2020版高考物理一輪復習 第一章 第3節(jié) 運動圖像 追及和相遇問題講義.doc

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第3節(jié) 運動圖像 追及和相遇問題 一、運動圖像[注1] 1．xt圖像 (1)物理意義：反映了物體做直線運動的位移隨時間變化的規(guī)律。 (2)斜率的意義：圖線上某點切線斜率的大小表示物體此時速度的大小，斜率正負表示物體速度的方向。[注2] 2．vt圖像 (1)物理意義：反映了物體做直線運動的速度隨時間變化的規(guī)律。 (2)斜率的意義：圖線上某點切線斜率的大小表示物體此時加速度的大小，斜率正負表示物體加速度的方向。 (3)“面積”的意義 ①圖線與時間軸圍成的面積表示相應時間內的位移。 ②若面積在時間軸的上方，表示位移方向為方向；若面積在時間軸的下方，表示位移方向為方向。 二、追及和相遇問題 1．追及問題的兩類情況[注3] (1)若后者能追上前者，追上時，兩者處于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度。 (2)若后者追不上前者，則當后者速度與前者速度相等時，兩者相距最近。 2．相遇問題[注4] 相向運動的物體，當各自發(fā)生的位移大小之和等于開始時兩物體間的距離時即相遇。 【注解釋疑】 [注1] 無論vt圖像還是xt圖像，描述的一定是直線運動。 [注2] 斜率是數(shù)學語言，表示直線的傾斜程度；斜率具有物理意義，可表示物體運動的速度或加速度。 [注3] 速度相等是判斷追上或追不上的切入點。 [注4] 同向追及時，當追趕者位移等于被追趕者位移與初始間距之和時即相遇。 [深化理解] 1．識圖中常見的三類錯誤 (1)錯誤地認為圖像就是質點的運動軌跡。 (2)錯將圖線的交點都當成相遇，而vt圖線的交點表示該時刻速度相同。 (3)錯誤理解圖線斜率的意義，比如認為vt圖像斜率為正，則質點一定做加速運動，斜率為負，則質點一定做減速運動。 2．追及和相遇問題 分兩類，一類為一定能追上，直接列位移方程，找位移關系；另一類為可能追上，需根據(jù)速度關系判斷能否追上。 [基礎自測] 一、判斷題 (1)xt圖像和vt圖像都表示物體運動的軌跡。() (2)xt圖像和vt圖像都只能描述直線運動。(√) (3)xt圖像上兩圖線的交點表示兩物體此時相遇。(√) (4)vt圖像上兩圖線的交點表示兩物體此時相遇。() (5)同一直線上運動的兩物體，后者若追上前者，后者速度必須大于前者。(√) (6)同一直線上運動的兩物體，速度相等時，兩物體相距最近或最遠。(√) (7)兩物體同向運動恰好不相碰，則此時兩物體速度相等。(√) 二、選擇題 1．[滬科版必修1 P43T6改編](多選)如圖所示為甲、乙兩物體在同一直線上運動的位置坐標x隨時間t變化的圖像，已知甲對應的是圖像中的直線，乙對應的是圖像中的曲線，則下列說法正確的是(　　) A．甲做勻減速直線運動 B．乙做變速直線運動 C．0～t1時間內兩物體平均速度大小相等 D．兩物體的運動方向相反 解析：選BD　結合題意分析題圖易知，題圖中圖像的斜率等于速度，知甲沿負方向做勻速直線運動，故A項錯誤；乙圖線切線的斜率不斷增大，說明乙的速度不斷增大，做變速直線運動，故B項正確；根據(jù)坐標的變化量等于位移知，0～t1時間內兩物體位移大小不相等，方向相反，所以平均速度不相等，故C項錯誤；根據(jù)圖像的斜率等于速度可知，甲的速度為負，乙的速度為正，即兩物體的運動方向相反，故D項正確。 2．