2019-2020年高中數學 2.2.1 向量加法運算及其幾何意義教案 新人教A版必修4.doc

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2019-2020年高中數學 2.2.1 向量加法運算及其幾何意義教案 新人教A版必修4 教學分析 向量的加法是學生在認識向量概念之后首先要掌握的運算,是向量的第二節(jié)內容.其主要內容是運用向量的定義和向量相等的定義得出向量加法的三角形法則、平行四邊形法則,并對向量加法的交換律、結合律進行證明,同時運用他們進行相關計算,這可讓同學們進一步加強對向量幾何意義的理解,同時也為接下來學習向量的減法奠定基礎,起到承上啟下的重要作用.學生已經通過上節(jié)的學習,掌握了向量的概念、幾何表示,理解了什么是相等向量和共線向量.在學習物理的過程中,已經知道位移、速度和力這些物理量都是向量,可以合成,而且知道這些矢量的合成都遵循平行四邊形法則,這為本課題的引入提供了較好的條件. 培養(yǎng)數學的應用意識是當今數學教育的主題,本節(jié)課的內容與實際問題聯系緊密,更應強化數學來源于實際又應用于實際的意識.在向量加法的概念中,由于涉及到兩個向量有不平行和平行這兩種情況,因此有利于滲透分類討論的數學思想,而在猜測向量加法的運算律時,通過引導學生利用實數加法的運算律進行類比.則能培養(yǎng)學生類比、遷移等能力.在實際教學中,類比數的運算,向量也能夠進行運算.運算引入后,向量的工具作用才能得到充分發(fā)揮.實際上,引入一個新的量后,考察它的運算及運算律,是數學研究中的基本問題.教師應引導學生體會考察一個量的運算問題,最主要的是認清運算的定義及其運算律,這樣才能正確、方便地實施運算. 向量的加法運算是通過類比數的加法,以位移的合成、力的合力等兩個物理模型為背景引入的.這樣做使加法運算的學習建立在學生已有的認知基礎上,同時還可以提醒學生注意,由于向量有方向,因此在進行向量運算時,不但要考慮大小問題,而且要考慮方向問題,從而使學生體會向量運算與數的運算的聯系與區(qū)別.這樣做,有利于學生更好地把握向量加法的特點. 三維目標 1.通過經歷向量加法的探究,掌握向量加法概念,結合物理學實際理解向量加法的意義.能熟練地掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則,并能作出已知兩向量的和向量. 2.在應用活動中,理解向量加法滿足交換律和結合律及表述兩個運算律的幾何意義.掌握有特殊位置關系的兩個向量的和,比如共線向量、共起點向量、共終點向量等. 3.通過本節(jié)內容的學習,讓學生認識事物之間的相互轉化,培養(yǎng)學生的數學應用意識,體會數學在生活中的作用.培養(yǎng)學生類比、遷移、分類、歸納等能力. 重點難點 教學重點:向量加法的運算及其幾何意義. 教學難點:對向量加法法則定義的理解. 課時安排 1課時 教學過程 導入新課 思路1.(復習導入)上一節(jié),我們一起學習了向量的有關概念,明確了向量的表示方法,了解了零向量、單位向量、平行向量、相等向量等概念,并接觸了這些概念的辨析判斷.另外,向量和我們熟悉的數一樣也可以進行加減運算,這一節(jié),我們先學習向量的加法. 思路2.(問題導入)xx年大陸和臺灣沒有直航,因此春節(jié)探親,要先從臺北到香港,再從香港到上海,這兩次位移之和是什么?怎樣列出數學式子？一位同學按以下的命令進行活動:向北走20米,再向西走15米,再向東走5米,最后向南走10米,怎樣計算他所在的位置?由此導入新課. 推進新課 新知探究 提出問題 ①數能進行運算,向量是否也能進行運算呢？類比數的加法,猜想向量的加法,應怎樣定義向量的加法？ ②猜想向量加法的法則是什么?