【志鴻優(yōu)化設(shè)計(jì)】(山東專用)2014屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章解析幾何9.2點(diǎn)與直線、直線與直線的位置關(guān)系教學(xué)案 理 新人教A版

上傳人:xins****2008 文檔編號(hào):30041341 上傳時(shí)間:2021-10-09 格式:DOC 頁(yè)數(shù):8 大小:6.12MB
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1、 9.2 點(diǎn)與直線、直線與直線的位置關(guān)系 考綱要求 1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直. 2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo). 3.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式,會(huì)求兩條平行直線間的距離. 1.兩直線的位置關(guān)系 平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系包括平行、相交、重合三種情況. (1)兩直線平行 對(duì)于直線l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2, l1∥l2?________________. 對(duì)于直線l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0, l1∥l2?________________________

2、__. (2)兩直線垂直 對(duì)于直線l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2, l1⊥l2?k1k2=____. 對(duì)于直線l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0, l1⊥l2?____________. 2.兩直線的交點(diǎn) 設(shè)直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,將這兩條直線的方程聯(lián)立,得方程組若方程組有唯一解,則l1與l2____,此解就是兩直線交點(diǎn)的坐標(biāo);若方程組無(wú)解,則l1與l2____;若方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解,則l1與l2____. 3.有關(guān)距離 (1)兩點(diǎn)間的距離 平面上兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y

3、2)間的距離|P1P2|=________________________. (2)點(diǎn)到直線的距離 平面上一點(diǎn)P(x0,y0)到一條直線l:Ax+By+C=0的距離d=____________. (3)兩平行線間的距離 已知l1,l2是平行線,求l1,l2間距離的方法: ①求一條直線上一點(diǎn)到另一條直線的距離; ②設(shè)l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,則l1與l2之間的距離d=________. 4.對(duì)稱問題 (1)中點(diǎn)坐標(biāo)公式 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為____________. (2)中心對(duì)稱 若點(diǎn)M(x1,y1)及

4、N(x,y)關(guān)于P(a,b)對(duì)稱,則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得________________. (3)軸對(duì)稱 若兩點(diǎn)P1(x1,y1)與P2(x2,y2)關(guān)于直線l:Ax+By+C=0對(duì)稱,則線段P1P2的中點(diǎn)在對(duì)稱軸l上,而且連接P1,P2的直線垂直于對(duì)稱軸l.由方程組可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2,y2)(其中A≠0,x1≠x2). 1.過點(diǎn)(1,0)且與直線x-2y-2=0平行的直線方程是(  ). A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.已知點(diǎn)P在直線x+2y=5上,且點(diǎn)Q(1,1),則|PQ|的最

5、小值為(  ). A. B. C. D. 3.若直線ax+y+5=0與x-2y+7=0垂直,則a的值為(  ). A.2 B. C.-2 D.- 4.若三條直線2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+by=0相交于一點(diǎn),則b=(  ). A.-1 B.- C.2 D. 5.與直線7x+24y-5=0平行,并且到它的距離為4的直線方程是__________. 一、兩直線的平行 【例1】直線l1:2x+(m+1)y+4=0與直線l2:mx+3y-2=0平行,則m的值為(  ). A.2

6、B.-3 C.2或-3 D.-2或-3 方法提煉 1.判定兩直線平行的方法: (1)判定兩直線的斜率是否存在,若存在,可先化成斜截式,若k1=k2,且b1≠b2,則兩直線平行;若斜率都不存在,還要判定是否重合. (2)直接用以下方法,可避免對(duì)斜率是否存在進(jìn)行討論: 設(shè)直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1∥l2?A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0. 2.與直線Ax+By+C=0平行的直線方程可設(shè)為Ax+By+m=0(m≠C),這也是經(jīng)常采用的解題技巧. 請(qǐng)做演練鞏固提升2 二、兩直線的垂直 【例2】若直線x-2y+5=0

