5、<1時(shí),g(a)<0;當(dāng)a>1時(shí),g(a)>0.
因此,a的取值范圍是(0,1).
考點(diǎn) 解決圖象交點(diǎn)或方程根等問(wèn)題
典例2 已知函數(shù)f(x)=-x2+2ex+t-1,g(x)=x+(x>0),其中e表示自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)若g(x)=m有實(shí)根,求m的取值范圍;
(2)確定t的取值范圍,使得g(x)-f(x)=0有兩個(gè)相異實(shí)根.
解] (1)解法一:因?yàn)閤>0,所以g(x)=x+≥2=2e,等號(hào)成立的條件是x=e.故g(x)的值域是2e,+∞),因而只需m≥2e,g(x)=m就有實(shí)根.
解法二:作出g(x)=x+(x>0)的圖象,如圖所示,觀察圖象可知g(x)的最小
6、值為2e,因此要使g(x)=m有實(shí)根,則只需m≥2e.
解法三:由g(x)=m,得x2-mx+e2=0,此方程有大于0的根,故
等價(jià)于
故m≥2e.
(2)若g(x)-f(x)=0有兩個(gè)相異的實(shí)根,則函數(shù)g(x)與f(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).
因?yàn)閒(x)=-x2+2ex+t-1=-(x-e)2+t-1+e2,所以函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=e,開(kāi)口向下,最大值為t-1+e2.
由題意,作出g(x)=x+(x>0)及f(x)=-x2+2ex+t-1的大致圖象,如圖所示.
故當(dāng)t-1+e2>2e,即t>-e2+2e+1時(shí),g(x)與f(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),即g
7、(x)-f(x)=0有兩個(gè)相異實(shí)根.
所以t的取值范圍是(-e2+2e+1,+∞).
解決圖象交點(diǎn)及方程根問(wèn)題的方法
函數(shù)圖象的交點(diǎn)、函數(shù)零點(diǎn)、方程的根三者之間可互相轉(zhuǎn)化,解題的宗旨就是函數(shù)與方程的思想即方程的根可轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)、函數(shù)圖象的交點(diǎn),反之函數(shù)零點(diǎn)、函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題也可轉(zhuǎn)化為方程根的問(wèn)題.
【針對(duì)訓(xùn)練2】 已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f(x)=且f(x+2)=f(x),g(x)=,則方程f(x)=g(x)在區(qū)間-5,1]上的所有實(shí)根之和為( )
A.-5 B.-6
C.-7 D.-8
答案 C
解析 g(x)===2+,由題意知函數(shù)f(x)
8、的周期為2,則函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間-5,1]上的圖象如圖所示:
由圖象知f(x)、g(x)有三個(gè)交點(diǎn),故方程f(x)=g(x),在x∈-5,1]上有三個(gè)根xA、xB、xC,且xB=-3,=-2,xA+xC=-4,∴xA+xB+xC=-7.
考點(diǎn) 函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用
典例3 設(shè)函數(shù)f(x)=cos2x+sinx+a-1,已知不等式1≤f(x)≤對(duì)一切x∈R恒成立,求a的取值范圍.
解] f(x)=cos2x+sinx+a-1=1-sin2x+sinx+a-1=-2+a+.
因?yàn)椋?≤sinx≤1,所以當(dāng)sinx=時(shí),
函數(shù)有最大值f(x)max=a+,
9、
當(dāng)sinx=-1時(shí),函數(shù)有最小值f(x)min=a-2.
因?yàn)?≤f(x)≤對(duì)一切x∈R恒成立,
所以f(x)max≤且f(x)min≥1,
即
解得3≤a≤4,
所以a的取值范圍是3,4].
不等式恒成立問(wèn)題的處理方法
在解決不等式恒成立問(wèn)題時(shí),一種最重要的思想方法就是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問(wèn)題.同時(shí)要注意在一個(gè)含多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問(wèn)題中,需要確定合適的變量和參數(shù),從而揭示函數(shù)關(guān)系,使問(wèn)題更明朗化.一般地,已知存在范圍的量為變量,而待求范圍的量為參數(shù).
【針對(duì)訓(xùn)練3】 設(shè)f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f′(x)g(x)
10、+f(x)g′(x)>0,且g(-3)=0,則不等式f(x)g(x)<0的解集是________.
答案 (-∞,-3)∪(0,3)
解析
設(shè)F(x)=f(x)g(x),由于f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),得F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x),即F(x)在R上為奇函數(shù).
又當(dāng)x<0時(shí),F(xiàn)′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,
所以x<0時(shí),F(xiàn)(x)為增函數(shù).
因?yàn)槠婧瘮?shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的單調(diào)性相同,所以x>0時(shí),F(xiàn)(x)也是增函數(shù).
因?yàn)镕(-3)=f(-3)g(-3)=0=-F(3).
所以,由圖可知F(x)<0
11、的解集是(-∞,-3)∪(0,3).
考點(diǎn) 函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用
典例4 20xx湖北高考]設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列{bn}的公比為q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)當(dāng)d>1時(shí),記cn=,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.