與數的運算法則有什么不同? 圖1 活動:向量是既有大小、又有方向的量,教師引導學生回顧物理中位移的概念,位移可以合成,如圖1.某對象從A點經B點到C點,兩次位移、的結果,與A點直接到C點的位移結果相同.力也可以合成,老師引導,讓學生共同探究如下的問題: 圖2(1)表示橡皮條在兩個力的作用下,沿著GC的方向伸長了EO；圖2(2)表示撤去F1和F2,用一個力F作用在橡皮條上,使橡皮條沿著相同的方向伸長相同的長度. 圖2 改變力F1與F2的大小和方向,重復以上的實驗,你能發(fā)現F與F1、F2之間的關系嗎? 力F對橡皮條產生的效果與力F1與F2共同作用產生的效果相同,物理學中把力F叫做F1與F2的合力. 合力F與力F1、F2有怎樣的關系呢?由圖2(3)發(fā)現,力F在以F1、F2為鄰邊的平行四邊形的對角線上,并且大小等于平行四邊形對角線的長. 數的加法啟發(fā)我們,從運算的角度看,F可以認為是F1與F2的和,即位移、力的合成看作向量的加法. 討論結果:①向量加法的定義:如圖3,已知非零向量a、b,在平面內任取一點A,作=a,=b,則向量叫做a與b的和,記作a+b,即a+b=+=. 圖3 求兩個向量和的運算,叫做向量的加法. ②向量加法的法則: 1向量加法的三角形法則 在定義中所給出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法則.運用這一法則時要特別注意“首尾相接”,即第二個向量要以第一個向量的終點為起點,則由第一個向量的起點指向第二個向量的終點的向量即為和向量.0 位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型. 2向量加法的平行四邊形法則 圖4 如圖4,以同一點O為起點的兩個已知向量a、b為鄰邊作平行四邊形,則以O為起點的對角線就是a與b的和.我們把這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則. 力的合成可以看作向量加法的物理模型. 提出問題 ①對于零向量與任一向量的加法,結果又是怎樣的呢？ ②兩共線向量求和時,用三角形法則較為合適.當在數軸上表示兩個向量時,它們的加法與數的加法有什么關系？ ③思考|a+b|,|a|,|b|存在著怎樣的關系？ ④數的運算和運算律緊密聯系,運算律可以有效地簡化運算.類似地,向量的加法是否也有運算律呢? 活動:觀察實際例子,教師啟發(fā)學生思考,并適時點撥,誘導,探究向量的加法在特殊情況下的運算,共線向量加法與數的加法之間的關系.數的加法滿足交換律與結合律,即對任意a,b∈R,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).任意向量a,b的加法是否也滿足交換律和結合律?引導學生畫圖進行探索. 討論結果:①對于零向量與任一向量,我們規(guī)定a+0=0+a=a. ②兩個數相加其結果是一個數,對應于數軸上的一個點;在數軸上的兩個向量相加,它們的和仍是一個向量,對應于數軸上的一條有向線段. ③當a,b不共線時,|a+b|<|a|+|b|(即三角形兩邊之和大于第三邊); 當a,b共線且方向相同時,|a+b|=|a|+|b|; 當a,b共線且方向相反時,|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|).其中當向量a的長度大于向量b的長度時,|a+b|=|a|-|b|;當向量a的長度小于向量b的長度時,|a+b|=|b|-|a|. 一般地,我們有|a+b|≤|a|+|b|. ④如圖5,作=a,=b,以AB、AD為鄰邊作ABCD,則=b,=a. 因為=+=a+b,=+=b+a,所以a+b=b+a. 