7、與直線2x+my-6=0互相垂直,則實(shí)數(shù)m=__________. 方法提煉 1.判定兩直線垂直的方法: (1)判定兩直線的斜率是否存在,若存在,可先化成斜截式,若k1k2=-1,則兩直線垂直;若一條直線的斜率不存在,另一條直線的斜率為0,兩直線也垂直. (2)直接用以下方法,可避免對(duì)斜率是否存在進(jìn)行討論:設(shè)直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1⊥l2?A1A2+B1B2=0. 2.與Ax+By+C=0垂直的直線方程可設(shè)為Bx-Ay+m=0,這也是經(jīng)常采用的解題技巧. 請(qǐng)做演練鞏固提升1 三、距離公式的應(yīng)用 【例3】已知點(diǎn)A(2,-1), (

8、1)求過點(diǎn)A且與原點(diǎn)距離為2的直線l的方程; (2)求過點(diǎn)A且與原點(diǎn)距離最大的直線l的方程,最大距離是多少? (3)是否存在過點(diǎn)A且與原點(diǎn)距離為6的直線?若存在,求出方程;若不存在.請(qǐng)說明理由. 方法提煉 運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式時(shí),需把直線方程化為一般式;運(yùn)用兩平行線的距離公式時(shí),需先把兩平行線方程中x,y的系數(shù)化為相同的形式. 請(qǐng)做演練鞏固提升4 四、對(duì)稱問題 【例4】已知直線l1:2x-3y+1=0,點(diǎn)A(-1,-2).求: (1)點(diǎn)A關(guān)于直線l1的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo); (2)直線m:3x-2y-6=0關(guān)于直線l1的對(duì)稱直線l2的方程; (3)直線l1關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱的直線l

9、3的方程. 方法提煉 1.在對(duì)稱問題中,點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱是最基本也是最重要的對(duì)稱.處理這種問題關(guān)鍵是抓住垂直與平分兩個(gè)幾何條件,轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系列方程求解;線關(guān)于線的對(duì)稱問題,可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題來(lái)解決;直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱來(lái)處理,結(jié)合“代入法”求軌跡方程的思想方法解題也是這類問題的一個(gè)通法. 2.求與距離有關(guān)的最值問題,一般是通過作圖,轉(zhuǎn)化為對(duì)稱問題加以解決. 請(qǐng)做演練鞏固提升3 直線中的新概念問題 【典例】在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)點(diǎn)P(x,y),定義[OP]=|x|+|y|,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn). 對(duì)于以下結(jié)論:①符合[OP]=1的點(diǎn)P的軌跡圍成的圖形

10、的面積為2; ②設(shè)P為直線x+2y-2=0上任意一點(diǎn),則[OP]的最小值為1; 其中正確的結(jié)論有__________(填上你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號(hào)). 解析:①根據(jù)新定義,討論x的取值,得到y(tǒng)與x的分段函數(shù)關(guān)系式,畫出分段函數(shù)的圖象,即可求出該圖形的面積;②認(rèn)真觀察直線方程,可舉一個(gè)反例,得到[OP]的最小值為1是假命題. ①由[OP]=1,根據(jù)新定義得:|x|+|y|=1,上式可化為:y=-x+1(0≤x≤1),y=-x-1(-1≤x≤0),y=x+1(-1≤x≤0),y=x-1(0≤x≤1),畫出圖象如圖所示: 根據(jù)圖形得到:四邊形ABCD為邊長(zhǎng)是的正方形,所以面積等于2,

11、故①正確; ②當(dāng)點(diǎn)P為時(shí),[OP]=|x|+|y|=+0<1,所以[OP]的最小值不為1,故②錯(cuò)誤;所以正確的結(jié)論有:①. 答案:① 答題指導(dǎo):1.本題有以下兩處創(chuàng)新點(diǎn) (1)考查內(nèi)容的創(chuàng)新,使解析幾何問題與函數(shù)知識(shí)巧妙結(jié)合進(jìn)行考查. (2)考查對(duì)新定義、新概念的理解與運(yùn)用,同時(shí)考查思維的創(chuàng)新,本題考查了學(xué)生的發(fā)散思維,思維方向與習(xí)慣思維不同. 2.解決新概念、新定義的創(chuàng)新問題時(shí),要注意以下幾點(diǎn): (1)充分理解概念、定理的內(nèi)涵與外延; (2)對(duì)于新概念、新結(jié)論要具體化,舉幾個(gè)具體的例子,代入幾個(gè)特殊值; (3)注意新概念、新結(jié)論正用怎樣,逆用又將如何,變形將會(huì)如何.

