（京津?qū)Ｓ茫?019高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 優(yōu)編增分練：中檔大題規(guī)范練（四）立體幾何 文.doc

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(四)立體幾何 1．(2018峨眉山市第七教育發(fā)展聯(lián)盟模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PB⊥PA，PB＝PA，∠DAB＝∠ABC＝90，AD∥BC，AB＝8，BC＝6，CD＝10，M是PA的中點(diǎn)． (1)求證：BM∥平面PCD； (2)求三棱錐B－CDM的體積． (1)證明　取PD中點(diǎn)N，連接MN，NC， ∵M(jìn)N為△PAD的中位線， ∴MN∥AD，且MN＝AD. 又∵BC∥AD，且BC＝AD， ∴MN∥BC，且MN＝BC，則BMNC為平行四邊形， ∴BM∥NC， 又∵NC?平面PCD，MB?平面PCD， ∴BM∥平面PCD. (2)解　過M作AB的垂線，垂足為M′， 又∵平面PAB⊥平面ABCD， 平面PAB∩平面ABCD＝AB，MM′?平面PAB， ∴MM′⊥平面ABCD. ∴MM′為三棱錐M－BCD 的高， ∵AB＝8，PA＝PB，∠BPA＝90， ∴△PAB邊AB上的高為4， ∴MM′＝2，過C作CH⊥AD交AD于點(diǎn)H， 則CH＝AB＝8， S△BCD＝BCCH＝68＝24， ∴VB－CDM＝VM－BCD＝S△BCDMM′＝242＝16. 2.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，點(diǎn)E在棱PC上(異于點(diǎn)P，C)，平面ABE與棱PD交于點(diǎn)F. (1)求證：AB∥EF； (2)若AF⊥EF，求證：平面PAD⊥平面ABCD. 證明　(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形， 所以AB∥CD. 又AB?平面PDC，CD?平面PDC， 所以AB∥平面PDC， 又因?yàn)锳B?平面ABE，平面ABE∩平面PDC＝EF， 所以AB∥EF. (2)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形， 所以AB⊥AD. 因?yàn)锳F⊥EF，(1)中已證AB∥EF， 所以AB⊥AF. 由點(diǎn)E在棱PC上(異于點(diǎn)C)，所以點(diǎn)F異于點(diǎn)D， 所以AF∩AD＝A，AF，AD?平面PAD， 所以AB⊥平面PAD， 又AB?平面ABCD， 所以平面PAD⊥平面ABCD. 3．(2018安徽省合肥市第一中學(xué)模擬)在如圖所示的幾何體ACBFE中，AB＝BC，AE＝EC，D為AC的中點(diǎn)，EF∥DB. (1)求證：AC⊥FB； (2)若AB⊥BC，AB＝4，AE＝3，BF＝，BD＝2EF，求該幾何體的體積． (1)證明　∵EF∥BD， ∴EF與BD確定平面EFBD，連接DE， ∵AE＝EC，D為AC的中點(diǎn)， ∴DE⊥AC.同理可得BD⊥AC， 又∵BD∩DE＝D，BD，DE?平面EFBD， ∴AC⊥平面EFBD， ∵FB?平面EFBD，∴AC⊥FB. (2)解　由(1)可知AC⊥平面BDEF， ∴VACBFE＝VA－BDEF＋VC－BDEF＝SBDEFAC， ∵AB＝BC，AB⊥BC，AB＝4， ∴AC＝4，BD＝2， 又AE＝3，∴DE＝＝1. 在梯形BDEF中，取BD的中點(diǎn)M，連接MF， 則EF∥DM且EF＝DM， ∴四邊形FMDE為平行四邊形， ∴FM∥DE且FM＝DE.又BF＝， ∴BF2＝FM2＋BM2， ∴FM⊥BM，S梯形BDEF＝1＝， ∴VACBFE＝4＝4. 4.在如圖所示的幾何體中，EA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為等腰梯形，AD∥BC，AD＝BC，AD＝1，∠ABC＝60，EF∥AC，EF＝AC. (1)證明：AB⊥CF； (2)若多面體ABCDFE的體積為，求線段CF的長． (1)證明　∵EA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD， ∴EA⊥AB， 作AH⊥BC于點(diǎn)H， 在Rt△ABH中，∠ABH＝60，BH＝，得AB＝1， 在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2ABBCcos 60＝3， ∴AB2＋AC2＝BC2， ∴AB⊥AC. 