（全國(guó)通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 數(shù)列單元過(guò)關(guān)檢測(cè) 文.doc

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第五章 數(shù)列 單元過(guò)關(guān)檢測(cè)(五) (120分鐘　150分) 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1.已知數(shù)列,,5,…,,那么15是數(shù)列的 (　　) A.第22項(xiàng) B.第23項(xiàng) C.第24項(xiàng) D.第25項(xiàng) 【解析】選B.根據(jù)通項(xiàng)公式an=有=15,解得n=23. 2.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=3n+a(n∈N*),則實(shí)數(shù)a的值是(　　) A.-3 B.3 C.-1 D.1 【解析】選C.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=23n-1,當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=3+a,因?yàn)閿?shù)列{an}是等比數(shù)列,所以3+a=2,解得a=-1. 3.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=9,S5=25,則S7= (　　) A.41 B.48 C.49 D.56 【解析】選C.設(shè)Sn=An2+Bn(A≠0),由題意知,解得所以S7=49. 【變式備選】已知等差數(shù)列{an}的前13項(xiàng)之和為39,則a6+a7+a8= (　　) A.6 B.9 C.12 D.18 【解析】選B.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可得:S13 =13a1+d=39,化簡(jiǎn)得:a1+6d=3,所以a6+a7+a8=a1+5d+a1+6d+a1+7d =3a1+18d=3(a1+6d)=33=9. 【一題多解】本小題還可以采用以下解法: 選B.由等差數(shù)列的性質(zhì)得S13=13a7=39,所以a7=3,所以a6+a7+a8=3a7=9. 4.(2018長(zhǎng)沙模擬)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1<0,若存在自然數(shù)m≥3,使得am=Sm,則當(dāng)n>m時(shí),Sn與an的大小關(guān)系是 (　　) A.Snan D.大小不能確定 【解析】選C.由題意得公差d>0,且am>0,所以當(dāng)n>m時(shí),Sn-an=Sn-Sm+am-an=am+am+1+…+an-1>0,所以Sn>an. 5.數(shù)列{an}滿足an+1=若a1=,則a2 018的值是 (　　) A. B. C. D. 【解析】選D.由數(shù)列的遞推公式及首項(xiàng)a1=可得a2=,a3=,a4=,所以數(shù)列具有周期性,所以a2 018=a2=. 6.若an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,已知a1a5=1且S3=7,則S7= (　　) A. B. C. D. 【解析】選C.由an>0,且a1a5==1,得a3=1.由S3=7,得++a3=7,即+=6, 又q>0,解得q=.所以S7=S3+a3q+a3q2+a3q3+a3q4=7++++=. 7.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,a2=2,且對(duì)于任意n>1,n∈N*,滿足Sn+1+Sn-1=2(Sn+1),則S10的值為 (　　) A.91 B.90 C.55 D.54 【解析】選A.由Sn+1+Sn-1=2(Sn+1)得Sn+1-Sn=Sn-Sn-1+2即an+1=an+2,所以an=即數(shù)列從第二項(xiàng)起為等差數(shù)列,公差為2,所以S10=1+92+2=91. 8.(2018重慶模擬)在數(shù)列{an}中,已知an=(n∈N*),則{an}的前n項(xiàng)和Sn= (　　) A.-- B. C. D. 【解析】選D.由an= =, Sn=(-+-+-+…+-+-) = =. 9.在等差數(shù)列{an}中,a1>0,a2 012+a2 013>0,a2 012a2 013<0,則使Sn>0成立的最大自然數(shù)n是 (　　) A.4 025 B.4 024 C.4 023 D.4 022 【解析】選B.{an}為等差數(shù)列,a1>0,a2 012+a2 013>0,a2 012a2 013<0, 所以a2 012>0,a2 013<0, 所以d<0, 因?yàn)镾4 024=,a1+a4 024 =a2 012+a2 013, 所以S4 024>0. 因?yàn)镾4 025=,a1+a4 025=2a2 013. 所以S4 025<0, 所以使Sn>0成立的最大自然數(shù)n是4 024. 10.(2018臨川模擬)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中,有已知長(zhǎng)方形面積求一邊的算法(“少?gòu)V”算法),其方法的前兩步如下.第一步:構(gòu)造數(shù)列1,, ,,…,.①第二步:將數(shù)列①的各項(xiàng)乘以,得到一個(gè)新數(shù)列a1,a2,a3,…,an.則a1a2+a2a3+a3a4+…+an-1an等于 (　　) A. B. C. D. 【解析】選C.由題意,所得新數(shù)列為1,,,…,所以a1a2+a2a3+a3a4+…+an-1an=[+++…+] =[+++…(-)]==. 11.(2018杭州模擬)設(shè){an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,且a1=b1=1,a2 017=b2 017=2 017,則下列結(jié)論正確的是 (　　) A.a1 008>a1 009 B.a2 016bn D.?n0∈N*,1bn,n> 2 017時(shí),an0,所以an+1=3an, 又因?yàn)閍1=2,所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公比為3的等比數(shù)列, 所以數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn==3n-1. 答案:3n-1 15.如圖所示是畢達(dá)哥拉斯的生長(zhǎng)程序:正方形上連接著等腰直角三角形,等腰直角三角形邊上再連接正方形,…,如此繼續(xù),若共得到1 023個(gè)正方形,設(shè)初始正方形的邊長(zhǎng)為,則最小正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_______. 【解析】設(shè)1+2+4+…+2n-1=1 023,即=1 023,2n=1 024,n=10.正方形邊長(zhǎng)構(gòu)成數(shù)列,,,…,其中第10項(xiàng)為=,即所求最小正方形的邊長(zhǎng)為. 答案: 16.已知{an}是等差數(shù)列, d為其公差, Sn是其前n項(xiàng)和,若只有S4是數(shù)列{Sn}中的最小項(xiàng),則可得出的結(jié)論中正確的是________. ①d>0,②a4<0,③a5>0,④S7<0,⑤S8>0. 