非平穩(wěn)序列的確定性分析PPT課件

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非平穩(wěn)序列的確定性分析,本章結(jié)構(gòu),5.1確定性因素分解,因素分解方法（Time Series Decomposition）由英國統(tǒng)計學家W.M. Persons于1919年在他的論文“商業(yè)環(huán)境的指標（Indices of Business Conditions）”一文中首次使用。 因素分解方法認為所有的序列波動都可以歸納為受到如下四大類因素的綜合影響： 長期趨勢（Trend）。序列呈現(xiàn)出明顯的長期遞增或遞減的變化趨勢。 循環(huán)波動（Circle）。序列呈現(xiàn)出從低到高再由高到低的反復循環(huán)波動。循環(huán)周期可長可短，不一定是固定的。 季節(jié)性變化（Season）。序列呈現(xiàn)出和季節(jié)變化相關的穩(wěn)定周期波動。 隨機波動(Immediate)。除了長期趨勢、循環(huán)波動和季節(jié)性變化之外，其他不能用確定性因素解釋的序列波動，都屬于隨機波動。,因素分解模型,統(tǒng)計學家在進行確定性時間序列分析時，假定序列會受到這四個因素中的全部或部分的影響，導致序列呈現(xiàn)出不同的波動特征。換言之，任何一個時間序列都可以用這四個因素的某個函數(shù)進行擬合 常用模型 加法模型： 乘法模型：,因素分解模型遇到的問題,如果觀察時期不是足夠長，那么循環(huán)因素和趨勢因素的影響很難準確區(qū)分。 比如很多經(jīng)濟或社會現(xiàn)象確實有“上行——峰頂——下行——谷底”周而復始的循環(huán)周期。但是這個周期通常很長而且周期長度不是固定的。比如前面提到的太陽黑子序列，就有9-13年長度不等的周期。 在經(jīng)濟學領域更是如此。1913年美國經(jīng)濟學家韋斯利.米歇爾出版了《經(jīng)濟周期》一書，他提出經(jīng)濟周期的持續(xù)時間從超過1年到10年或12年不等，它們會重復發(fā)生，但不定期。 后來不同的經(jīng)濟學家研究不同的經(jīng)濟問題，一再證明經(jīng)濟周期的存在和周期的不確定，比如基欽周期（平均周期長度為40個月左右），朱格拉周期（平均周期長度為10年左右），庫茲涅茨周期）平均長度為20年左右），康德拉季耶夫周期（平均周期長度為53.3年）。如果觀察值序列不是足夠長，沒有包含幾個周期的話，那么周期的一部分會和趨勢重合，無法準確完整地提取周期影響。,因素分解遇到的問題,有些社會現(xiàn)象和經(jīng)濟現(xiàn)象顯示出某些特殊日期是一個很顯著的影響因素，但是在傳統(tǒng)因素分解模型中，它卻沒有被納入研究。 比如研究股票交易序列，成交量、開盤價、收盤價會明顯受到交易日的影響，同一只股票每周一和每周五的波動情況可能有顯著的不同。 超市銷售情況更是明顯受到特殊日期的影響，工作日、周末、重大假日的銷售特征相差很大。 春節(jié)、端午節(jié)、中秋節(jié)、兒童節(jié)、圣誕節(jié)等不同的節(jié)日對零售業(yè)、旅游業(yè)、運輸業(yè)等多個行業(yè)都有顯著影響。,因素分解改進模型,如果觀察時期不是足夠長，人們將循環(huán)因素（Circle）改為特殊交易日因素（Day）。新的四大因素為：趨勢（T），季節(jié)（S），交易日（D）和隨機波動（I）。 加法模型： 乘法模型： 偽加法模型： 對數(shù)加法模型：,確定性時序分析的目的,一是克服其他因素的干擾，單純測度出某個確定性因素（諸如季節(jié)，趨勢，交易日）對序列的影響。 二是根據(jù)序列呈現(xiàn)的確定性特征，選擇適當?shù)姆椒▽π蛄羞M行綜合預測。