都與拋物線的定義有關，根據定義實現(xiàn)由點到點的距離與點到直線的距離的轉化，具體有以下兩種情形： （1）將拋物線上的點到準線的距離轉化為該點到焦點的距離，構造出“兩點之間線段最短”，使問題得解； （2）將拋物線上的點到焦點的距離轉化為點到準線的距離，利用“與直線上所有點的連線中的垂線段最短”解決． 例4.【2018屆安徽省蕪湖市5月模擬】已知橢圓 的右焦點為．圓 上所有點都在橢圓的內部，過橢圓上任一點作圓的兩條切線，為切點，若，則橢圓C的離心率為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 同理，當點為橢圓的右頂點時，最大， 可得 解得， 離心率，故選B. 點睛：本題的關鍵是能夠分析出當取得最大值及最小值時，點的位置，再結合平面幾何知識列出方程，聯(lián)立而后求出的值. 例5.【2018屆天津市部分區(qū)質量調查（二）】設分別是雙曲線的左、右焦點，為坐標原點，過左焦點作直線與圓切于點，與雙曲線右支交于點，且滿足， ，則雙曲線的方程為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根據圓的半徑得出，根據中位線定理和勾股定理計算，從而得出，即可得出雙曲線的方程． 詳解：∵為圓上的點， ∴是 的中點，又是的中點， 且 ， 又 是圓的切線， 又 ∴雙曲線方程為． 故選D． 例6.【2018屆浙江省紹興市5月調測】點為棱長是2的正方體的內切球球面上的動點，點為的中點，若滿足，則與面所成角的正切值的最小值是 A. B. C. D. 【答案】C ，其中為定值， 則滿足題意時，有最大值即可， 設圓的半徑為，則， ，即：,則， 中，由勾股定理可得， 中，由勾股定理可得， 為的中位線，則,， 則， 綜上可得，與面所成角的正切值的最小值是： . 本題選擇C選項. 例7.已知點和，是橢圓上一動點，則的最大值為_________ 【答案】 例8.【2018年理北京卷】已知橢圓，雙曲線．若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓M的離心率為__________；雙曲線N的離心率為__________． 【答案】 2 雙曲線N的漸近線方程為，由題意得雙曲線N的一條漸近線的傾斜角為， 例9.【2018屆江西省重點中學協(xié)作體第二次聯(lián)考】設是過拋物線焦點的弦，其垂直平分線交軸于點，設，則的值是________ 【答案】 【解析】分析：首先畫出題中所給的條件的示意圖，然后結合拋物線的定義整理計算即可求得最終結果. 詳解：如圖所示，設AB中點為E，作準線于點，準線于點，準線于點， 由拋物線的定義可知：，則， 軸，，則：， 據此可知四邊形EHFG是平行四邊形，則， 從而：. 例10.【2018屆江西省景德鎮(zhèn)市第一中學等盟校第二次聯(lián)考】已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為，，過的直線交橢圓于兩點，以為直徑的動圓內切于圓. （1）求橢圓的方程； （2）延長交橢圓于點，求面積的最大值. 【答案】(1) . (2)3. 詳解：（1）設的中點為M，在三角形中，由中位線得：， 當兩個圓相內切時 ，兩個圓的圓心距等于兩個圓的半徑差，即 ∴， 即， 又∴ ∴橢圓方程為： （2）由已知可設直線， 令，原式=，當時， ∴. 【精選精練】 1．已知拋物線的焦點為，準線為，拋物線的對稱軸與準線交于點，為拋物線上的動點，，當最小時，點恰好在以，為焦點的橢圓上，則橢圓的長軸長為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：求出，過點作垂直與準線，則，記，則，當最小時，由最小值，設，利用定義，即可求解答案．x^kw 點睛：本題主要考查了直線與拋物線的位置關系的應用，以及橢圓的定義域標準方程的應用，其中解答中得出當最小時，由最小值，此時直線與拋物線相切于點是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力． 2．【河北省衡水中學2018年高考押題三】已知拋物線的焦點為，點是拋物線上一點，圓與線段相交于點，且被直線截得的弦長為，若，則（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：畫出如圖所示的示意圖，根據點在拋物線上，可得，由橢圓的性質，分別表示出，根據直線被截得的弦長，可得線段之間的關系，從而得到，之后將兩式聯(lián)立，求出的值，代入到相應的式子求得結果. 詳解：如圖所示： 由題意：在拋物線上，則，則，（1） 點睛：該題考查的是有關橢圓和拋物線的定義和性質的問題，在解題的過程中，首先利用點在拋物線上得到，結合橢圓的性質以及線段之間的關系，得到，聯(lián)立求得，代入求得結果. 3．