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專題突破練(7) 概率與其他知識的交匯
一、選擇題
1.(2018太原五中測試)在區(qū)間[1,5]上隨機地取一個數m,則方程4x2+m2y2=1表示焦點在y軸上的橢圓的概率是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由方程4x2+m2y2=1,即+=1表示焦點在y軸上的橢圓,得<,即m2<4,而1≤m≤5,則1≤m<2,則所求概率為=.故選B.
2.(2018湖南六校聯考)折紙已經成為開發(fā)少年兒童智力的一種重要工具和手段,已知在折疊“愛心”活動中,會產生如圖所示的幾何圖形,其中四邊形ABCD為正方形,G為線段BC的中點,四邊形AEFG與四邊形DGHI也是正方形,連接EB,CI,則向多邊形AEFGHID中投擲一點,則該點落在陰影部分的概率為( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 設AB=2,則BG=1,AG=,故多邊形AEFGHID的面積S=()22+22=12,由sin∠EAB=cos∠GAB==,所以S陰影部分=AEABsin∠EAB=2,故所求概率P==.故選C.
3.(2018黑龍江虎林一中期末)若隨機變量X~N(μ,σ2)(σ>0),則有如下結論:
P(μ-σ
130)=(1-0.6826)=0.1587,所以成績在130分以上人數約為400.1587≈6.故選C.
4.(2018廣東三校聯考)已知函數f(x)=x3+ax2+b2x+1,若a是從1,2,3三個數中任取一個數,b是從0,1,2三個數中任取一個數,則該函數有兩個極值點的概率為( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 將a記為橫坐標,b記為縱坐標,可知有(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),共9個基本事件,而函數有兩個極值點的條件為其導函數有兩個不相等的實根.因為f′(x)=x2+2ax+b2,滿足題中條件為Δ=4a2-4b2>0,即a>b,所以滿足條件的有(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),共6個基本事件,所以所求的概率為P==.故選D.
5.(2018湖北部分重點中學聯考二)已知實數a,b是利用計算機產生的0~1之間的均勻隨機數,設事件A為“(a-1)2+b2>”,則事件A發(fā)生的概率為( )
A. B.1- C. D.1-
答案 B
解析 分別以a,b為橫軸和縱軸建立平面直角坐標系,則符合題意的實數對(a,b)表示的平面區(qū)域為邊長為1的正方形及其內部,其中使得事件A不發(fā)生的實數對(a,b)表示的平面區(qū)域為以(1,0)為圓心,半徑為的四分之一個圓及其內部,則事件A發(fā)生的概率為=1-.故選B.
6.(2018山東青島統測)矩形OABC內的陰影部分由曲線f(x)=sinx(x∈(0,π))及直線x=a(a∈(0,π))與x軸圍成,向矩形OABC內隨機投擲一點,若落在陰影部分的概率為,則a的值為( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 根據題意,陰影部分的面積為sinxdx=1-cosa,矩形的面積為a=8,故由幾何概型的概率公式可得=,解得cosa=-,所以a=.故選A.
7.(2018山西考前適應訓練)甲、乙二人約定7:10在某處會面,甲在7:00~7:20內某一時刻隨機到達,乙在7:05~7:20內某一時刻隨機到達,則甲至少需等待乙5分鐘的概率是( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 設甲、乙到達約會地點的時刻分別是x,y,則取值范圍為對應區(qū)域是以20和15為邊長的長方形,其中甲至少需等待乙5分鐘滿足y-x≥5,對應區(qū)域是以15為直角邊的等腰直角三角形(如圖中陰影部分(含邊界)所示),則所求概率為=.故選C.
二、填空題
8.(2019成都模擬)甲、乙兩人在5次綜合測評中成績的莖葉圖如圖所示,其中一個數字被污損,記甲、乙的平均成績分別為甲,乙,則甲>乙的概率是________.
答案
解析 乙的綜合測評成績?yōu)?6,87,91,92,94,乙==90,污損處可取數字0,1,2,…,9,共10種,而甲>乙發(fā)生對應的數字有6,7,8,9,共4種,故甲>乙的概率為=.
9.(2018安徽聯考)將一顆骰子投擲兩次,第一次出現的點數記為a,第二次出現的點數記為b,設任意投擲兩次使l1:x+ay=3,l2:bx+6y=3平行的概率為P1,不平行的概率為P2,若點(P1,P2)在圓(x-m)2+y2=的內部,則實數m的取值范圍是________.
答案?。?m<
解析 由l1∥l2得ab=6且a≠6,b≠1,滿足條件的(a,b)為(1,6),(2,3),(3,2),而所有的(a,b)有66=36種,∴P1=,P2=,∴2+2<,解得-10000)=0.5+0.2=0.7,
由二項分布,3天中至少有1天最大獲利超過10000元的概率為p=1-(1-p1)3=1-0.33=0.973.
13.(2018河南八市聯考一)我們國家正處于老齡化社會中,老有所依也是政府的民生工程.某市共有戶籍人口400萬,其中老人(年齡60歲及以上)人數約有66萬,為了了解老人們的健康狀況,政府從老人中隨機抽取600人并委托醫(yī)療機構免費為他們進行健康評估,健康狀況共分為不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四個等級,并以80歲為界限分成兩個群體進行統計,樣本頻數分布被制作成如下圖表:
(1)若采用分層抽樣的方法從樣本中的不能自理的老人中抽取8人進一步了解他們的生活狀況,則兩個群體中各應抽取多少人?
(2)估算該市80歲及以上老人占全市戶籍人口的百分比;
(3)據統計該市大約有五分之一的戶籍老人無固定收入,政府計劃為這部分老人每月發(fā)放生活補貼,標準如下:
①80歲及以上老人每人每月發(fā)放生活補貼200元;
②80歲以下老人每人每月發(fā)放生活補貼120元;
③不能自理的老人每人每月額外發(fā)放生活補貼100元.
利用樣本估計總體,試估計政府執(zhí)行此計劃的年度預算.(單位:億元,結果保留兩位小數)
解 (1)數據整理如下表:
健康狀況
健康
基本健康
不健康尚能自理
不能自理
80歲及以上
20
45
20
15
80歲以下
200
225
50
25
從圖表中知采用分層抽樣的方法從樣本中的不能自理的老人中抽取8人進一步了解他們的生活狀況,80歲及以上應抽取8=3(人),80歲以下應抽取8=5(人).
(2)在600人中80歲及以上老人在老人中占比為=,
用樣本估計總體,80歲及以上長者為66=11(萬人),
80歲及以上老人占全市戶籍人口的百分比為100%=2.75%.
(3)解法一:用樣本估計總體,設任一戶籍老人每月享受的生活補助為X元,
P(X=0)=,
P(X=120)==,
P(X=200)==,
P(X=220)==,
P(X=300)==,
則隨機變量X的分布列為
X
0
120
200
220
300
P
E(X)==28,
全市老人的總預算為281266104=2.2176108元.
故政府執(zhí)行此計劃的年度預算約為2.22億元.
解法二:在無固定收入的戶籍老人中,
80歲及以上老人有66=(萬),
80歲以下老人有66=11(萬),
不能自理老人有66=(萬).
所以全市老人總預算為:
200+11120+10010412=2.2176108元.
故政府執(zhí)行此計劃的年度預算約為2.22億元.
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