2018-2019學年高中數(shù)學 第一章 統(tǒng)計案例 1.1 獨立性檢驗同步學案 新人教B版選修1 -2.docx

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1.1　獨立性檢驗 學習目標　1.理解22列聯(lián)表的意義，會依據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)判斷兩個變量是否獨立.2.掌握統(tǒng)計量χ2的意義和獨立性檢驗的基本思想． 知識點一　22列聯(lián)表和統(tǒng)計量χ2 1．22列聯(lián)表 一般地，對于兩個研究對象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有兩類取值類A和類B，Ⅱ也有兩類取值類1和類2，得到如下列聯(lián)表所示的抽樣數(shù)據(jù)： Ⅱ 類1 類2 合計 Ⅰ 類A n11 n12 n1＋ 類B n21 n22 n2＋ 合計 n＋1 n＋2 n 上述表格稱為22列聯(lián)表． 2．統(tǒng)計量χ2 χ2＝，其中n＝n11＋n12＋n21＋n22. 知識點二　獨立性檢驗 獨立性檢驗 要推斷“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”，可按下面的步驟進行： (1)作22列聯(lián)表； (2)根據(jù)22列聯(lián)表計算χ2的值； (3)查對臨界值，作出判斷． 1．事件A與B的獨立性檢驗無關(guān)，即兩個事件互不影響．(　　) 2．χ2的大小是判斷事件A與B是否相關(guān)的統(tǒng)計量．(　√　) 3．列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)是兩個分類變量的頻數(shù)．(　√　) 類型一　22列聯(lián)表和χ2統(tǒng)計量 例1　為了解人們對于國家新頒布的“生育二孩放開”政策的熱度，現(xiàn)在某市進行調(diào)查，隨機抽調(diào)了50人，他們年齡的頻數(shù)分布及支持“生育二孩放開”人數(shù)如下表： 年齡 [5,15) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) 頻數(shù) 5 10 12 10 5 8 支持“生育二孩放開” 4 5 9 8 2 4 由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填下面22列聯(lián)表： 年齡不低于45歲的人數(shù) 年齡低于45歲的人數(shù) 合計 支持 a＝ c＝ 不支持 b＝ d＝ 合計 考點　分類變量與列聯(lián)表 題點　求列聯(lián)表中的數(shù)據(jù) 解　22列聯(lián)表如下： 年齡不低于45歲的人數(shù) 年齡低于45歲的人數(shù) 合計 支持 a＝6 c＝26 32 不支持 b＝7 d＝11 18 合計 13 37 50 反思與感悟　準確理解給定信息，找準分類變量，然后依次填入相應(yīng)空格內(nèi)數(shù)據(jù)． 跟蹤訓練1　某校高二年級共有1 600名學生，其中男生960名，女生640名，該校組織了一次滿分為100分的數(shù)學學業(yè)水平模擬考試．根據(jù)研究，在正式的學業(yè)水平考試中，本次成績在[80,100)的學生可取得A等(優(yōu)秀)，在[60,80)的學生可取得B等(良好)，在[40,60)的學生可取得C等(合格)，不到40分的學生只能取得D等(不合格)．為研究這次考試成績優(yōu)秀是否與性別有關(guān)，現(xiàn)按性別采用分層抽樣的方法抽取100名學生，將他們的成績按從低到高分成[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)，七組加以統(tǒng)計，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖． (1)估計該校高二年級學生在正式的數(shù)學學業(yè)水平考試中成績不合格的人數(shù)； (2)請你根據(jù)已知條件將下列22列聯(lián)表補充完整. 數(shù)學成績優(yōu)秀 數(shù)學成績不優(yōu)秀 合計 男生 a＝12 b＝ 女生 c＝ d＝34 合計 n＝100 考點　分類變量與列聯(lián)表 題點　求列聯(lián)表中的數(shù)據(jù) 解　(1)設(shè)抽取的100名學生中，本次考試成績不合格的有x人，根據(jù)題意得x＝100[1－10(0.006＋0.0122＋0.018＋0.024＋0.026)]＝2. 