(多選)物體做直線運動的vt圖像如圖所示，根據(jù)圖像提供的信息可知(　　) A．第4 s初物體運動的加速度為2 m/s2 B．前8 s內物體運動的位移為32 m C．在0～4 s內與4～6 s內物體運動的加速度方向相反 D．在0～4 s內與4～6 s內物體運動的平均速度相等 解析：選BC　圖像的斜率表示加速度，則第4 s初物體運動的加速度a＝＝ m/s2＝1 m/s2，故A項錯誤；圖像與坐標軸圍成面積代表位移，前8 s內物體運動的位移x＝(4＋8)4 m＋82 m＝32 m，故B項正確；在0～4 s 內與4～6 s內物體運動的速度都為正，加速度方向相反，故C項正確；在0～4 s內的平均速度v1＝ m/s＝6 m/s,4～6 s內的平均速度v2＝ m/s＝4 m/s，故D項錯誤。 3．[粵教版必修1 P47T17改編]一步行者以6.0 m/s的速度跑去追趕被紅燈阻停的公共汽車，在跑到距汽車25 m處時，綠燈亮了，汽車以1.0 m/s2的加速度勻加速啟動前進，則(　　) A．人能追上公共汽車，追趕過程中人跑了36 m B．人不能追上公共汽車，人、車最近距離為7 m C．人能追上公共汽車，追上車前人共跑了43 m D．人不能追上公共汽車，且車開動后，人車距離越來越遠 解析：選B　在跑到距汽車25 m處時，綠燈亮了，汽車以1.0 m/s2的加速度勻加速啟動前進，當汽車加速到6.0 m/s時二者相距最近。汽車加速到6.0 m/s所用時間t＝6 s，人運動距離為66 m＝36 m，汽車運動距離為18 m，二者最近距離為18 m＋25 m－36 m＝7 m，選項A、C錯誤，B正確。人不能追上公共汽車，且車開動后，人車距離先減小后增大，選項D錯誤。 高考對本節(jié)內容的考查，主要集中在xt圖像、vt圖像及追及相遇問題。其中對xt圖像和vt圖像的考查，主要以選擇題的形式呈現(xiàn)，難度中等，而對追及相遇問題的考查，常結合具體的生活情景，題型有選擇題，也有計算題，難度更大一些。 考點一　運動圖像的理解和應用[多維探究類] 1．讀圖——獲取解題信息 第一層 (1)確認縱、橫坐標軸對應的物理量及其單位 (2)注意縱、橫坐標是否從零刻度開始 關注坐標軸 第二層 圖線在坐標軸上的截距表示運動的初始情況 理解截距、斜率、面積 斜率通常能夠體現(xiàn)某個物理量(如vt圖像的斜率反映了加速度)的大小、方向及變化情況 最常見的是vt圖像中面積表示位移，但要注意時間軸下方的面積為負，說明這段位移與正方向相反 第三層 交點往往是解決問題的切入點，注意交點表示物理量相等，不一定代表物體相遇 分析交點、轉折點、漸近線 轉折點表示物理量發(fā)生突變，滿足不同的函數(shù)關系式，如vt圖像中速度由增變減，表明加速度突然反向 利用漸近線可以求出該物理量的極值或確定它的變化趨勢 2．作圖和用圖——快速解題 依據(jù)物體的狀態(tài)或物理過程所遵循的物理規(guī)律，做出與之對應的示意圖或數(shù)學函數(shù)圖像，往往可以快速、直觀地研究和處理問題。 考法(一)　圖像信息類問題 [例1]　(多選)(2018全國卷Ⅲ)甲、乙兩車在同一平直公路上同向運動，甲做勻加速直線運動，乙做勻速直線運動。甲、乙兩車的位置x隨時間t的變化如圖所示。下列說法正確的是(　　) A．在t1時刻兩車速度相等 B．從0到t1時間內，兩車走過的路程相等 C．從t1到t2時間內，兩車走過的路程相等 D．在t1到t2時間內的某時刻，兩車速度相等 [解析]　xt圖像斜率表示兩車速度，則可知t1時刻乙車速度大于甲車速度，故A錯誤。由兩圖線的縱截距知，出發(fā)時甲車在乙車前面，t1時刻圖線相交表示兩車相遇，可得0到t1時間內乙車比甲車多走了一段距離，故B錯誤。