,本章結(jié)構(gòu),5.2 X-11季節(jié)調(diào)整模型,X11模型是二戰(zhàn)以后，美國國情普查局委托統(tǒng)計學家進行基于計算機自動計算的時間序列因素分解模型。這個模型之所以叫季節(jié)調(diào)整模型，是因為國家經(jīng)濟序列通常具有明顯的季節(jié)波動，季節(jié)性會遮蓋或擾亂人們對經(jīng)濟發(fā)展趨勢的正確判斷。因此，在進行國家經(jīng)濟發(fā)展觀察和研究時，首先需要進行因素分解，然后剔除季節(jié)波動的影響，得到國家經(jīng)濟發(fā)展變量的趨勢特征，這就是季節(jié)調(diào)整模型的構(gòu)造起因。 1954年，第一個基于計算機計算的時間序列因素分解程序的測試版本問世，隨后經(jīng)過十多年的發(fā)展，不斷完善計算方法，陸續(xù)推出新的測試版本X-1，…，X-10。1965年，美國國情普查局頒布了比較完整的測試版本X-11。該版本由統(tǒng)計學家Shiskin，Young和Musgrave共同研發(fā)，它采用三種不同的移動平均方法，通過三個階段的因素分解，實現(xiàn)了計算機程序化操作，擬合效果良好的時間序列季節(jié)調(diào)整程序。從此以后，X-11季節(jié)調(diào)整模型成為全球統(tǒng)計機構(gòu)和商業(yè)機構(gòu)進行因素分解時最愛使用的標準方法。 后來加拿大統(tǒng)計局開發(fā)了X-11-ARIMA模型，美國又開發(fā)了X-12與X-12-ARIMA模型，但它們的核心依然是X-11。,移動平均方法,移動平均方法是一種常用的修勻方法。它最早于1870年由法國數(shù)學家De Forest提出，19世紀晚期已經(jīng)廣泛應用于商業(yè)和保險精算行業(yè)。商人使用移動平均方法，消除隨機波動和季節(jié)性影響，得到商品的價格變動趨勢。精算師采用移動平均方法來修勻死亡率，得到消除隨機波動的生命表?，F(xiàn)在股市中普遍采用的5日均線，10日均線，30日均線，60日均線等指標，實際上都是移動平均估計值。 稱為序列 的 期移動平均函數(shù) 稱為移動平均系數(shù)或移動平均算子,X-11中用到的移動平均方法,對移動平均系數(shù)增加不同的約束條件，就可以得到不同的移動平均方法。在X-11程序中使用了如下三種移動平均方法，以實現(xiàn)對各種序列的準確分解 簡單中心移動平均 Henderson加權移動平均 Musgrave非對稱移動平均,簡單中心移動平均,對移動平均函數(shù)增加系數(shù)相等且系數(shù)和為1的約束條件，該移動平均稱為n期簡單移動平均 如果再增加一個約束條件，要求系數(shù)對稱 ，該移動平均稱為n期簡單中心移動平均,簡單中心移動平均,奇數(shù)期 簡單中心移動平均 偶數(shù)期 簡單中心移動平均：需要進行兩次偶數(shù)期的簡單移動平均，才能實現(xiàn)系數(shù)中心化對稱。兩次移動平均稱為復合移動平均，簡記為,簡單中心移動平均的優(yōu)良屬性,簡單中心移動平均是X-11模型首先采用的移動平均方法，它具有如下四個優(yōu)良屬性 簡單中心移動平均能有效消除季節(jié)效應 簡單中心移動平均能有效提取低階趨勢 簡單中心移動平均能實現(xiàn)擬合方差最小 簡單移動平均比值能有效提取季節(jié)效應,簡單中心移動平均能有效消除季節(jié)效應,對于有穩(wěn)定季節(jié)周期的序列進行周期長度的移動平均可以消除季節(jié)波動。 例：1981-1990年澳大利亞政府季度消費支出序列，原序列為季度數(shù)據(jù)，有顯著的季節(jié)特征，每年為一個周期，即周期長度為4期。