12、1.與直線3x+4y+1=0垂直且過點(diǎn)(2,1)的直線l的方程為__________. 2.直線x+ay+3=0與直線ax+4y+6=0平行的充要條件是a=__________. 3.如圖,已知A(4,0),B(0,4),從點(diǎn)P(2,0)射出的光線被直線AB反射后,再射到直線OB上,最后經(jīng)OB反射回到P點(diǎn),則光線經(jīng)過的路程是__________. 4.若P(a,b)在直線x+y+1=0上,求的最小值. 5.(1)在直線l:3x-y-1=0上求一點(diǎn)P,使得P到A(4,1)和B(0,4)的距離之差最大; (2)在直線l:3x-y-1=0上求一點(diǎn)Q,使得Q到A(4,1)和C(3,4)的

13、距離之和最小. 參考答案 基礎(chǔ)梳理自測(cè) 知識(shí)梳理 1.(1)k1=k2且b1≠b2 A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0 (2)-1 A1A2+B1B2=0 2.相交 平行 重合 3.(1) (2) (3)② 4.(1) (2) 基礎(chǔ)自測(cè) 1.A 解析:∵所求直線與直線x-2y-2=0平行, ∴所求直線的斜率為,方程為y-0=(x-1),即x-2y-1=0. 2.D 解析:根據(jù)題意知,|PQ|的最小值為點(diǎn)Q到直線x+2y=5的距離. 根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式,得==. 3.A 解析:∵兩直線垂直, ∴a1+1(-2)=a-2=0. ∴a=2. 4.

14、B 解析:解方程組得 ∴三條直線交于點(diǎn)(-1,-2). ∴-1-2b=0,即b=-. 5.7x+24y+95=0或7x+24y-105=0 解析:設(shè)所求直線方程為7x+24y+c=0, 則d==4, ∴c=95或c=-105. ∴所求直線方程為7x+24y+95=0或7x+24y-105=0. 考點(diǎn)探究突破 【例1】C 解析:(方法一)當(dāng)m=-1時(shí),l1:2x+4=0,l2:-x+3y-2=0,顯然l1與l2不平行; 當(dāng)m≠-1時(shí),因?yàn)閘1∥l2,所以應(yīng)滿足-=-且-≠,解得m=2或m=-3. (方法二)若l1∥l2,需23-m(m+1)=0,解得m=-3或m=2. 當(dāng)

15、m=-3或2時(shí),-2(m+1)-12≠0. ∴m=-3或2為所求. 【例2】1 解析:(方法一)當(dāng)m=0時(shí),l1:x-2y+5=0,l2:2x-6=0不垂直;當(dāng)m≠0時(shí),因?yàn)閘1⊥l2,則=-1,則m=1. (方法二)若l1⊥l2, 則12+(-2)m=0. ∴m=1. 【例3】解:(1)由過點(diǎn)A的直線l與原點(diǎn)距離為2,而點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,-1),可知當(dāng)斜率不存在時(shí),直線l的方程為x=2,此時(shí),原點(diǎn)到直線l的距離為2,符合題意; 當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0, 由已知得=2,解得k=, 此時(shí)直線l的方程為3x-4y-10=0,

16、 綜上可知:直線l的方程為x=2或3x-4y-10=0. (2)過點(diǎn)A與原點(diǎn)O距離最大的直線是過點(diǎn)A與AO垂直的直線, 由l⊥AO,得klkOA=-1, 所以kl=-=2. 由直線的點(diǎn)斜式得y+1=2(x-2),即2x-y-5=0,即直線2x-y-5=0是過點(diǎn)A且與原點(diǎn)距離最大的直線l的方程,最大距離是=. (3)由(2)可知,過點(diǎn)A不存在到原點(diǎn)距離超過的直線,因此不存在過點(diǎn)A且與原點(diǎn)距離為6的直線. 【例4】解:(1)設(shè)A′(x,y), 由已知得 解得 故A′. (2)在直線m上取一點(diǎn),如M(2,0),則M關(guān)于l1的對(duì)稱點(diǎn)必在l2上. 設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為M′(a,b), 則由