又AC∩EA＝A，AC，EA?平面ACFE， ∴AB⊥平面ACFE， 又∵CF?平面ACFE，∴AB⊥CF. (2)解　設(shè)AE＝a，作DG⊥AC于點(diǎn)G， 由題意可知平面ACFE⊥平面ABCD， 又平面ACFE∩平面ABCD＝AC，DG?平面ABCD， ∴DG⊥平面ACFE，且DG＝， 又VB－ACFE＝S梯形ACFEAB ＝a1＝a， VD－ACFE＝S梯形ACFEDG ＝a＝a， ∴V多面體ABCDFE＝VB－ACFE＋VD－ACFE ＝a＝， 得a＝1.連接FG，則FG⊥AC， ∴CF＝＝＝. 5．如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點(diǎn)，M是棱PC上的點(diǎn)，PA＝PD，BC＝AD. (1)求證：平面PQB⊥平面PAD； (2)若三棱錐A—BMQ的體積是四棱錐P—ABCD體積的，設(shè)PM＝tMC，試確定t的值． (1)證明　∵AD∥BC，BC＝AD，Q為AD的中點(diǎn)， ∴QD∥BC且QD＝BC， ∴四邊形BCDQ為平行四邊形， ∴CD∥BQ. ∵∠ADC＝90，∴∠AQB＝90，即QB⊥AD. 又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，BQ?平面ABCD， ∴BQ⊥平面PAD， ∵BQ?平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD. (2)解　∵PA＝PD，Q為AD的中點(diǎn)， ∴PQ⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD， 且平面PAD∩平面ABCD＝AD，PQ?平面PAD， ∴PQ⊥平面ABCD. 設(shè)PQ＝h，梯形ABCD的面積為S，則三角形ABQ的面積為S， VP—ABCD＝Sh. 又設(shè)M到平面ABCD的距離為h′， 則VA—BQM＝VM—ABQ＝Sh′， 根據(jù)題意Sh′＝Sh， ∴h′＝h，故＝＝， ∴M為PC的中點(diǎn)， ∴t＝1. 6．(2018四川省成都市第七中學(xué)診斷)在多面體ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四邊形ADEF是正方形，AB∥DC，CD⊥AD，平面ABCD⊥平面ADEF，AB＝AD＝1，CD＝2. (1)求證：平面EBC⊥平面EBD； (2)設(shè)M為線段EC上一點(diǎn)，3＝，試問在線段BC上是否存在一點(diǎn)T，使得MT∥平面BDE？若存在，試指出點(diǎn)T的位置；若不存在，說明理由； (3)在(2)的條件下，求點(diǎn)A到平面MBC的距離． (1)證明　因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ADEF， 平面ABCD∩平面ADEF＝AD， ED⊥AD，ED?平面ADEF， ∴ED⊥平面ABCD， 又BC?平面ABCD， ∴ED⊥BC. 過B作BH⊥CD交CD于點(diǎn)H. 故四邊形ABHD是正方形， 所以∠ADB＝45. 在△BCH中，BH＝CH＝1， ∴∠BCH＝45，BC＝， 又∠BDC＝45，∴∠DBC＝90，∴BC⊥BD. ∵BD∩ED＝D，BD，ED?平面EBD， ∴BC⊥平面EBD，BC?平面EBC， ∴平面EBC⊥平面EBD. (2)解　在線段BC上存在點(diǎn)T，使得MT∥平面BDE. 在線段BC上取點(diǎn)T，使得3＝，連接MT. 在△EBC中，∵＝＝， ∴△CMT∽△CEB，所以MT∥EB， 又MT?平面BDE，EB?平面BDE， ∴MT∥平面BDE. (3)解　點(diǎn)A到平面MBC的距離就是點(diǎn)A到平面EBC的距離， 設(shè)點(diǎn)A到平面EBC的距離為h， 由(1)得BC⊥EB，BE＝，BC＝， 利用等積法，可得VA－EBC＝VE－ABC， 即h＝11sin 135， 解得h＝.