對原序列先進行4期簡單移動平均，再對序列進行兩期移動平均，得到復合移動平均值,平滑效果圖,簡單中心移動平均能有效提取低階趨勢,假如序列有線性趨勢，即 那么它的2k+1期中心移動平均函數(shù)為,參數(shù)約束,我們希望一個好的移動平均能盡量消除隨機波動的影響，還能維持線性趨勢不變，即 推導出移動平均系數(shù)要滿足如下條件 簡單中心移動平均系數(shù)取值對稱且系數(shù)總和為1，必然滿足如上兩個約束條件，所以簡單中心移動平均函數(shù)能保持線性趨勢不變。,簡單中心移動平滑對二階趨勢的提取,對于一元二次函數(shù) ，簡單中心移動平均也可以充分提取二階趨勢信息 但此時 不再是一元二次函數(shù)的無偏估計了,案例5.1,我國1949-2008年化肥產(chǎn)量序列呈現(xiàn)出二次函數(shù)特征，使用五期簡單中心移動平均對序列進行擬合，擬合效果圖如下圖所示,案例5.1,誤差序列是一個均值為-6.38821的無趨勢特征序列,簡單中心移動平均能實現(xiàn)擬合方差最小,移動平均估計值的方差為 因為 ，所以 推導出擬合序列方差小于原序列方差 在 的約束下，使 達到最小的系數(shù)值能實現(xiàn)方差最小，且移動平均期數(shù)越多，方差越小，修勻效果越好。,案例5.3,使用三期移動平均擬合序列，求在 的約束下，使擬合序列方差最小的移動平均系數(shù)值。 三期移動平均在約束條件下，意味著 ，且 ，推導出 則移動平均擬合序列的方差為 這個一元二次函數(shù)最小值在 達到，即,簡單移動平均比值能有效提取季節(jié)效應,在日常生活中，我們可以見到許多有季節(jié)效應的時間序列，比如：四季的氣溫、每個月的商品零售額、某自然景點每季度的旅游人數(shù)等等。它們都會呈現(xiàn)出明顯的季節(jié)變動規(guī)律。 季節(jié)效應的提取是確定性因素分析的重要工作之一。,案例5.4,以北京市1995年——2000年月平均氣溫序列為例，介紹季節(jié)效應分析的基本思想和具體操作步驟。 (1)繪制時序圖,案例5.4,（2）構(gòu)造季節(jié)偏差或季節(jié)指數(shù)模型 季節(jié)偏差就是用簡單移動平均方法計算的各期序列移動平均值和年度均值之間的差值，主要應用于加法模型的季節(jié)特征描述，此時序列可以表示為 所謂季節(jié)指數(shù)就是各期序列移動平均值和年度均值之間的相對數(shù)。主要應用于乘法模型的季節(jié)性特征描述，此時序列可以表示為,季節(jié)效應的計算,第一步：對原序列使用短期復合移動平均計算當期移動平均估計值，消除隨機因素對當期序列值得影響 對短期復合移動平均序列使用周期復合移動平均計算當期移動平均估計值，消除周期效應對當期序列值得影響 ，m為周期長度 加法模型計算季節(jié)偏差，乘法模型計算季節(jié)指數(shù),案例5.4,案例5.4,季節(jié)偏差圖,季節(jié)指數(shù)圖,Henderson加權移動平均,簡單中心移動平均具有很多優(yōu)良屬性，使它成為實務中最常用的一種移動平均方法，但是它也有不足。在提取趨勢信息的時候，它能很好地提取一次函數(shù)和二次函數(shù)的信息，但是對于2次以上曲線，它的趨勢信息提取不充分。 Henderson是一位20世紀早期的保險精算統(tǒng)計學家，他最初提出Henderson加權移動平均是為了解決生命表的修勻問題。 X11過程使用Henderson加權移動平均，在簡單中心移動平均的基礎上進一步精確提取序列趨勢信息,案例5.5,使用五期簡單中心移動平均對一元三次函數(shù) 進行擬合，并考察擬合誤差項的性質(zhì)。 五期中心移動平均擬合效果圖,案例5.5,擬合誤差序列圖，可以看到誤差序列依然殘存顯著的趨勢信息,Henderson加權移動平均,在 的約束下，使得 達到最小的系數(shù)即為Henderson加權移動平均系數(shù)。 其中S等于移動平均系數(shù)的三階差分的平方和，這等價于把某個三次多項式作為光滑度的一個指標，要求達到最小，就是力求修勻值接近一條三次曲線。