據(jù)此估計該校高二年級學生在正式的數(shù)學學業(yè)水平考試中成績不合格的人數(shù)為1 600＝32. (2)根據(jù)已知條件得22列聯(lián)表如下： 數(shù)學成績優(yōu)秀 數(shù)學成績不優(yōu)秀 合計 男生 a＝12 b＝48 60 女生 c＝6 d＝34 40 合計 18 82 100 例2　根據(jù)下表計算： 不看電視 看電視 男 37 85 女 35 143 則χ2≈________.(保留3位小數(shù)) 考點　定性分析的兩類方法 題點　利用列聯(lián)表定性分析 答案　4.514 解析　χ2＝≈4.514. 反思與感悟　列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)信息與χ2統(tǒng)計量之間的關(guān)系要對應(yīng)，其次，需對“卡方”公式的結(jié)構(gòu)有清醒的認識． 跟蹤訓練2　已知列聯(lián)表： 藥物效果與動物試驗列聯(lián)表 患病 未患病 合計 服用藥 10 45 55 未服藥 20 30 50 合計 30 75 105 則χ2≈________.(結(jié)果保留3位小數(shù)) 考點　定性分析的兩類方法 題點　利用列聯(lián)表定性分析 答案　6.109 解析　χ2＝≈6.109. 類型二　獨立性檢驗 例3　某班主任對班級50名學生進行了作業(yè)量多少的調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表：在喜歡玩電腦游戲的26人中，有20人認為作業(yè)多，6人認為作業(yè)不多；在不喜歡玩電腦游戲的24人中，有7人認為作業(yè)多，17人認為作業(yè)不多． (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個22列聯(lián)表； (2)試問喜歡玩電腦游戲與認為作業(yè)多少是否有關(guān)系？ 考點　獨立性檢驗及其基本思想 題點　獨立性檢驗的思想 解　(1)根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)，得到如下列聯(lián)表： 認為作業(yè)多 認為作業(yè)不多 合計 喜歡玩電腦游戲 20 6 26 不喜歡玩電腦游戲 7 17 24 合計 27 23 50 (2)由公式得χ2＝≈11.458. ∵11.458>6.635， ∴有99%的把握認為喜歡玩電腦游戲與認為作業(yè)多少有關(guān)． 反思與感悟　獨立性檢驗可以通過22列聯(lián)表計算χ2的值，然后和臨界值對照作出判斷． 跟蹤訓練3　調(diào)查在2～3級風的海上航行中男女乘客的暈船情況，結(jié)果如下表所示： 暈船 不暈船 合計 男人 12 25 37 女人 10 24 34 合計 22 49 71 根據(jù)此資料，你是否認為在2～3級風的海上航行中男人比女人更容易暈船？ 考點　獨立性檢驗及其基本思想 題點　獨立性檢驗的思想 解　由公式得χ2＝≈0.08. 因為χ2<3.841，所以我們沒有理由認為男人比女人更容易暈船. 1．下面是一個22列聯(lián)表： y1 y2 合計 x1 a 21 73 x2 7 20 27 合計 b 41 則表中a，b處的值分別為(　　) A．94,96 B．52,50 C．52,59 D．59,52 考點　分類變量與列聯(lián)表 題點　求列聯(lián)表中的數(shù)據(jù) 答案　C 解析　∵a＋21＝73，∴a＝52，b＝a＋7＝52＋7＝59. 2．某科研機構(gòu)為了研究中年人禿發(fā)與患心臟病是否有關(guān)，隨機調(diào)查了一些中年人的情況，具體數(shù)據(jù)如表： 心臟病 無心臟病 合計 禿發(fā) 20 300 320 不禿發(fā) 10 445 455 合計 30 745 775 根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到χ2＝≈8.290，因為χ2>6.635，則斷定禿發(fā)與患心臟病有關(guān)系，那么這種判斷出錯的可能性為(　　) A．0.1 B．0.05 C．0.025 D．0.01 考點　獨立性檢驗及其基本思想 題點　獨立性檢驗的方法 答案　D 解析　因為χ2>6.635，所以有99%的把握說禿發(fā)與患心臟病有關(guān)，故這種判斷出錯的可能性為1－0.99＝0.01. 3．若在研究吸煙與患肺癌的關(guān)系中，通過收集、整理分析數(shù)據(jù)得“吸煙與患肺癌有關(guān)”的結(jié)論，并且有99%以上的把握認為這個結(jié)論是成立的，則下列說法中正確的是(　　) A．