t1和t2時刻兩圖線相交，表明兩車均在同一位置，從t1到t2時間內，兩車走過的路程相等；在t1到t2時間內，兩圖線有斜率相等的一個時刻，即該時刻兩車速度相等，故C、D正確。 [答案]　CD 考法(二)　圖像選擇類問題 [例2]　從塔頂由靜止釋放一個小球A的時刻為計時零點，t0時刻，在與A球t0時刻所在位置的同一水平高度，由靜止釋放小球B，若兩球都只受重力作用，設小球B下落時間為t，在A、B兩球落地前，A、B兩球之間的距離為Δx，則 t0的圖線為(　　) [解析]　A、B兩球釋放后都做自由落體運動，B球釋放時，A球的速度vA＝gt0，B球釋放后t時間時，A、B兩球之間的距離Δx＝vAt＋gt2－gt2＝gt0t，則＝gt0，所以 t0的圖線為一條過原點的傾斜直線，斜率為g，故B正確。 [答案]　B [題型技法] 解決這類問題時，首先要將題目給出的情景分析透徹，然后根據(jù)情景分析圖像中物理量之間的關系，或者直接將圖像與題目所描述的情景相對照，看是否吻合進行判斷。 考法(三)　圖像轉換類問題 [例3]　一物體由靜止開始沿直線運動，其加速度隨時間變化的規(guī)律如圖所示。取物體開始運動的方向為正方向，則下列關于物體運動的vt圖像正確的是(　　) [解析]　根據(jù)加速度隨時間變化的圖像可得，0～1 s內為勻加速直線運動，速度v＝at＝t，速度為正方向，選項D錯誤。第1 s末的速度v＝1 m/s,1～2 s內加速度變?yōu)樨撝?，而速度為正方向，因此為減速運動，v′＝1 m/s－a(t－1)，到2 s末，速度減小為0，選項B錯誤。2～3 s，加速度為正方向，初速度為0，物體做正方向的勻加速直線運動，v＝a(t－2)＝t－2，即從第2 s開始又重復前面的運動，選項C正確，A錯誤。 [答案]　C [題型技法] 解決圖像轉換類問題的一般流程： 考法(四)　圖像應用類問題 [例4]　某同學欲估算飛機著陸時的速度，他假設飛機在平直跑道上做勻減速運動，飛機在跑道上滑行的距離為x，從著陸到停下來所用的時間為t，實際上，飛機的速度越大，所受的阻力越大，則飛機著陸時的速度應是(　　) A．v＝　　　　　　　　　 B．v＝ C．v＞ D.＜v＜ [解析]　 該同學假設飛機做勻減速運動，所用的時間為t，畫出相應的vt圖像大致如圖所示的虛線。根據(jù)圖像的意義可知，虛線下方的“面積”表示位移。因為位移為x，則得出初速度為。實際上，當飛機的速度減小時，所受的阻力減小，因而它的加速度會逐漸變小，vt圖像切線的斜率減小，畫出相應的vt圖像大致如圖所示的實線。根據(jù)圖像的意義可知，實線下方的“面積”表示位移。所以飛機著陸時的速度v＞，故選項C正確。 [答案]　C [題型技法] 此類問題看似與圖像無關，但常規(guī)解法晦澀難懂，掌握構圖技巧，則難題迎刃而解。 (1)認真審題，根據(jù)需要確定縱、橫坐標軸對應的物理量。 (2)結合具體的物理過程和相應的物理規(guī)律，找出兩物理量的制約關系，作出函數(shù)圖像。 (3)根據(jù)圖像結合數(shù)學知識進行分析、判斷。 [題點全練] 1．[根據(jù)xt圖像分析兩車的運動] 在平直公路上行駛的a車和b車，其位移—時間(x t)圖像分別為圖中直線a和曲線b，已知b車的加速度恒定且等于－2 m/s2，t＝3 s時，直線a和曲線b剛好相切，則(　　) A．a車做勻速運動且其速度為va＝ m/s B．t＝3 s時a車和b車相遇但此時速度不等 C．t＝1 s時b車的速度為10 m/s D．