理論上也可以要求逼近更高次數(shù)的多項式曲線，比如四次或五次，這時只需要調(diào)整函數(shù)中的差分階數(shù)。但階數(shù)越高，計算越復雜，所以使用最多的還是3階差分光滑度要求。,Henderson加權移動平均系數(shù),目前人們已經(jīng)計算出了3階差分光滑度下，使達到最小的5期，7期，9期，13期和23期的移動平均系數(shù)。,Henderson加權移動平均,對于例5.5給出的一元三次函數(shù)，五期Henderson加權移動平均可以做到誤差恒為零擬合。 對其他曲線趨勢擬合，Henderson加權移動平均通常也能取得精度很高的擬合效果。,Musgrave非對稱移動平均,前面兩種移動平均方法可以很好地消除趨勢，提取線性或非線性趨勢信息，但是它們都有一個明顯的缺點：因為是中心移動平均，假如移動平均期數(shù)為2k+1，那么序列最前面的k期和最后面的k期經(jīng)過移動平均擬合后，信息就缺失了。 這是嚴重的信息損失，尤其是最后幾期的信息可能正是我們最關心的信息。 1964年，統(tǒng)計學家Musgrave針對這個問題構(gòu)造了Musgrave非對稱移動平均方法，專門對最后k期數(shù)據(jù)進行補充平滑擬合。,Musgrave非對稱移動平均,Musgrave非對稱移動平均的構(gòu)造思想是，已知一組中心移動平均系數(shù)，滿足 ，方差最小，光滑度最優(yōu)等前提約束?，F(xiàn)在需要另外尋找一組非中心移動平均系數(shù)，也滿足和為1的約束 ，且它的擬合值能無限接近中心移動平均的擬合值，即對中心移動平均現(xiàn)有估計值做出的修正最小 其中d為補充平滑的項數(shù),Musgrave非對稱移動平均,在這個指導思想下，Musgrave首先構(gòu)造了噪聲-信號比率R（noise to signal ratio）的概念，并給出了不同期數(shù)的Henderson加權移動平均比率R的估計值 其中： 是序列不規(guī)則部分 的絕對差分 的樣本均值 是序列趨勢-循環(huán)部分 絕對差分 的樣本均值。,Musgrave非對稱移動平均所使用的比率值,Musgrave移動平均計算公式,然后基于比率R和中心移動平均系數(shù)，Musgrave給出了非對稱移動平均系數(shù)的計算公式 其中 利用該公式我們可以得到最后若干項缺失的平滑估計值。,Musgrave移動平均系數(shù),案例5.6,分別使用Henderson5期加權移動平均和Musgrave非對稱移動平均對一元三次函數(shù)進行擬合 Henderson5期加權移動平均公式為： 相應的Musgrave非對稱移動平均公式為：,擬合計算結(jié)果,案例5.7,對1993年——2000年中國社會消費品零售總額序列基于X11季節(jié)調(diào)整模型，進行確定性因素分解 第一步：繪制時序圖，并根據(jù)時序圖顯示的特征選擇適當?shù)拇_定性因素模型。,案例5.7,案例5.7,X-11季節(jié)調(diào)整過程,通過上面三次迭代，，每一次迭代都提供了趨勢項，季節(jié)效應和隨機波動項的估計，最后得到的是最終的因素分解結(jié)果,案例5.7：擬合效果圖,本例第7步，第9步和第10步分別得到季節(jié)、趨勢和隨機波動最終擬合值，擬合效果圖如下,擬合效果圖,擬合效果圖,擬合效果圖,本章結(jié)構(gòu),X-12-ARIMA模型的產(chǎn)生,1975年加拿大統(tǒng)計局在Dagum的支持下開發(fā)了X-11-ARIMA模型。它是在X-11模型建模之前，首先通過建立ARIMA模型對序列進行向前和向后預測，擴充數(shù)據(jù)，這彌補了中心移動平均方法的缺陷，同時也可以取代非對稱移動平均的缺失值補齊工作。 1998年美國普查局在Findley、Monsell等人的共同努力下開發(fā)了X-12-ARIMA模型。