100個吸煙者中至少有99人患有肺癌 B．1個人吸煙，那么這個人有99%的概率患有肺癌 C．在100個吸煙者中一定有患肺癌的人 D．在100個吸煙者中可能一個患肺癌的人也沒有 考點　獨立性檢驗及其基本思想 題點　獨立性檢驗的方法 答案　D 解析　獨立性檢驗的結(jié)論是一個統(tǒng)計量，統(tǒng)計的結(jié)果只是說明事件發(fā)生的可能性的大小，具體到一個個體，則不一定發(fā)生． 4．某大學在研究性別與職稱(分正教授、副教授)之間是否有關(guān)系，你認為應(yīng)該收集的數(shù)據(jù)包括________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________. 考點　獨立性檢驗及其基本思想 題點　獨立性檢驗的方法 答案　女正教授人數(shù)、男正教授人數(shù)、女副教授人數(shù)、男副教授人數(shù) 5．高中流行這樣一句話“文科就怕數(shù)學不好，理科就怕英語不好”．下表是一次針對高三文科學生的調(diào)查所得的數(shù)據(jù). 總成績好 總成績不好 合計 數(shù)學成績好 478 a 490 數(shù)學成績不好 399 24 423 合計 b c 913 (1)計算a，b，c的值； (2)文科學生總成績不好與數(shù)學成績不好有關(guān)系嗎？ 考點　獨立性檢驗及其基本思想 題點　獨立性檢驗的方法 解　(1)由478＋a＝490，得a＝12. 由a＋24＝c，得c＝12＋24＝36. 由b＋c＝913，得b＝913－36＝877. (2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)計算得 χ2＝≈6.233>3.841， 所以有95%的把握認為文科學生總成績不好與數(shù)學成績不好有關(guān)系． 1．利用χ2＝求出χ2的值，再利用臨界值的大小來判斷假設(shè)是否成立． 2．解題時應(yīng)注意準確代數(shù)與計算，不可錯用公式，準確進行比較與判斷. 一、選擇題 1．在22列聯(lián)表中，四個變量的取值n11，n12，n21，n22應(yīng)是(　　) A．任意實數(shù) B．正整數(shù) C．大于5的整數(shù) D．非負整數(shù) 考點　分類變量與列聯(lián)表 題點　求列聯(lián)表中的數(shù)據(jù) 答案　C 2．如果有99%的把握認為“x與y有關(guān)系”，那么χ2滿足(　　) A．χ2>6.635 B．χ2≥5.024 C．χ2≥7.879 D．χ2>3.841 考點　獨立性檢驗思想的應(yīng)用 題點　獨立性檢驗在分類變量中的應(yīng)用 答案　A 3．在吸煙與患肺病這兩個分類變量的計算中，下列說法正確的是(　　) A．若χ2>6.635，我們有99%的把握認為吸煙與患肺病有關(guān)系，那么在100個吸煙的人中必有99人患有肺病 B．從獨立性檢驗可知，有99%的把握認為吸煙與患肺病有關(guān)系時，我們說某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺病 C．若從χ2統(tǒng)計量中得出有95%的把握認為吸煙與患肺病有關(guān)系，是指有5%的可能性使得推斷出現(xiàn)錯誤 D．以上三種說法都不正確 考點　獨立性檢驗及其基本思想 題點　獨立性檢驗的思想 答案　C 4．根據(jù)下面的列聯(lián)表得到如下四個判斷： ①有95%的把握認為“患肝病與嗜酒有關(guān)”；②有99%的把握認為“患肝病與嗜酒有關(guān)”；③在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“患肝病與嗜酒有關(guān)”；④在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“患肝病與嗜酒無關(guān)”. 嗜酒 不嗜酒 合計 患肝病 700 60 760 未患肝病 200 32 232 合計 900 92 992 其中正確命題的個數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 考點　分類變量與列聯(lián)表 題點　求觀測值 答案　C 解析　由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)可求得 χ2＝≈7.349>6.635，所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為“患肝病與嗜酒有關(guān)系”，即有99%的把握認為“患肝病與嗜酒有關(guān)系”．