解] (1)由題意有,
即
解得或
故或
(2)由d>1,知an=2n-1,bn=2n-1,故cn=,于是
Tn=1+++++…+,①
Tn=+++++…+.②
①-②可得
Tn=2+++…+-=3-,
故Tn=6-.
數(shù)列問(wèn)題函
12、數(shù)(方程)化法
數(shù)列問(wèn)題函數(shù)(方程)化法形式結(jié)構(gòu)與函數(shù)(方程)類(lèi)似,但要注意數(shù)列問(wèn)題中n的取值范圍為正整數(shù),涉及的函數(shù)具有離散性特點(diǎn),其一般解題步驟是:
第一步:分析數(shù)列式子的結(jié)構(gòu)特征.
第二步:根據(jù)結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造“特征”函數(shù)(方程),轉(zhuǎn)化問(wèn)題形式.
第三步:研究函數(shù)性質(zhì).結(jié)合解決問(wèn)題的需要研究函數(shù)(方程)的相關(guān)性質(zhì),主要涉及函數(shù)單調(diào)性與最值、值域問(wèn)題的研究.
第四步:回歸問(wèn)題.結(jié)合對(duì)函數(shù)(方程)相關(guān)性質(zhì)的研究,回歸問(wèn)題.
【針對(duì)訓(xùn)練4】 20xx東城模擬]已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列.
(1)若a1=2,且a2,a3,a4+1成等比數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式a
13、n;
(2)在(1)的條件下,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,設(shè)bn=++…+,若對(duì)任意的n∈N*,不等式bn≤k恒成立,求實(shí)數(shù)k的最小值.
解 (1)因?yàn)閍1=2,a=a2(a4+1),又因?yàn)閧an}是正項(xiàng)等差數(shù)列,故公差d≥0,
所以(2+2d)2=(2+d)(3+3d),
解得d=2或d=-1(舍去),
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=2n.
(2)因?yàn)镾n=n(n+1),
bn=++…+
=++…+
=-+-+…+-
=-==,
令f(x)=2x+(x≥1),
則f′(x)=2-,當(dāng)x≥1時(shí),f′(x)>0恒成立,
所以f(x)在1,+∞)上是增函數(shù),
故當(dāng)x
14、=1時(shí),f(x)min=f(1)=3,
即當(dāng)n=1時(shí),(bn)max=,
要使對(duì)任意的正整數(shù)n,不等式bn≤k恒成立,則須使k≥(bn)max=,
所以實(shí)數(shù)k的最小值為.
考點(diǎn) 函數(shù)與方程思想在解析幾何中的應(yīng)用
典例5 20xx陜西高考]已知橢圓E:+=1(a>b>0)的半焦距為c,原點(diǎn)O到經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(c,0),(0,b)的直線的距離為c.
(1)求橢圓E的離心率;
(2)如圖,AB是圓M:(x+2)2+(y-1)2=的一條直徑,若橢圓E經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn),求橢圓E的方程.
解] (1)過(guò)點(diǎn)(c,0),(0,b)的直線方程為bx+cy-bc=0,則原點(diǎn)O到直線的距離d==,
15、
由d=c,得a=2b=2,解得離心率=.
(2)解法一:由(1)知,橢圓E的方程為
x2+4y2=4b2.①
依題意,圓心M(-2,1)是線段AB的中點(diǎn),且|AB|=.
易知,AB與x軸不垂直,設(shè)其方程為y=k(x+2)+1,代入①得
(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=-,
x1x2=.
由x1+x2=-4,得-=-4,
解得k=.從而x1x2=8-2b2.
于是|AB|= |x1-x2|
==.
由|AB|=,得 =,解得b2=3.
故橢圓E的方程為+=1.
解法二:
16、由(1)知,橢圓E的方程為x2+4y2=4b2.②
依題意,點(diǎn)A,B關(guān)于圓心M(-2,1)對(duì)稱(chēng),且|AB|=.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則
x+4y=4b2, x+4y=4b2,
兩式相減并結(jié)合x(chóng)1+x2=-4,y1+y2=2,得
-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0.
易知AB與x軸不垂直,則x1≠x2,
所以AB的斜率kAB==.
因此直線AB的方程為y=(x+2)+1,代入②得
x2+4x+8-2b2=0.
所以x1+x2=-4,x1x2=8-2b2.
于是|AB|= |x1-x2|
==.
由|AB|=,得 =,解得b2=3.
故橢圓E的方
17、程為+=1.
函數(shù)與方程思想在解析幾何中的應(yīng)用
(1)利用方程求橢圓離心率的方法
第一步:設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程+=1.
第二步:轉(zhuǎn)化幾何、向量、三角等關(guān)系為數(shù)量關(guān)系.
第三步:利用方程思想建立a、b、c的關(guān)系式.
構(gòu)建離心率e=或e=(a>b>0).
(2)解析幾何中的最值問(wèn)題
解析幾何中的最值是高考的熱點(diǎn),在圓錐曲線的綜合問(wèn)題中經(jīng)常出現(xiàn),求解此類(lèi)問(wèn)題的一般思路為在深刻認(rèn)識(shí)運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程之中,抓住函數(shù)關(guān)系,將目標(biāo)量表示為一個(gè)(或者多個(gè))變量的函數(shù),然后借助于函數(shù)最值的探求來(lái)使問(wèn)題得以解決.