如圖6,因為=+=(+)+=(a+b)+c, ==+=+(+)=a+(b+c),所以(a+b)+c=a+(b+c). 綜上所述,向量的加法滿足交換律和結合律. 圖5 圖6 應用示例 思路1 例1 如圖7,已知向量a、b,求作向量a+b. 活動:教師引導學生,讓學生探究分別用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量.在向量加法的作圖中,學生體會作法中在平面內任取一點O的依據——它體現了向量起點的任意性.在向量作圖時,一般都需要進行向量的平移,用平行四邊形法則作圖時應強調向量的起點放在一起,而用三角形法則作圖則要求首尾相連. 圖7 圖8 圖9 解:作法一:在平面內任取一點O(如圖8),作=a,=b,則=a+b. 作法二:在平面內任取一點O(如圖9),作=a,=b.以OA、OB為鄰邊作OACB,連接OC,則=a+b. 變式訓練 化簡:(1)+;(2)++;(3)++++. 活動:根據向量加法的交換律使各向量首尾順次相接,再運用向量加法的結合律調整運算順序,然后相加. 解:(1)+=+=. (2)++=++=(+)+=+=0. (3)++++FA=++++ =+++=++=+=0. 點評:要善于運用向量的加法的運算法則及運算律來求和向量. 例2 長江兩岸之間沒有大橋的地方,常常通過輪渡進行運輸.如圖10所示,一艘船從長江南岸A點出發(fā),以5 km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛,同時江水的速度為向東2 km/h. (1)試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度(保留兩個有效數字); (2)求船實際航行的速度的大小與方向(用與江水速度間的夾角表示,精確到度). 圖10 圖11 活動:本例結合一個實際問題說明向量加法在實際生活中的應用.這樣的問題在物理中已有涉及,這里是要學生能把它抽象為向量的加法運算,體會其中應解決的問題是向量模的大小及向量的方向(與某一方向所成角的大小).引導點撥學生正確理解題意,將實際問題反映在向量作圖上,從而與初中學過的解直角三角形建立聯系. 解:如圖11所示,表示船速,表示水速,以AD、AB為鄰邊作ABCD,則表示船實際航行的速度. (2)在Rt△ABC中,||=2,||=5, 所以||=≈5.4. 因為tan∠CAB=,由計算器得∠CAB=70. 答:船實際航行速度的大小約為5.4 km/h,方向與水的流速間的夾角為70. 點評:用向量法解決物理問題的步驟為:先用向量表示物理量,再進行向量運算,最后回扣物理問題,解決問題. 變式訓練 用向量方法證明對角線互相平分的四邊形是平行四邊形. 圖12 活動:本題是一道平面幾何題,如果用純幾何的方法去思考,問題不難解決,如果用向量法來解,不僅思路清晰,而且運算簡單.將互相平分利用向量表達,以此為條件推證使四邊形為平行四邊形的向量等式成立.教師引導學生探究怎樣用向量法解決幾何問題,并在解完后總結思路方法. 證明:如圖12,設四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,=+,=+. AC與BD互相平分,=,=,=, 因此∥且||=||, 即四邊形ABCD是平行四邊形. 點評:證明一個四邊形是平行四邊形時,只需證明=或=即可.而要證明一個四邊形是梯形,需證明與共線,且||≠||. 思路2 例3 如圖13,O為正六邊形ABCDEF的中心,作出下列向量: (1)+;(2)+;(3)+. 活動:教師引導學生由向量的平行四邊形法則(三角形法則)作出相應的向量.教師一定要讓學生親自動手操作,對思路不清的學生教師適時地給予點撥指導. 