因此②③正確，故選C. 5．在22列聯(lián)表中，兩個分類變量有關(guān)系的可能性越大，相差越大的兩個比值為(　　) A.與 B.與 C.與 D.與 考點　分類變量與列聯(lián)表 題點　求列聯(lián)表中的數(shù)據(jù) 答案　A 解析　以表格為例， B 合計 A n11 n12 n1＋ n21 n22 n2＋ 合計 n＋1 n＋2 n 事件B發(fā)生與A相關(guān)性越強，則兩個頻率與相差越大． 6．高二第二學期期中考試，按照甲、乙兩個班學生的數(shù)學成績優(yōu)秀和及格統(tǒng)計人數(shù)后，得到如下列聯(lián)表： 優(yōu)秀 及格 合計 甲班 11 34 45 乙班 8 37 45 合計 19 71 90 則統(tǒng)計量χ2約為(　　) A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004 考點　分類變量與列聯(lián)表 題點　求觀測值 答案　A 解析　根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)， 可得χ2＝≈0.600.故選A. 二、填空題 7．在研究性別與吃零食這兩個分類變量是否有關(guān)系時，下列說法中正確的是________．(填序號) ①若統(tǒng)計量χ2＝6.635，則我們在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為吃零食與性別有關(guān)系，那么在100個吃零食的人中必有99人是女性； ②由獨立性檢驗可知在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為吃零食與性別有關(guān)系時，如果某人吃零食，那么此人是女性的可能性為99%； ③由獨立性檢驗可知在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為吃零食與性別有關(guān)系時，是指每進行100次這樣的推斷，平均有1次推斷錯誤． 考點　獨立性檢驗及其基本思想 題點　獨立性檢驗的方法 答案?、? 解析　統(tǒng)計量χ2是支持確定有多大的把握認為“兩個分類變量吃零食與性別有關(guān)系”的隨機變量值，所以由獨立性檢驗可知在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為吃零食與性別有關(guān)系時，是指每進行100次這樣的推斷，平均有1次推斷錯誤，故填③. 8．為研究某新藥的療效，給100名患者服用此藥，跟蹤調(diào)查后得下表中的數(shù)據(jù)： 無效 有效 合計 男性患者 15 35 50 女性患者 6 44 50 合計 21 79 100 設(shè)H0：服用此藥的效果與患者的性別無關(guān)，則統(tǒng)計量χ2≈________(小數(shù)點后保留3位有效數(shù)字)，從而得出結(jié)論：服用此藥的效果與患者的性別有關(guān)，這種判斷出錯的可能性為________． 考點　獨立性檢驗及其基本思想 題點　獨立性檢驗的方法 答案　4.882　5% 解析　由公式計算得統(tǒng)計量χ2≈4.882， ∵χ2>3.841，∴我們有95%的把握認為服用此藥的效果與患者的性別有關(guān)，從而有5%的可能性判斷出錯． 9．某一電視臺對年齡高于40歲和不高于40歲的人是否喜歡西班牙隊進行調(diào)查，對高于40歲的調(diào)查了50人，不高于40歲的調(diào)查了50人，所得數(shù)據(jù)制成如下列聯(lián)表： 不喜歡西班牙隊 喜歡西班牙隊 合計 高于40歲 p q 50 不高于40歲 15 35 50 合計 a b 100 若工作人員從所有統(tǒng)計結(jié)果中任取一個，取到喜歡西班牙隊的人的概率為，則有________的把握認為年齡與西班牙隊的被喜歡程度有關(guān)． 考點　獨立性檢驗及其基本思想 題點　獨立性檢驗的方法 答案　95% 解析　設(shè)“從所有人中任意抽取一個，取到喜歡西班牙的人”為事件A， 由已知得P(A)＝＝， 所以p＝25，q＝25，a＝40，b＝60. χ2＝＝≈4.167>3.841. 故有95%的把握認為年齡與西班牙隊的被喜歡程度有關(guān)． 10．某高?！敖y(tǒng)計初步”課程的教師隨機調(diào)查了一些學生，具體數(shù)據(jù)如下表所示，為了判斷選修統(tǒng)計專業(yè)是否與性別有關(guān)系，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到χ2＝≈4.844，因為4.844>3.841.