【解析】Sn=na1+d, 因?yàn)橹挥蠸4是{Sn}中的最小項(xiàng), 所以 ? 因?yàn)閍4=a1+3d,a5=a1+4d,所以-d0.S7=7a1+d=7(a1+3d)=7a4<0.S8=8a1+d=4(2a1+7d),由-4d0, 則解得:或(舍去) 所以an=2n+1. (2)因?yàn)閎n+1-bn=an+1且an=2n+1,所以bn+1-bn=2n+3, 當(dāng)n≥2時(shí),bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1=(2n+1)+(2n-1)+…+5+3=n(n+2), 當(dāng)n=1時(shí),b1=3滿足上式,所以bn=n(n+2), 所以== 所以Tn=++…++ =[+++…+(-)+] = =-. 19.(12分)(2018武漢模擬)已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S3+2,S9+2,S6+2成等差數(shù)列且a2+a5=4. (1)求數(shù)列{an}的公比q. (2)設(shè)bn=log2|an|,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,當(dāng)q≠1時(shí),因?yàn)镾3+2,S9+2,S6+2成等差數(shù)列, 且a2+a5=4, 所以2(S9+2)=S6+2+S3+2,a1(q+q4)=4. 所以2=+, 化為(2q3+1)(q3-1)=0, 解得:q3=-,a2=8,當(dāng)q=1時(shí),不滿足條件,舍去, 所以q=-. (2)由(1)可得an=a2qn-2=(-1)n-2. bn=log2|an|= 當(dāng)n≤11時(shí),數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn==. 當(dāng)n≥12時(shí),數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=T11+++…+ =+[-11(n-11)] =. 20.(12分)已知數(shù)列{an},{bn},Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a2=4b1,Sn=2an-2,nbn+1-(n+1)bn=n2+n(n∈N*) (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. (2)證明為等差數(shù)列. (3)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為cn=令Tn為的前n項(xiàng)的和,求T2n. 【解析】(1)當(dāng)n>1時(shí), ?an=2an-2an-1?=2, 當(dāng)n=1時(shí),S1=2a1-2?a1=2, 綜上,{an}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,an=2n. (2)因?yàn)閍2=4b1,所以b1=1, 因?yàn)閚bn+1-(n+1)bn=n2+n, 所以-=1 綜上,是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列. (3)由(2)得,=1+n-1?bn=n2. 令pn=c2n-1+c2n =-+=(4n-1)22n-2=(4n-1)4n-1, T2n=340+741+1142+…+(4n-1)4n-1,① 4T2n=341+742+1143+…+(4n-5)4n-1+(4n-1)4n,② ①-②,得-3T2n=340+441+442+…+44n-1-(4n-1)4n, -3T2n=3+-(4n-1)4n, T2n=+4n. 【變式備選】已知an是單調(diào)遞增的等差數(shù)列,首項(xiàng)a1=3,前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列是等比數(shù)列,首項(xiàng)b1=1,且a2b2=12,S3+b2=20. (1)求數(shù)列{an}和的通項(xiàng)公式. (2)設(shè)cn=anbn,求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn. 【解析】(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,數(shù)列bn的公比為q, 則由題意得: 解得:d=-,q=18或d=3,q=2. 因?yàn)閧an}是單調(diào)遞增的等差數(shù)列,所以d>0, 所以d=3,q=2, 所以an=3+(n-1)3=3n,bn=2n-1. (2)cn=anbn=3n2n-1, 則Tn=3120+3221+3322+…+3(n-1)2n-2+3n2n-1, 又因?yàn)?Tn=3121+3222+…+3(n-1)2n-1+3n2n, 所以-Tn=3+3(21+22+…+2n-1)-3n2n, =3-3n2n=32n-3-3n2n=-3-32n(n-1), 所以Tn=3+32n(n-1). 21.(12分)(2018成都模擬)已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),a1=1,公比為q;等差數(shù)列{bn}中,b1=3,且{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,a3+S3=27,q=. (1)求{an}與{bn}的通項(xiàng)公式. (2)設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn=,求{cn}的前n項(xiàng)和Tn. 【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d, 因?yàn)? 所以 解得 所以{an}的通項(xiàng)公式為an=3n-1, {bn}的通項(xiàng)公式為bn=3n. (2)由題意得:Sn=, 所以數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為 cn===3, 所以{cn}的前n項(xiàng)和為 Tn=3[++…+]=. 22.(12分)(2018北京師大附中)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,Sn=nan- 3n(n-1)(n∈N*). (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an. (2)是否存在正整數(shù)n,使得+++…+-(n-1)2=2 016?若存在,求出n值;若不存在,說(shuō)明理由. 【解析】(1)Sn=nan-3n(n-1)(n∈N*), 所以當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=(n-1)an-1-3(n-1)(n-2), 兩式相減得:an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-3(n-1) 即(n-1)an=(n-1)an-1+6(n-1),也即an-an-1=6, 所以{an}是首項(xiàng)為1,公差為6的等差數(shù)列,所以an=6n-5. (2)Sn=nan-3n(n-1)=n(6n-5)-3n(n-1)=3n2-2n, 所以=3n-2, +++…+=3(1+2+3+…+n)-2n=-2n=n2-n, 所以+++…+-(n-1)2=n2-n-(n-1)2=-=2 016, 所以5n=4 035,所以n=807, 即當(dāng)n=807時(shí),+++…+- (n-1)2=2 016.