(3)解析幾何中的范圍問(wèn)題的解題步驟
第一步:聯(lián)立方程.
第二步:求解判別式Δ.
18、
第三步:代換.利用題設(shè)條件和圓錐曲線的幾何性質(zhì),得到所求目標(biāo)參數(shù)和判別式不等式中的參數(shù)的一個(gè)等量關(guān)系,將其代換.
第四步:下結(jié)論.將上述等量代換式代入Δ>0或Δ≥0中,即可求出目標(biāo)參數(shù)的取值范圍.
第五步:回顧反思.在研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題時(shí),無(wú)論題目中有沒(méi)有涉及求參數(shù)的取值范圍,都不能忽視了判別式對(duì)某些量的制約,這是求解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵環(huán)節(jié).
【針對(duì)訓(xùn)練5】 已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,以原點(diǎn)O為圓心,橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x-y+2=0相切.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)Q為橢圓C上不在x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),
19、過(guò)點(diǎn)F2作OQ的平行線交橢圓C于M、N兩個(gè)不同的點(diǎn),記△QF2M的面積為S1,△OF2N的面積為S2,令S=S1+S2,求S的最大值.
解 (1)由題意知e==,
所以e2===,
即a2=2b2,又以原點(diǎn)O為圓心,橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓為x2+y2=b2,且與直線x-y+2=0相切,所以b==,
所以a2=4,b2=2,故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.
(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),直線OQ:x=my,則直線MN:x=my+,
由得(m2+2)y2+2my-2=0,
y1+y2=-,y1y2=-.
所以|MN|=|y2-y1|
=
=
=,
因?yàn)镸N
20、∥OQ,所以△QF2M的面積等于△OF2M的面積,S=S1+S2=S△O MN,
因?yàn)辄c(diǎn)O到直線MN:x=my+的距離d=,
所以S=|MN|d==
.
令 =t,則m2=t2-1(t≥1),S==,
因?yàn)閠+≥2=2(當(dāng)且僅當(dāng)t=,即t=1,也即m=0時(shí)取等號(hào)),所以當(dāng)m=0時(shí),S取得最大值.
考點(diǎn) 函數(shù)與方程思想在平面向量中的應(yīng)用
典例6 已知e1,e2是單位向量,e1e2=.若向量b滿足be1=2,be2=,且對(duì)于任意x,y∈R,|b-(xe1+ye2)|≥|b-(x0e1+y0e2)|=1(x0,y0∈R),則x0=______,y0=________,|b|=__
21、______.
解析] 問(wèn)題等價(jià)于|b-(xe1+ye2)|當(dāng)且僅當(dāng)x=x0,y=y(tǒng)0時(shí)取到最小值1,
即|b-(xe1+ye2)|2=b2+x2e+y2e-2xbe1-2ybe2+2xye1e2=|b|2+x2+y2-4x-5y+xy在x=x0,y=y(tǒng)0時(shí)取到最小值1,
又|b|2+x2+y2-4x-5y+xy=x2+(y-4)x+y2-5y+|b|2=2+(y-2)2-7+|b|2,
所以解得
答案] 1 2 2
函數(shù)與方程思想在平面向量中的應(yīng)用策略
平面向量問(wèn)題的函數(shù)(方程)法是把平面向量問(wèn)題,通過(guò)模、數(shù)量積等轉(zhuǎn)化為關(guān)于相應(yīng)參數(shù)的函數(shù)(方程)問(wèn)題,從而利用相關(guān)知識(shí)結(jié)合函
22、數(shù)或方程思想來(lái)處理有關(guān)參數(shù)值問(wèn)題.其一般的解題要點(diǎn)如下:
(1)向量代數(shù)化,利用平面向量中的模、數(shù)量積等,結(jié)合向量的位置關(guān)系、數(shù)量積公式等進(jìn)行代數(shù)化,得到含有參數(shù)的函數(shù)(方程).
(2)代數(shù)函數(shù)(方程)化,利用函數(shù)(方程)思想,結(jié)合相應(yīng)的函數(shù)(方程)的性質(zhì)來(lái)求解問(wèn)題.
(3)得出結(jié)論,根據(jù)條件建立相應(yīng)的關(guān)系式,并得到對(duì)應(yīng)的結(jié)論.
【針對(duì)訓(xùn)練6】 已知e1,e2是平面兩個(gè)相互垂直的單位向量,若向量b滿足|b|=2,be1=1,be2=1,則對(duì)于任意x,y∈R,|b-(xe1+ye2)|的最小值為_(kāi)_______.
答案
解析 |b-(xe1+ye2)|2=b2+x2e+y2e-2xbe1-2ybe2+2xye1e2=|b|2+x2+y2-2x-2y=(x-1)2+(y-1)2+2≥2,
當(dāng)且僅當(dāng)x=1,y=1時(shí),|b-(xe1+ye2)|2取得最小值2,此時(shí)|b-(xe1+ye2)|取得最小值,故填.