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1、
課時分層作業(yè)(三) 合情推理
(建議用時:40分鐘)
[基礎(chǔ)達標(biāo)練]
一、選擇題
1. 下列推理是歸納推理的是( )
A.A,B為定點,動點P滿足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得P的軌跡為橢圓
B.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出數(shù)列的前n項和Sn的表達式
C.由圓x2+y2=r2的面積πr2,猜出橢圓+=1的面積S=πab
D.科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇
B [由歸納推理的定義知B是歸納推理,故選B.]
2.由代數(shù)式的乘法法則類比得到向量的數(shù)量積的運算法則:
①“mn=nm”類比得到“ab=ba”;
②“(m+n)t=mt+nt
2、”類比得到“(a+b)c=ac+bc”;
③“(mn)t=m(nt)”類比得到“(ab)c=a(bc)”;
④“t≠0,mt=xt?m=x”類比得到“p≠0,ap=xp?a=x”;
⑤“|mn|=|m||n|”類比得到“|ab|=|a||b|”;
⑥“=”類比得到“=”.
其中類比結(jié)論正確的個數(shù)是( )
【導(dǎo)學(xué)號:48662051】
A.1 B.2
C.3 D.4
B [由向量的有關(guān)運算法則知①②正確,③④⑤⑥都不正確,故選B.]
3.在數(shù)列{an}中,a1=0,an+1=2an+2,則猜想an是( )
A.2n-2 B.2n-2
C.2n-2-
3、 D.2n+1-4
A [∵a1=0=21-2,
∴a2=2a1+2=2=22-2,
a3=2a2+2=4+2=6=23-2,
a4=2a3+2=12+2=14=24-2,
……
猜想an=2n-2.故選A.]
4.用火柴棒擺“金魚”,如圖217所示:
圖217
按照上面的規(guī)律,第n個“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為( )
【導(dǎo)學(xué)號:48662052】
A.6n-2 B.8n-2
C.6n+2 D.8n+2
C [歸納“金魚”圖形的構(gòu)成規(guī)律知,后面“金魚”都比它前面的“金魚”多了去掉尾巴后6根火柴組成的魚頭部分,故各“金魚”圖形所用火柴棒的根數(shù)構(gòu)成一首項為8
4、,公差是6的等差數(shù)列,所以第n個“金魚”圖需要的火柴棒的根數(shù)為an=6n+2.]
5.設(shè)△ABC的三邊長分別為a、b、c,△ABC的面積為S,內(nèi)切圓半徑為r,則r=,類比這個結(jié)論可知:四面體SABC的四個面的面積分別為S1、S2、S3、S4,內(nèi)切球半徑為r,四面體SABC的體積為V,則r=( )
A. B.
C. D.
C [設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O,則球心O到四個面的距離都是R,所以四面體的體積等于以O(shè)為頂點,分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和.則四面體的體積為V四面體ABCD=(S1+S2+S3+S4)R,∴R=.]
二、填空題
6.觀察分析下表中的數(shù)據(jù):
多面體
5、
面數(shù)(F)
頂點數(shù)(V)
棱數(shù)(E)
三棱柱
5
6
9
五棱錐
6
6
10
立方體
6
8
12
猜想一般凸多面體中F,V,E所滿足的等式是________.
【導(dǎo)學(xué)號:48662053】
F+V-E=2 [觀察分析、歸納推理.
觀察F,V,E的變化得F+V-E=2.]
7.觀察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
照此規(guī)律,第n個等式為________.
n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2 [觀察所給等式,等式左邊第一個加數(shù)與行數(shù)相同,加數(shù)的個數(shù)為2
6、n-1,故第n行等式左邊的數(shù)依次是n,n+1,n+2,…,(3n-2);每一個等式右邊的數(shù)為等式左邊加數(shù)個數(shù)的平方,從而第n個等式為n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.]
8.已知{bn}為等比數(shù)列,b5=2,則b1b2b3…b9=29.若{an}為等差數(shù)列,a5=2,則{an}的類似結(jié)論為________.
a1+a2+a3+…+a9=29 [結(jié)合等差數(shù)列的特點,類比等比數(shù)列中b1b2b3…b9=29可得,在{an}中,若a5=2,則有a1+a2+a3+…+a9=29.]