【2018屆河北省衡水中學三輪復習七】已知雙曲線，、是實軸頂點，是右焦點，是虛軸端點，若在線段上（不含端點）存在不同的兩點，使得構成以為斜邊的直角三角形，則雙曲線離心率的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 在線段上（不含端點）存在不同的兩點， 使得構成以線段為斜邊的直角三角形， 所以以為直徑的圓與直線有兩個交點， ， ， ， ， ，故選B. 點睛：求解與雙曲線性質有關的問題時要結合圖形進行分析，既使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形，當涉及頂點、焦點、實軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時，要理清它們之間的關系，挖掘出它們之間的內在聯(lián)系.求離心率范圍問題應先將 用有關的一些量表示出來，再利用其中的一些關系構造出關于的不等式，從而求出的范圍. 4．【2018屆江西師大附中三?！恳阎獧E圓的左焦點為，點為橢圓上一動點，過點向以為圓心，為半徑的圓作切線，其中切點為，則四邊形面積的最大值為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：由切線的性質可得S四邊形PMFN==|PM|．因此要使四邊形PMFN面積取得最大值，|PM|必須取得最大值，因此|PF|必須取得最大值，當P點為橢圓的右頂點時，|PF|取得最大值a+c． 詳解：如圖所示， 當P點為橢圓的右頂點時，|PF|取得最大值a+c=4+1=5． ∴|PM|=2， ∴四邊形PMFN面積最大值為=2|PM||MF|=2． 故選：A． 5．【2018屆湖南省湘潭市四?！恳阎菣E圓：的左焦點，為上一點，，則的最小值為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 所以 6.【2018屆山東省濟南市二?！吭O橢圓的左、右焦點分別為,點.已知動點在橢圓上,且點不共線,若的周長的最小值為,則橢圓的離心率為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：利用橢圓定義的周長為，結合三點共線時，的最小值為，再利用對稱性，可得橢圓的離心率. 詳解： 的周長為 ， ∴ 故選：A 7．【2018屆四川省沖刺演練（一）】已知圓：經過橢圓：的一個焦點，圓與橢圓的公共點為，，點為圓上一動點，則到直線的距離的最大值為（ ） A. B. C. D. 【答案】A ∴或 ∴或 ∵當時，圓與橢圓無交點 ∴ 聯(lián)立，得. ∵ ∴，即線段所在的直線方程為 ∵圓與橢圓的公共點為，，點為圓上一動點 ∴到直線的距離的最大值為 故選A. 8．【2018屆浙江省教育綠色評價聯(lián)盟5月測試】已知是雙曲線的左，右焦點，是雙曲線上一點，且，若△的內切圓半徑為，則該雙曲線的離心率為 A. B. C. D. 【答案】C 可得， 因為△的內切圓半徑為， 所以由三角形的面積公式可得， 化為，即， 兩邊平方可得 ， 可得，解得，故選C. 9.【2018屆四川省成都市模擬一】過點的直線交橢圓于兩點，為橢圓的右焦點，當的周長最大時，的面積為__________． 【答案】 【解析】分析：根據橢圓的定義和性質可得右焦點，當且僅當共線時周長最長，再根據兩點式求出直線的方程，進而求解面積. 則，所以， 所以此時的面積為. 10.【2018屆山東省濰坊市三?！吭O拋物線的焦點為，為拋物線上第一象限內一點，滿足，已知為拋物線準線上任一點，當取得最小值時，的外接圓半徑為______. 【答案】 【解析】分析：根據拋物線的定義可知，解得，得，作拋物線的焦點，關于拋物線準線的對稱點得，連接交拋物線的準線于點，使得取得最小值，此時點的坐標為，在中，分別應用正、余弦定理，即可求解結果. 此時點的坐標為， 在中，， 由余弦定理得，則， 由正弦定理得，所以， 即三角形外接圓的半徑為. 11.【2018屆山東省煙臺市高三高考適應性練習（一）】已知拋物線的焦點為是拋物線上一點，若的延長線交軸的正半軸于點，交拋物線的準線于點，且，則=__________． 【答案】3 【解析】分析：畫出圖形后結合拋物線的定義和三角形的相似求解即可． 詳解：畫出圖形如下圖所示．由題意得拋物線的焦點，準線為． ∴． 又， 即，解得． 12.【2018屆山東省威海市二?！繏佄锞€的焦點為，是拋物線上的兩個動點，線段的中點為，過作拋物線準線的垂線，垂足為，若，則的最大值為______. 【答案】 【解析】分析：設|PF|=2a，|QF|=2b，．由拋物線定義得|PQ|=a+b，由余弦定理可得（a+b）2=4a2+4b2﹣8abcosθ，進而根據基本不等式，求得的θ取值范圍，從而得到本題答案. ∴cosθ=，當且僅當a=b時取等號， ∴θ≤， 故答案為： 點睛：（1）本題主要考查拋物線的簡單幾何性質，考查直線和拋物線的位置關系和基本不等式等，意在考查學生對這些基礎知識的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本題的關鍵有二，其一是要聯(lián)想到拋物線的定義解題，從而比較簡潔地求出MN和PQ,其二是得到后要會利用基本不等式求最值.