2018年高中數學 第3章 統(tǒng)計案例 3.2 回歸分析教學案 蘇教版選修2-3.doc

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3.2 回歸分析 1．線性回歸模型 (1)隨機誤差 具有線性相關關系的兩個變量的取值x、y，y的值不能由x完全確定，可將x，y之間的關系表示為y＝a＋bx＋ε，其中a＋bx是確定性函數，ε稱為隨機誤差． (2)隨機誤差產生的主要原因 ①所用的確定性函數不恰當引起的誤差； ②忽略了某些因素的影響； ③存在觀測誤差． (3)線性回歸模型中a，b值的求法 y＝a＋bx＋ε稱為線性回歸模型． a，b的估計值為a ∧，b ∧，則 (4)回歸直線和線性回歸方程 直線y_∧＝a_∧＋b_∧x稱為回歸直線，此直線方程即為線性回歸方程，a ∧稱為回歸截距，b ∧稱為回歸系數，y ∧稱為回歸值． 2．樣本相關系數r及其性質 (1)r＝． (2)r具有以下性質 ①|r|≤1． ②|r|越接近于1，x，y的線性相關程度越強． ③|r|越接近于0，x，y的線性相關程度越弱． 3．對相關系數r進行顯著性檢驗的基本步驟 (1)提出統(tǒng)計假設H0：變量x，y不具有線性相關關系． (2)如果以95%的把握作出判斷，那么可以根據1－0.95＝0.05與n－2在教材附錄2中查出一個r的臨界值r0.05(其中1－0.95＝0.05稱為檢驗水平)． (3)計算樣本相關系數r． (4)作出統(tǒng)計推斷：若|r|>r0.05，則否定H0，表明有95%的把握認為x與y之間具有線性相關關系；若|r|≤r0.05，則沒有理由拒絕原來的假設H0，即就目前數據而言，沒有充分理由認為y與x之間有線性相關關系． 1．在線性回歸方程中，b既表示回歸直線的斜率，又表示自變量x的取值增加一個單位時，函數值y的改變量． 2．通過回歸方程y ∧＝a ∧＋b ∧x可求出相應變量的估計值． 3．判斷變量之間的線性相關關系，一般用散點圖，但在作圖中，由于存在誤差，有時很難判斷這些點是否分布在一條直線的附近，從而就很難判斷兩個變量之間是否具有線性相關關系，此時就必須利用線性相關系數來判斷． 　　[例1]　假設關于某設備的使用年限x(年)和所支出的維修費用y(萬元)有如下的統(tǒng)計資料： x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 　　若由數據可知，y對x呈現(xiàn)線性相關關系． (1)求線性回歸方程； (2)估計使用年限為10年時，維修費用是多少？ [思路點撥]　代入數值求線性回歸方程，然后把x＝10代入，估計維修費用． [精解詳析]　(1)列表如下： i 1 2 3 4 5 xi 2 3 4 5 6 yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 x 4 9 16 25 36 經計算得：x＝4，y＝5，∑5,i＝1x＝90，∑5,i＝1xiyi＝112.3， a ∧＝y(tǒng)－b ∧x＝0.08， 所以線性回歸方程為y ∧＝a ∧＋b ∧x＝0.08＋1.23x. (2)當x＝10時，y ∧＝0.08＋1.2310＝12.38(萬元)， 即若估計使用年限為10年時，維修費用為12.38萬元． [一點通]　線性回歸分析的步驟： (1)列出散點圖，從直觀上分析數據間是否存在線性相關關系； (2)計算x，y，∑n,i＝1x，∑n,i＝1y，∑n,i＝1xiyi； (3)代入公式求出y ∧＝b ∧x＋a ∧中參數b ∧，a ∧的值； (4)寫出線性回歸方程，并對實際問題作出估計． 1． 某研究機構對高三學生的記憶力x和判斷力y進行統(tǒng)計分析，所得數據如下表： x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 則y對x的線性回歸方程為_________________________________________________． 