三、解答題
9.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=-且Sn++2=an(n≥2)
7、,計算S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表達式.
【導(dǎo)學(xué)號:48662054】
[解] 先化簡遞推關(guān)系:n≥2時,an=Sn-Sn-1,
∴Sn++2=Sn-Sn-1,
∴+Sn-1+2=0.
當(dāng)n=1時,S1=a1=-.
當(dāng)n=2時,=-2-S1=-,∴S2=-.
當(dāng)n=3時,=-2-S2=-,∴S3=-.
當(dāng)n=4時,=-2-S3=-,∴S4=-.
猜想:Sn=-,n∈N+.
10.如圖218所示,在長方形ABCD中,對角線AC與兩鄰邊所成的角分別為α、β,則cos2α+cos2β=1,則在立體幾何中,給出類比猜想.
圖218
[解] 在長方形ABCD中,c
8、os2α+cos2β=+===1.
于是類比到長方體中,猜想其體對角線與共頂點的三條棱所成的角分別為α、β、γ,
則cos2α+cos2β+cos2γ=1.
證明如下:cos2α+cos2β+cos2γ=++===1.
[能力提升練]
1.類比平面內(nèi)“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的性質(zhì),可推出下列空間結(jié)論:
①垂直于同一條直線的兩條直線互相平行;②垂直于同一個平面的兩條直線互相平行;③垂直于同一條直線的兩個平面互相平行;④垂直于同一平面的兩個平面互相平行,則其中正確的結(jié)論是( )
【導(dǎo)學(xué)號:48662055】
A.①② B.②③
C.③④ D.①④
9、
B [根據(jù)立體幾何中線面之間的位置關(guān)系及有關(guān)定理知,②③是正確的結(jié)論.]
2.觀察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cos x)′=-sin x,由歸納推理可得:若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=f(x),記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則g(-x)等于( )
A.f(x) B.-f(x)
C.g(x) D.-g(x)
D [由所給函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)知,偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù).因此當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時,其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù),故g(-x)=-g(x).]
3.可以運用下面的原理解決一些相關(guān)圖形(如圖219)的面積問題:如果與一固定直線平行的直線被甲、乙兩個封閉的圖形所截得
10、的線段的比都為k,那么甲的面積是乙的面積的k倍.你可以從給出的簡單圖形①、②中體會這個原理.現(xiàn)在圖③中的兩個曲線的方程分別是+=1(a>b>0)與x2+y2=a2,運用上面的原理,圖③中橢圓的面積為________.
圖219
πab [由于橢圓與圓截y軸所得線段之比為,即k=,∴橢圓面積S=πa2=πab.]
4.將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣:
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
……
按照以上排列的規(guī)律,第n行(n≥3)從左向右的第3個數(shù)為________.
【導(dǎo)學(xué)號:48662056】
[前n-1行共有正整數(shù)1+2+…
11、+(n-1)個,即個,因此第n行第3個數(shù)是全體正整數(shù)中第+3個,即為.]
5.某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史,如圖2110(1)、(2)、(3)、(4)為她們刺繡最簡單的四個圖案,這些圖案都由小正方形構(gòu)成,小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮,現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同),設(shè)第n個圖形包含f(n)個小正方形.
圖2110
(1)求出f(5);
(2)利用合情推理的“歸納推理思想”歸納出f(n+1)與f(n)的關(guān)系式,并根據(jù)你得到的關(guān)系式求f(n)的表達式.
[解] (1)∵f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25,
∴f(5)=25+44=41.
(2)
12、∵f(2)-f(1)=4=41,
f(3)-f(2)=8=42,
f(4)-f(3)=12=43,
f(5)-f(4)=16=44,
由上式規(guī)律得出f(n+1)-f(n)=4n.
∴f(2)-f(1)=41,
f(3)-f(2)=42,
f(4)-f(3)=43,
…
f(n-1)-f(n-2)=4(n-2),
f(n)-f(n-1)=4(n-1).
∴f(n)-f(1)=4[1+2+…+(n-2)+(n-1)]=2(n-1)n,
∴f(n)=2n2-2n+1.
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375