圖13 解:(1)因四邊形OABC是以OA、OC為鄰邊的平行四邊形,OB是其對角線, 故+=. (2)因=, 故+與方向相同,長度為的長度的2倍, 故+=. (3)因=, 故+=+=0. 點評:向量的運算結合平面幾何知識,在長度和方向兩個方面做文章.應深刻理解向量的加、減法的幾何意義. 例2 在長江的某渡口處,江水以12.5 km/h的速度向東流,渡船的速度是25 km/h,渡船要垂直地渡過長江,其航向應如何確定？ 活動: 如圖14,渡船的實際速度、船速與水速應 滿足+=. 圖14 解:設表示水流速度,表示渡船的速度,表示渡船實際垂直過江的速度,以AB為一邊,AC為對角線作平行四邊形,就是船的速度. 在Rt△ACD中,∠ACD=90,||=||=12.5,||=25,∠CAD=30. 答:渡船的航向為北偏西30. 點評:根據題意畫出草圖,是解決問題的關鍵. 變式訓練 已知O是四邊形ABCD內一點,若+++=0,則四邊形ABCD是怎樣的四邊形?點O是四邊形的什么點? 活動:要判斷四邊形的形狀就必須找出四邊形邊的某些關系,如平行、相等等;而要判斷點O是該四邊形的什么點,就必須找到該點與四邊形的邊或對角線的關系. 圖15 解:如圖15所示,設點O是任一四邊形ABCD內的一點,且+++=0,過A作AEOD,連結ED,則四邊形AEDO為平行四邊形, 設OE與AD的交點為M,過B作BFOC,則四邊形BOCF為平行四邊形, 設OF與BC的交點為N,于是M、N分別是AD、BC的中點. ∵+++=0,+=+=,+=+=, ∴+=0, 即與的長度相等,方向相反. ∴M、O、N三點共線, 即點O在AD與BC的中點連線上. 同理,點O也在AB與DC的中點連線上. ∴點O是四邊形ABCD對邊中點連線的交點,且該四邊形可以是任意四邊形. 知能訓練 課本本節(jié)練習. 解答:1.直接在教科書上據原圖作(此處從略). 2.直接在教科書上據原圖作(此處從略). 3.(1)；(2). 點評:在向量的加法中要注意向量箭頭的方向. 4.(1)c；(2)f；(3)f；(4)g. 點評:通過填空,使學生得出首尾相接的幾個向量的求和規(guī)律. 課堂小結 1.先由學生回顧本節(jié)學習的數學知識:向量的加法定義,向量加法的三角形法則和平行四邊形法則,向量加法滿足交換律和結合律,幾何作圖,向量加法的實際應用. 2.教師與學生一起總結本節(jié)學習的數學方法:特殊與一般,歸納與類比,數形結合,分類討論,特別是通過知識遷移類比獲得新知識的過程與方法.這種遷移類比的方法將把我們引向數學的王國,科學的殿堂. 作業(yè) 如圖16所示,已知矩形ABCD中,||=4,設=a,=b,=c,試求向量a+b+c的模. 圖16 解:過D作AC的平行線,交BC的延長線于E, ∴DE∥AC,AD∥BE. ∴四邊形ADEC為平行四邊形. ∴=,=. 于是a+b+c=++=+==+=2, ∴|a+b+c|=2||=8. 點評:求若干個向量的和的模(或最值)的問題通常按下列步驟進行: (1)尋找或構造平行四邊形,找出所求向量的關系式; (2)用已知長度的向量表示待求向量的模,有時還要利用模的重要性質. 設計感想 1.本節(jié)內容是向量的加法,運算法則有三角形法則和平行四邊形法則,而兩個法則的運用有各自的條件:三角形法則適合于首尾順次相接的兩向量相加,對于共線向量的加法仍然適合；而平行四邊形法則適合于兩個同起點的向量相加,對于共線向量卻不能用此法解決.三角形法則可以推廣到多個首尾順次相接的向量的加法. 2.本節(jié)要求使用多媒體輔助教學,便于直觀、生動地揭示向量加法的概念,突破難點,提高效率,因為本節(jié)解決問題的方法主要是借助圖形,采用數形結合的思想方法.多讓學生動手畫圖,識圖,讓學生在動態(tài)中經歷和體會概念的形成過程.讓學生自己類比、猜想、發(fā)現及應用新知識解決問題.