解析：∵＝＝9，＝＝4， 故y對x的線性回歸方程為y ∧＝0.7x－2.3. 答案：y ∧＝0.7x－2.3 2．某班5名學生的數學和物理成績如表： 學生學科 A B C D E 數學成績(x) 88 76 73 66 63 物理成績(y) 78 65 71 64 61 (1)畫出散點圖； (2)求物理成績y對數學成績x的線性回歸方程； (3)一名學生的數學成績是96，試預測他的物理成績． 解：(1)散點圖如圖． (2)∵x＝ (88＋76＋73＋66＋63)＝73.2. y＝(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8. xiyi＝8878＋7665＋7371＋6664＋6361＝25 054. 又x＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174. ∴y對x的線性回歸方程是y ∧＝0.625x＋22.05. (3)當x＝96時，y ∧＝0.62596＋22.05≈82. 可以預測他的物理成績是82. 　　[例2]　現(xiàn)隨機抽取了某中學高一10名在校學生，他們入學時的數學成績(x)與入學后第一次考試的數學成績(y)如下： 學生號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108 y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71 　　請問：這10名學生的兩次數學成績是否具有線性關系？ [思路點撥]　可先計算線性相關系數r的值，然后與r0.05比較，進而對x與y的相關性作出判斷． [精解詳析]　x＝(120＋108＋…＋99＋108)＝107.8，y＝(84＋64＋…＋57＋71)＝68. 所以相關系數為 r＝ ≈0.751. 由檢驗水平0.05及n－2＝8， 在附錄2中查得r0.05＝0.632， 因為0.751>0.632， 由此可看出這10名學生的兩次數學成績具有較強的線性相關關系． [一點通]　利用相關系數r進行判斷相關關系，需要應用公式計算出r的值，由于數據較大，需要借助計算器，但計算時應該特別細心，避免出現(xiàn)計算錯誤． 3．對于回歸分析，有下列敘述： (1)在回歸分析中，變量間的關系若是非確定性關系，則因變量不能自由變量惟一確定． (2)線性相關系數可以是正的或是負的． (3)回歸分析中，如果r2＝1或r＝1，說明x與y之間完全線性相關． (4)樣本相關系數r∈(－∞，＋∞)． 判斷其說法是否正確． 解：由回歸模型及其性質易知(1)，(2)，(3)是正確的．相關系數的取值范圍應為|r|≤1，所以(4)是錯誤的． 4．一臺機器由于使用時間較長，但還可以使用，它按不同的轉速生產出來的某機械零件有一些會有缺點，每小時生產有缺點的零件的多少，隨機器運轉的速度而變化，下表為抽樣試驗的結果： 轉速x(轉/秒) 16 14 12 8 每小時生產有缺點的零件數y(件) 11 9 8 5 對變量y與x進行線性相關性檢驗． 解：由題中數據可得＝12.5，＝8.25，xiyi＝438， 4 ＝412.5，x＝660，y＝291，所以 ＝ ＝≈0.995. 由檢驗水平0.05及n－2＝2在教材附錄表2中查得r0.05＝0.950，因為r>r0.05，所以y與x具有線性相關關系． 對兩個相關變量進行線性回歸分析時，首先判斷兩個變量是否線性相關，可以通過散點圖和相關系數判斷，然后再求線性回歸方程，對問題進行預測，否則求出的回歸方程無意義，預測也無價值． 課下能力提升(十九) 一、填空題 1．下列命題中正確的是________(填所有正確命題的序號)． ①任何兩個變量都具有相關關系； ②圓的周長與圓的半徑具有相關關系； ③某商品的需求量與該商品的價格是一種非確定性關系； ④根據散點圖求得的線性回歸方程可能是沒有意義的； ⑤兩個變量的線性相關關系可以通過線性回歸方程，把非確定性問題轉化為確定性問題進行研究． 