17、 得M′. 設(shè)m與l1的交點(diǎn)為N, 由得N(4,3). 又l2過N點(diǎn),由兩點(diǎn)式得直線l2的方程為9x-46y+102=0. (3)(方法一)在l1:2x-3y+1=0上任取兩點(diǎn),如M(1,1),N(4,3). 則M,N關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)M′,N′均在直線l3上. 易知M′(-3,-5),N′(-6,-7),由兩點(diǎn)式可得l3的方程為2x-3y-9=0. (方法二)∵l1∥l3,∴可設(shè)l3的方程為2x-3y+c=0(c≠1). ∵點(diǎn)A到兩直線的距離相等,∴由點(diǎn)到直線的距離公式得=,得c=-9, ∴l(xiāng)3的方程為2x-3y-9=0. (方法三)設(shè)P(x,y)是l3上任一點(diǎn),則P(x

18、,y)關(guān)于點(diǎn)A(-1,-2)的對(duì)稱點(diǎn)為P′(-2-x,-4-y). ∵P′在直線l1上, ∴2(-2-x)-3(-4-y)+1=0. 整理得2x-3y-9=0. 演練鞏固提升 1.4x-3y-5=0 解析:(方法一)易知直線l的斜率存在, 設(shè)直線l的斜率為k, ∵l與直線3x+4y+1=0垂直, ∴k=. 又直線l過點(diǎn)(2,1), 所以直線l的方程為y-1=(x-2),即4x-3y-5=0. (方法二)設(shè)直線l的方程為4x-3y+c=0, 由l過點(diǎn)(2,1), ∴42-31+c=0, ∴c=-5. ∴直線l的方程為4x-3y-5=0. 2.-2 解析:直線x+a

19、y+3=0與直線ax+4y+6=0平行?a2=4且≠?a=-2. 3.2 解析:P關(guān)于直線AB:x+y=4的對(duì)稱點(diǎn)P1(4,2),P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P2(-2,0), 則|P1P2|==2為所求. 4.解:∵=,可看成是點(diǎn)P(a,b)與點(diǎn)(1,1)之間的距離. 又∵點(diǎn)P是直線x+y+1=0上任一點(diǎn), ∴即是點(diǎn)(1,1)與直線x+y+1=0上任一點(diǎn)之間的距離. 因此,點(diǎn)(1,1)到直線x+y+1=0的距離即是的最小值. 由于點(diǎn)(1,1)到直線x+y+1=0的距離為d==, 故的最小值為. 5.解:(1)如圖甲所示,設(shè)點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為B′,連接AB′并延長(zhǎng)交l于P,此時(shí)的

20、P滿足|PA|-|PB|的值最大. 圖甲 設(shè)B′的坐標(biāo)為(a,b), 則kBB′kl=-1, 即3=-1. ∴a+3b-12=0.① 又由于線段BB′的中點(diǎn)坐標(biāo)為,且在直線l上, ∴3--1=0,即3a-b-6=0.② ①②聯(lián)立,解得a=3,b=3,∴B′(3,3). 于是AB′的方程為=, 即2x+y-9=0. 解方程組得 即l與AB′的交點(diǎn)坐標(biāo)為P(2,5). (2)如圖乙所示,設(shè)C關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為C′,連接AC′交l于點(diǎn)Q,此時(shí)的Q滿足|QA|+|QC|的值最?。? 圖乙 設(shè)C′的坐標(biāo)為(x′,y′), ∴ 解得∴C′. 由兩點(diǎn)式得直線AC′的方程為=,即19x+17y-93=0. 解方程組得 ∴所求點(diǎn)Q的坐標(biāo)為. 8

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