t＝0時a車和b車的距離x0＝9 m 解析：選D　x t圖像的斜率等于速度，由題圖可知，a車的速度不變，做勻速直線運動，速度為：va＝＝ m/s＝2 m/s，故A錯誤。t＝3 s 時，直線a和曲線b剛好相切，位置坐標相同，兩車相遇，斜率相等，此時兩車的速度相等，故B錯誤。t＝3 s時，b車的速度為：vb＝va＝2 m/s，設b車的初速度為v0，對b車，由v0＋at＝vb，解得：v0＝8 m/s，則t＝1 s時b車的速度為：vb′＝v0＋at1＝8 m/s－21 m/s＝6 m/s，故C錯誤。t＝3 s時，a車的位移為：xa＝vat＝6 m，b車的位移為：xb＝t＝3 m＝15 m，t＝3 s 時，a車和b車到達同一位置，得：x0＝xb－xa＝9 m，故D正確。 2．[根據(jù)vt圖像選擇at圖像] 質點做直線運動的速度—時間圖像如圖所示，下圖中表示質點加速度—時間圖像正確的是(　　) 解析：選B　在速度—時間圖像中，斜率的正負和大小表示加速度的正負和大小，在0～1 s和3～5 s內斜率為正，加速度為2 m/s2,1～3 s和5～6 s內斜率為負，加速度為－2 m/s2，B正確，A、C、D錯誤。 3．[根據(jù)滑塊的運動情況選擇運動圖像] 如圖所示，滑塊以初速度v0沿表面粗糙且足夠長的固定斜面，從頂端下滑，直至速度為零。對于該運動過程，若用h、s、v、a分別表示滑塊的下降高度、位移、速度和加速度的大小，t表示時間，則下列圖像最能正確描述這一運動規(guī)律的是(　　) 解析：選B　在下滑的過程中，根據(jù)牛頓第二定律可得：mgsin θ－μmgcos θ＝ma，故加速度保持不變，所以選項D錯誤；滑塊做勻減速直線運動，vt圖像應為一條傾斜直線，故選項C錯誤；根據(jù)勻變速直線運動的規(guī)律得s＝v0t＋at2，所以st圖像應為過原點的拋物線的一部分，故選項B正確；下降的高度h＝ssin θ，故ht圖像與st圖像相似，所以選項A錯誤。 4．[應用運動圖像分析豎直上拋運動] 在地面上以初速度2v0豎直上拋一物體A后，又以初速度v0從同一地點豎直上拋另一物體B。若要使兩物體能在空中相遇，則兩物體拋出的時間間隔Δt必須滿足的條件是(不計空氣阻力)(　　) A.＜Δt＜ B.＜Δt＜ C.＜Δt＜ D.＜Δt＜ 解析：選D　依據(jù)x＝v0t－gt2作出xt圖像，如圖所示，顯然，兩條圖線相交表示A、B相遇。由圖線可直接看出，當Δt滿足關系式＜Δt＜時，A、B可在空中相遇，選項D正確。 考點二　追及和相遇問題[師生共研類] 1．解答追及和相遇問題的三種方法 情景分析法 抓住“兩物體能否同時到達空間某位置”這一關鍵，認真審題，挖掘題目中的隱含條件，建立一幅物體運動關系的情景圖 函數(shù)判斷法 設相遇時間為t，根據(jù)條件列方程，得到關于位移x與時間t的函數(shù)關系，由此判斷兩物體追及或相遇情況 圖像分析法 將兩個物體運動的速度—時間關系或位移—時間關系畫在同一圖像中，然后利用圖像分析求解相關問題 2．情景分析法的基本思路 [典例]　汽車A以vA＝4 m/s的速度向右做勻速直線運動，發(fā)現(xiàn)前方相距x0＝7 m處、以vB＝10 m/s的速度同向運動的汽車B正開始勻減速剎車直到靜止后保持不動，其剎車的加速度大小a＝2 m/s2。從此刻開始計時。求： (1)A追上B前，A、B間的最遠距離是多少？ (2)經過多長時間A恰好追上B? [解題指導]　汽車A和B的運動過程如圖所示。 [解析]　(1)當A、B兩汽車速度相等時，兩車間的距離最遠，即v＝vB－at＝vA，解得t＝3 s 此時汽車A的位移xA＝vAt＝12 m 汽車B的位移xB＝vBt－at2＝21 m 故最遠距離Δxmax＝xB＋x0－xA＝16 m。 (2)汽車B從開始減速直到靜止經歷的時間t1＝＝5 s 運動的位移xB′＝＝25 m 汽車A在t1時間內運動的位移xA′＝vAt1＝20 m 此時相距Δx＝xB′＋x0－xA′＝12 m 汽車A需再運動的時間t2＝＝3 s 故A追上B所用時間t總＝t1＋t2＝8 s。 [答案]　(1)16 m　(2)8 s [延伸思考] (1)若某同學應用關系式vBt－at2＋x0＝vAt解得經過t＝7 s(另解舍去)時A恰好追上B。這個結果合理嗎？為什么？ (2)若汽車A以vA＝4 m/s的速度向左勻速運動，其后方相距x0＝7 m處，以vB＝10 m/s的速度同方向運動的汽車B正向左開始勻減速剎車直到靜止后保持不動，其剎車的加速度大小為a＝2 m/s2，則經過多長時間兩車恰好相遇？ 提示：(1)這個結果不合理，因為汽車B運動的時間最長為t＝＝5 s＜7 s，說明汽車A追上B時汽車B已停止運動。 (2)可由位移關系式：vBt－at2＝x0＋vAt，解得t1＝(3－)s，t2＝(3＋)s。 例題及延伸思考旨在培養(yǎng)考生“貼合實際、全面分析”運動學問題的思維習慣： (1)如勻速運動的物體追勻減速運動的物體時，注意判斷追上時被追的物體是否已停止。 (2)勻減速運動的物體追勻速運動的物體時，有追不上、恰好追上、相撞或相遇兩次等多種可能。 [題點全練] 1．[與xt圖像相結合的追及相遇問題] 甲、乙兩人同時同地騎自行車出發(fā)做直線運動，前1 h內的xt圖像如圖所示，下列表述正確的是(　　) A．0.2～0.5 h內，甲的速度比乙的小 B．0.2～0.5 h內，甲的加速度比乙的大 C．0.6～0.8 h內，甲的位移比乙的小 D．0.8 h時，甲追上乙 解析：選D　xt圖像的斜率表示速度，0.2～0.5 h內，甲的斜率大，則甲的速度比乙的大，故A錯誤。由題圖知，0.2～0.5 h內，甲、乙都做勻速直線運動，加速度均為零，故B錯誤。物體的位移等于x的變化量，則知0.6～0.8 h內，甲的位移比乙的大，故C錯誤。0.8 h時，甲、乙位移相等，甲追上乙，故D正確。 2．[與vt圖像相結合的追及相遇問題] (多選)(2018全國卷Ⅱ)甲、乙兩汽車在同一條平直公路上同向運動，其速度—時間圖像分別如圖中甲、乙兩條曲線所示。已知兩車在t2時刻并排行駛。下列說法正確的是(　　) A．兩車在t1時刻也并排行駛 B．在t1時刻甲車在后，乙車在前 C．甲車的加速度大小先增大后減小 D．乙車的加速度大小先減小后增大 解析：選BD　t1～t2時間內，v甲＞v乙，t2時刻相遇，則t1時刻甲車在乙車的后面，故A錯誤、B正確。由圖像的斜率知，甲、乙兩車的加速度大小均先減小后增大，故C錯誤、D正確。 3．[多種方法解決追及相遇問題] 在水平軌道上有兩列火車A和B相距s，A車在后面做初速度為v0、加速度大小為2a的勻減速直線運動，而B車同時做初速度為零、加速度為a的勻加速直線運動，兩車運動方向相同。要使兩車不相撞，求A車的初速度v0滿足什么條件。 解析：要使兩車不相撞，A車追上B車時其速度只能與B車相等。設A、B兩車從相距s到A車追上B車時，A車的位移為sA、末速度為vA、所用時間為t，B車的位移為sB、末速度為vB，兩者的運動過程如圖所示，現(xiàn)用三種方法解答如下： 法一：情景分析法 利用位移公式、速度公式求解 對A車有sA＝v0t＋(－2a)t2 vA＝v0＋(－2a)t 對B車有sB＝at2，vB＝at 對兩車有s＝sA－sB 追上時，兩車不相撞的臨界條件是vA＝vB 聯(lián)立以上各式解得v0＝ 故要使兩車不相撞，A車的初速度v0應滿足的條件是v0＜。 