X-12-ARIMA模型主要是在X-11-ARIMA模型的基礎上加強了對序列的預處理。它可以用回歸模型的方式，檢測月度長度、季度長度、固定季節(jié)因素、工作日因素、交易日因素、閏年因素、特殊節(jié)假日等多種因素對序列的影響，并檢測該影響的顯著性與穩(wěn)定性。這進一步提高了季節(jié)調(diào)整模型的準確性和解釋性。,X-12-ARIMA模型的操作步驟,第一步：根據(jù)序列的特點，考察序列值是否會受到某些確定性的異常值的影響 X-12-ARIMA模型經(jīng)?？疾斓囊恍┊惓Ｒ蛩匕ㄔ露乳L度、季度長度、固定季節(jié)因素、工作日因素、交易日因素、閏年因素、特殊節(jié)假日（春節(jié)、十一假期、雙十一購物節(jié)）等。 如果序列有可能受到這些因素的顯著影響，則將這些因素作為自變量，序列作為因變量，建立回歸模型。如果回歸模型顯著成立，則說明該影響因素對序列有顯著穩(wěn)定的影響， 第二步：對回歸殘差序列（如果回歸方程顯著）或原序列（如果回歸方程不顯著）擬合ARIMA模型。 第三步：構(gòu)建X-11模型。依然是3階段10步迭代運算。但是期間系統(tǒng)會使用第二步擬合出來的ARIMA模型，自動向前或向后做序列預測，根據(jù)需要擴充數(shù)據(jù)，以得到更準確的因素分解結(jié)果。,例5.7續(xù),對1993年——2000年中國社會消費品零售總額序列（數(shù)據(jù)見附錄1-24）基于X-12-ARIMA季節(jié)調(diào)整模型，進行確定性因素分解。,步驟一：對序列進行異常值調(diào)整,考慮月度長度的影響 以月度長度為自變量，中國社會消費品零售總額序列為因變量構(gòu)造回歸模型。模型擬合結(jié)果顯示，該回歸方程不能顯著成立。也就是說每月的不同長度不是該序列的一個顯著的異常影響因素。 春節(jié)因素的影響 將春節(jié)影響因子作為自變量和中國社會消費品零售總額序列建立回歸模型，模型擬合結(jié)果顯示，該回歸方程不能顯著成立。春節(jié)效應不是該序列的一個顯著的異常影響因素。,步驟二：構(gòu)建ARIMA模型,該序列一階12步差分后自相關圖,步驟二：構(gòu)建ARIMA模型,該序列一階12步差分后偏自相關圖,步驟二：構(gòu)建ARIMA模型,該序列一階、12步差分后，顯示出一階自相關系數(shù)截尾和一階偏自相關系數(shù)截尾屬性，所以嘗試對差分后序列擬合AR（1）模型，即對原序列擬合ARIMA(1，1，0)(0，1，0)12模型。 檢驗結(jié)果顯示該擬合模型顯著成立,,步驟三：擬合X-11模型,因為原序列可以擬合ARIMA(1，1，0)(0，1，0)12模型，這意味著季節(jié)和趨勢相互獨立，所以采用X-11加法模型。經(jīng)過X-11過程3階段10步的迭代運算，最后可以得到X-12-ARIMA季節(jié)效應、趨勢效應和隨機波動影響的因素分解結(jié)果，也可以考察序列的擬合效果。 X-12-ARIMA模型不僅給出擬合值、擬合效果圖，還給出了模型擬合的檢驗統(tǒng)計量，為改進模型和多擬合模型優(yōu)劣比較提供了基礎。,中國社會消費品零售總額序列不同擬合模型的擬合效果比較,X-12-ARIMA模型季節(jié)效應圖,X-12-ARIMA模型趨勢效應圖,X-12-ARIMA模型隨機波動效應圖,X-12-ARIMA模型擬合效果圖,本章結(jié)構(gòu),指數(shù)平滑預測模型,確定性因素分析的第二個主要目的是根據(jù)序列呈現(xiàn)的確定性特征，選擇適當?shù)哪Ｐ?，預測序列未來的發(fā)展。根據(jù)序列是否具有長期趨勢與季節(jié)效應，可以把序列分為如下三大類： 第一類：既沒有長期趨勢有沒有季節(jié)效應的序列 第二類：只有長期趨勢，沒有季節(jié)效應的序列 第三類：既可以有長期趨勢，也可以沒有長期趨勢，但一定有季節(jié)效應的序列 在確定性因素分解領域，針對這三類序列，可以采用三種不同的指數(shù)平滑模型進行序列預測。