解析：顯然①是錯誤的；而②中，圓的周長與圓的半徑的關系為C＝2πR，是一種確定性的函數關系． 答案：③④⑤ 2．已知x，y的取值如下表： x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 從所得的散點圖分析，y與x線性相關，且y ∧＝0.95x＋a ∧，則a ∧＝________． 解析：∵＝2，＝4.5.又回歸直線恒過定點(，)，代入得a ∧＝2.6. 答案：2.6 3．從某大學隨機選取8名女大學生，其身高x(cm)和體重y(kg)的線性回歸方程為y ∧＝0.849x－85.712，則身高172 cm的女大學生，由線性回歸方程可以估計其體重為________． 解析：y ∧＝0.849172－85.712＝60.316. 答案：60.316 kg 4．有下列關系： ①人的年齡與他(她)擁有的財富之間的關系； ②曲線上的點與該點的坐標之間的關系； ③蘋果的產量與氣候之間的關系； ④森林中的同一種樹木，其斷面直徑與高度之間的關系； ⑤學生與其學號之間的關系． 其中有相關關系的是____________．(填序號) 解析：由相關關系定義分析． 答案：①③④ 5．某產品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數據如下表： 廣告費用x(萬元) 4 2 3 5 銷售額y(萬元) 49 26 39 54 根據上表可得線性回歸方程y＝b ∧x＋a ∧中的b ∧為9.4，據此模型預報廣告費用為6萬元時銷售額為________萬元． 解析：樣本中心點是(3.5，42)， 答案：65.5 二、解答題 6．下面是水稻產量與施肥量的一組觀測數據： 施肥量 15 20 25 30 35 40 45 水稻產量 320 330 360 410 460 470 480 (1)將上述數據制成散點圖； (2)你能從散點圖中發(fā)現(xiàn)施肥量與水稻產量近似成什么關系嗎？ 解：(1)散點圖如下： (2)從圖中可以發(fā)現(xiàn)施肥量與水稻產量具有線性相關關系，當施肥量由小到大變化時，水稻產量也由小變大，圖中的數據點大致分布在一條直線的附近，因此施肥量和水稻產量近似成線性正相關關系． 7．在一段時間內，分5次測得某種商品的價格x(萬元)和需求量y(t)之間的一組數據為 1 2 3 4 5 價格x 1.4 1.6 1.8 2 2.2 需求量y 12 10 7 5 3 已知∑5,i＝1xiyi＝62，∑5,i＝1x＝16.6. (1)畫出散點圖； (2)求出y對x的線性回歸方程； (3)如價格定為1.9萬元，預測需求量大約是多少？(精確到0.01 t) 解：(1)散點圖如下圖所示： (2)因為x＝9＝1.8，y＝37＝7.4， 8．為了分析某個高三學生的學習狀態(tài)，對其下一階段的學習提供指導性建議．現(xiàn)對他前7次考試的數學成績x、物理成績y進行分析．下面是該生7次考試的成績： 數學(x) 88 83 117 92 108 100 112 物理(y) 94 91 108 96 104 101 106 (1)他的數學成績與物理成績哪個更穩(wěn)定？請給出你的證明； (2)已知該生的物理成績y與數學成績x是線性相關的，若該生的物理成績達到115分，請你估計他的數學成績大約是多少？并請你根據物理成績與數學成績的相關性，給出該生在學習數學、物理上的合理性建議． 解：(1)∵＝100＋＝100； ＝100＋＝100； ∴σ＝＝142，σ＝， 從而σ>σ，∴物理成績更穩(wěn)定． (2)由于x與y之間具有線性相關關系，因為 xiyi＝70 497，x＝70 994， 所以根據回歸系數公式得到 當y＝115時，x＝130，即該生物理成績達到115分時，他的數學成績大約為130分． 建議：進一步加強對數學的學習，提高數學成績的穩(wěn)定性，將有助于物理成績的進一步提高.