法二：函數(shù)判斷法 利用判別式求解，由法一可知 sA＝s＋sB，即v0t＋(－2a)t2＝s＋at2 整理得3at2－2v0t＋2s＝0 這是一個關于時間t的一元二次方程，當根的判別式Δ＝(－2v0)2－43a2s＜0時，t無實數(shù)解，即兩車不相撞，所以要使兩車不相撞，A車的初速度v0應滿足的條件是v0＜。 法三：圖像分析法 利用速度—時間圖像求解，先作A、B兩車的速度—時間圖像，其圖像如圖所示，設經過t′時間兩車剛好不相撞，則 對A車有vA＝v′＝v0－2at′ 對B車有vB＝v′＝at′ 以上兩式聯(lián)立解得t′＝ 經t′時間兩車發(fā)生的位移大小之差，即原來兩車間的距離s 它可用圖中的陰影面積表示，由圖像可知 s＝v0t′＝v0＝ 所以要使兩車不相撞，A車的初速度v0應滿足的條件是v0＜。 答案：v0＜ “專項研究”拓視野——運動示意圖和運動圖像 運動學問題如果單獨作為考查點命制計算題，則往往涉及兩個物體的運動關系問題，或者是一個物體的多過程、多情景的實際問題。對于這類問題，分析物理過程，作好運動示意圖或運動圖像，從而弄清運動物體運動過程中各階段運動量間的聯(lián)系，是尋找解題途徑的關鍵。 一、運動示意圖 運動示意圖就是根據(jù)文字敘述而畫出的用以形象描述物體運動過程的一種簡圖(或草圖)。同時在圖上標明物體運動的速度、加速度等狀態(tài)量和位移、時間等過程量。 運用運動示意圖解題時，要分過程恰當選取運動學規(guī)律列方程，同時注意各過程間的位移關系、時間關系及速度關系，列出相應的輔助方程，再將各式聯(lián)立求解，便可得出結果。 [例1]　一個氣球以4 m/s的速度勻速豎直上升，氣球下面系著一個重物，當氣球上升到下面的重物離地面217 m時，系重物的繩子斷了，不計空氣阻力，問從此時起，重物經過多長時間落到地面？重物著地時的速度多大？(g取10 m/s2) [解析]　繩子未斷時，重物隨著氣球以4 m/s的速度勻速上升，當繩子斷后，由于慣性，物體將在離地面217 m處，以4 m/s的初速度豎直上拋。運動示意圖如圖所示： 重物由O →A做勻減速直線運動， h1＝＝0.8 m，t1＝＝0.4 s 重物由A→B做自由落體運動，h1＋h＝gt22 可解得：t2＝ ＝6.6 s， 故從繩子斷到重物落地的總時間t＝t1＋t2＝7 s 重物落地時的速度v＝gt2＝66 m/s。 [答案]　7 s　66 m/s [反思領悟] 由以上例題可以看出，對于較復雜的物體運動過程，畫出運動過程示意圖，綜合分析物理過程，尋找物體運動位移關系等帶來極大方便。在平時的練習中應盡量養(yǎng)成畫運動示意圖的好習慣。 [針對訓練] 1．甲、乙兩車在平直公路上比賽，某一時刻，乙車在甲車前方L1＝11 m處，乙車速度v乙＝60 m/s，甲車速度v甲＝50 m/s，此時乙車離終點線尚有L2＝600 m，如圖所示。若甲車加速運動，加速度a＝2 m/s2，乙車速度不變，不計車長。求： (1)經過多長時間甲、乙兩車間距離最大，最大距離是多少？ (2)到達終點時甲車能否超過乙車。 解析：(1)當甲、乙兩車速度相等時，兩車間距離最大，即 v甲＋at1＝v乙， 得t1＝＝ s＝5 s； 甲車位移x甲＝v甲t1＋at12＝275 m， 乙車位移x乙＝v乙t1＝605 m＝300 m， 此過程中，甲、乙兩車運動示意圖如圖所示： 故此時兩車之間的距離Δx＝x乙＋L1－x甲＝36 m。 (2)乙車勻速運動到達終點共需時間t2＝＝10 s， 此過程中甲車的位移x甲′＝v甲t2＋at22＝600 m， 運動示意圖如圖所示： 此時甲、乙兩車之間的距離Δx′＝L1＋L2－x甲′＝11 m， 故乙車到達終點時，甲車沒有超過乙車。 答案：(1)5 s　36 m　(2)不能 二、運動圖像 圖像作為表示物理規(guī)律的方法之一，可以直觀地反映某一物理量隨另一物理量變化的函數(shù)關系，以形象地描述物理規(guī)律。 在運動學中，作為分析物理問題的一種途徑，常用的運動圖像為v t圖像。v t圖像的物理意義主要通過“點”“線”“面”“斜”“截”五個方面體現(xiàn)出來，應用圖像時應從這五個方面入手，予以明確后才能準確表達物理過程及物理量變化的對應關系。 [例2]　摩托車在平直公路上從靜止開始啟動，加速度大小為a1＝1.6 m/s2，稍后做勻速運動，然后以大小為a2＝6.4 m/s2的加速度做勻減速運動，直到停止，共歷時130 s，行程1 600 m。試求： (1)摩托車行駛的最大速度vmax； (2)若摩托車從靜止啟動，a1、a2不變，直到停止，行程不變，所需最短時間為多少？ [解析]　(1)整個運動過程分三個階段：勻加速運動、勻速運動、勻減速運動。 可借助vt圖像表示，如圖甲所示。 利用推論公式v2－v02＝2ax 有：＋vmax＋＝1 600 m。 其中a1＝1.6 m/s2，a2＝6.4 m/s2。 解得：vmax＝12.8 m/s(另一解舍去)。 (2)首先要分析得出摩托車以什么樣的方式運動可使得所需時間最短。借助圖乙所示的v t圖像可知：當摩托車先以a1做勻加速運動，當速度達到vmax′時，緊接著以a2做勻減速運動直到停止時，行程不變，時間最短，如圖乙對應圖線所示。 設最短時間為tmin，則tmin＝＋ ① ＋＝1 600 m ② 其中a1＝1.6 m/s2，a2＝6.4 m/s2。 由②式解得vmax′＝64 m/s，故tmin＝ s＋ s＝50 s。 即最短時間為50 s。 [答案]　(1)12.8 m/s　(2)50 s [反思領悟] 由以上例題可以看出，將物體復雜的運動過程畫在vt圖像上，由圖像上各點的斜率表示物體的加速度，某段圖線下的“面積”數(shù)值上與該段位移大小相等，可將復雜問題簡單化。 [針對訓練] 2．在光滑水平面上有一靜止的物體，現(xiàn)以水平恒力甲推這一物體，作用一段時間后，換成相反方向的水平恒力乙推這一物體，當恒力乙作用時間與恒力甲作用時間相同時，物體恰好回到原處。求： (1)恒力甲作用過程中物體的加速度a1與恒力乙作用過程中物體的加速度a2之比； (2)恒力甲作用過程中物體的末速度v1與恒力乙作用過程中物體的末速度v2之比。 解析：對應題中敘述，設A→B過程物體做初速度為0的勻加速運動，位移為x1，由勻變速運動位移公式和速度公式可以建立起方程。B→C→A過程，物體先向右做勻減速運動，然后向左做勻加速運動。 下面從兩個角度求解本題。 法一：利用運動示意圖求解 A→B過程， x1＝a1t2，v1＝a1t B→C過程，x2＝v1t′－a2t′2， 0＝v1－a2t′ C→A過程，x1＋x2＝a2(t－t′)2，v2＝a2(t－t′) 由以上方程聯(lián)立可解得：＝，＝。 法二：利用v t圖像求解 畫出v t圖像如圖所示，由A→B→C過程的位移與C→B→A過程的位移大小相等。 即圖中S△OB′C′＝S△A′QC′得 (t＋t′)＝(t－t′) B→C與C→A過程加速度相同， 即圖線B′C′與圖線C′A′斜率相同，可得＝ 由以上兩式可解得t′＝t，＝ a1、a2的大小分別對應圖線OB′的斜率與圖線B′C′的斜率，易得：＝＝。 答案：(1)1∶3　(2)1∶2