所以選修統(tǒng)計專業(yè)與性別有關(guān)系，那么這種判斷出錯的可能性為________. 沒選統(tǒng)計專業(yè) 選統(tǒng)計專業(yè) 男 13 10 女 7 20 考點　獨立性檢驗及其基本思想 題點　獨立性檢驗的方法 答案　5% 三、解答題 11．在對人們的休閑方式的一次調(diào)查中，共調(diào)查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休閑方式是看電視，另外27人主要的休閑方式是運動；男性中有21人主要的休閑方式是看電視，另外33人主要的休閑方式是運動． (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個22列聯(lián)表； (2)判斷性別與休閑方式是否有關(guān)系． 考點　定性分析的兩類方法 題點　利用列聯(lián)表定性分析 解　(1)列聯(lián)表如下： 休閑方式 性別 看電視 運動 合計 女 43 27 70 男 21 33 54 合計 64 60 124 (2)χ2＝≈6.201， ∵χ2>3.841， ∴有95%的把握認為性別與休閑方式有關(guān)． 四、探究與拓展 12．為了探究電離輻射的劑量與人體的受損程度是否有關(guān)，用兩種不同劑量的電離輻射照射小白鼠．在照射14天內(nèi)的結(jié)果如表所示： 死亡 存活 合計 第一種劑量 14 11 25 第二種劑量 6 19 25 合計 20 30 50 進行統(tǒng)計分析時的統(tǒng)計假設(shè)是________． 考點　獨立性檢驗及其基本思想 題點　獨立性檢驗 答案　小白鼠的死亡與劑量無關(guān) 解析　根據(jù)獨立性檢驗的基本思想可知，類似于反證法，即要確認“兩個分量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信程度，首先假設(shè)該結(jié)論不成立．對于本題，進行統(tǒng)計分析時的統(tǒng)計假設(shè)應(yīng)為“小白鼠的死亡與劑量無關(guān)”． 13．某市調(diào)研考試后，某校對甲、乙兩個文科班的數(shù)學考試成績進行分析，規(guī)定：大于或等于120分為優(yōu)秀，120分以下為非優(yōu)秀．統(tǒng)計成績后，得到如下的列聯(lián)表，且已知在甲、乙兩個文科班全部110人中隨機抽取1人為優(yōu)秀的概率為. 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 合計 甲班 10 乙班 30 合計 110 (1)請完成上面的列聯(lián)表； (2)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，若按99.9%的可靠性要求，能否認為“成績與班級有關(guān)系”； P(χ2≥x0) 0.050 0.010 0.001 x0 3.841 6.635 10.828 (3)若按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學生中抽取一人：把甲班優(yōu)秀的10名學生從2到11進行編號，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點數(shù)之和為被抽取人的序號．試求抽到9號或10號的概率． 考點　 題點　 解　(1)由題意知，優(yōu)秀的概率P＝，故優(yōu)秀人數(shù)為30，故22列聯(lián)表如下： 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 合計 甲班 10 50 60 乙班 20 30 50 合計 30 80 110 (2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到 χ2＝≈7.486＜10.828. 因此按99.9%的可靠性要求，不能認為“成績與班級有關(guān)系”． (3)設(shè)“抽到9或10號”為事件A，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點數(shù)為(x，y)，所有的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1, 3)，…，(6,6)，共36個． 事件A包含的基本事件有(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3)，(5,5)，(4,6)，(6,4)，共7個． 所以P(A)＝，即抽到9號或10號的概率為.