,簡單移動平均,對于既無長期趨勢，又無季節(jié)效應的水平平穩(wěn)序列，可以認為序列在一個比較短的時間間隔內(nèi)，序列的取值是比較穩(wěn)定的，序列值之間的差異主要是由隨機波動造成的。根據(jù)這種假定，我們可以用最近一段時間內(nèi)的平均值作為未來幾期的預測值，該方法稱為簡單移動平均預測法。 假定最后一期的觀察值為 ，那么使用簡單移動平均模型，向前預測 期，各期的預測值為,簡單指數(shù)平滑預測模型,簡單移動平均法實際上就是用一個簡單的加權平均數(shù)作為某一期序列值的估計值。實際上也就是假定無論時間的遠近，這n期的觀察值對預測值的影響力都是一樣的。但在實際生活中，我們會發(fā)現(xiàn)對大多數(shù)隨機事件而言，一般都是近期的結(jié)果對現(xiàn)在的影響會大些，遠期的結(jié)果對現(xiàn)在的影響會小些。為了更好地反映這種時間所起的影響作用，我們將考慮到時間間隔對事件發(fā)展的影響，各期權重隨時間間隔的增大而呈指數(shù)衰減。這就是1961年Brown和Meyers提出指數(shù)平滑法的構(gòu)造思想。 簡單指數(shù)平滑模型 等價模型,簡單指數(shù)平滑,簡單指數(shù)平滑面臨一個確定初始值的問題。我們有許多方法可以確定的初始值，最簡單的方法是指定 。 平滑系數(shù) 的值最初由研究人員根據(jù)經(jīng)驗給出。一般對于變化緩慢的序列， 常取較小的值，相反對于變化迅速的序列， 常取較大的值。經(jīng)驗值通常介于0.05至0.3之間。 從理論上我們可以證明使用簡單指數(shù)平滑法預測任意期的預測值都為常數(shù)。,案例5.8,根據(jù)1950-2008年的觀察值序列，指定平滑系數(shù)為0.2，采用指數(shù)平滑法預測2009-2013年我國郵路及農(nóng)村投遞線路每年新增里程數(shù)。,Holt兩參數(shù)指數(shù)平滑,Holt 兩參數(shù)指數(shù)平滑適用于對含有線性趨勢的序列進行修勻。它的基本思想是假定序列有一個比較固定的線性趨勢——每期都遞增r或遞減r，那么第t期的估計值就應該等于第t-1期的觀察值加上每期固定的趨勢變動值，即 但是由于隨機因素的影響，使得每期的遞增或遞減值不會恒定為r，它會隨時間變化上下波動，所以趨勢序列實際上是一個隨機序列,因而,Holt兩參數(shù)指數(shù)平滑,Holt兩參數(shù)指數(shù)平滑公式 平滑序列的初始值，最簡單的是指定 。 趨勢序列的初始值，最簡單的方法是：任意指定一個區(qū)間長度,用這段區(qū)間的平均趨勢作為趨勢初始值 使用Holt 兩參數(shù)指數(shù)平滑法，向前 期的預測值為,案例5.9,對1964—1999年中國紗年產(chǎn)量序列進行Holt 兩參數(shù)指數(shù)平滑，并預測2000—2015年中國紗產(chǎn)量序列值,Holt-Winters三參數(shù)指數(shù)平滑,為了修勻引入季節(jié)效應的序列，Winters在1960年在Holt兩參數(shù)指數(shù)平滑的基礎上構(gòu)造了Holt-Winters三參數(shù)指數(shù)平滑。 Holt-Winters三參數(shù)指數(shù)平滑公式（加法模型）,Holt-Winters三參數(shù)指數(shù)平滑,Holt-Winters三參數(shù)指數(shù)平滑公式（乘法模型）,案例5.10,對1993—2000年中國社會消費品零售總額序列，使用Holt-Winters三參數(shù)指數(shù)平滑法進行12期預測。,上機指導,X-11過程 X-12過程 Forecast過程,謝謝!,