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1、
高考數(shù)學精品復習資料
2019.5
突破點3 平面向量
[核心知識提煉]
提煉1 平面向量共線、垂直的兩個充要條件
若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則:
(1)a∥b?a=λb(b≠0)?x1y2-x2y1=0.
(2)a⊥b?ab=0?x1x2+y1y2=0.
提煉2 數(shù)量積常見的三種應用
已知兩個非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),則
(1)證明向量垂直:a⊥b?ab=0?x1x2+y1y2=0.
(2)求向量的長度:|a|==.
(3)求向量的夾角:cos〈a,b〉==
2、.
提煉3 平面向量解題中應熟知的常用結(jié)論
(1)A,B,C三點共線的充要條件是存在實數(shù)λ,μ,有=λ+μ,且λ+μ=1.
(2)C是線段AB中點的充要條件是=(+).
(3)G是△ABC的重心的充要條件為++=0,若△ABC的三個頂點坐標分別為A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),則△ABC的重心坐標為.
(4)==?P為△ABC的垂心.
(5)非零向量a,b垂直的充要條件:a⊥b?ab=0?|a+b|=|a-b|?x1x2+y1y2=0.
(6)向量b在a的方向上的投影為|b|cos θ=,
向量a在b的方向上的投影為|a|cos θ=.
[高考真題回訪]
3、
回訪1 平面向量的線性運算
1.(20xx全國卷Ⅰ)已知點A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),則向量=( )
A.(-7,-4) B.(7,4)
C.(-1,4) D.(1,4)
A [設C(x,y),則=(x,y-1)=(-4,-3),
所以從而=(-4,-2)-(3,2)=(-7,-4).故選A.]
2.(20xx全國卷Ⅰ)設D,E,F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC,CA,AB的中點,則+=( )
A. B.
C. D.
C [如圖,+=+++
=+=(+)
=2=.]
回訪2 平面向量的數(shù)量積
3.(20xx全國卷Ⅱ)向量a
4、=(1,-1),b=(-1,2),則(2a+b)a=( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
C [法一:∵a=(1,-1),b=(-1,2),∴a2=2,ab=-3,
從而(2a+b)a=2a2+ab=4-3=1.
法二:∵a=(1,-1),b=(-1,2),
∴2a+b=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),
從而(2a+b)a=(1,0)(1,-1)=1,故選C.]
4.(20xx全國卷Ⅰ)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b與a垂直,則m=________.
7 [∵a=(-1,2),b=(m,1),
∴a+b=(-1+m,2
5、+1)=(m-1,3).
又a+b與a垂直,∴(a+b)a=0,
即(m-1)(-1)+32=0,
解得m=7.]
5.(20xx全國卷Ⅰ)已知兩個單位向量a,b的夾角為60,c=ta+(1-t)b,若bc=0,則t=________.
2 [|a|=|b|=1,〈a,b〉=60.
∵c=ta+(1-t)b,∴bc=tab+(1-t)b2=t11+(1-t)1=+1-t=1-.
∵bc=0,∴1-=0,∴t=2.]
回訪3 數(shù)量積的綜合應用
6.(20xx全國卷)已知向量a,b夾角為45,且|a|=1,|2a-b|=,則|b|=________.
3 [∵a,b的夾角為45
6、,|a|=1,
∴ab=|a||b|cos 45=|b|,
|2a-b|2=4-4|b|+|b|2=10,
∴|b|=3.]
熱點題型1 平面向量的運算
題型分析:該熱點是高考的必考點之一,考查方式主要體現(xiàn)在以下兩個方面:一是以平面圖形為載體考查向量的線性運算;二是以向量的共線與垂直為切入點,考查向量的夾角、模等.
【例1】(1)(20xx衡水模擬)已知平面向量m,n的夾角為,且|m|=,|n|=2,在△ABC中,=2m+2n,=2m-6n,D為BC的中點,則||=( )
A.2 B.4
C.6 D.8
(2)已知△ABC是邊長為1的等邊三角形,點
7、D,E分別是邊AB,BC的中點,連接DE并延長到點F,使得DE=2EF,則的值為( )
【導學號:04024046】
A.- B.
C. D.
(1)A (2)B [(1)由題意得=(+)=2(m-n),
所以||=2
=2
=2=2,故選A.
(2)如圖所示,=+.
又D,E分別為AB,BC的中點,
且DE=2EF,所以=,=+=,
所以=+.
又=-,
則=(-)
=-2+2-
=2-2-.
又||=||=1,∠BAC=60,
故=--11=.故選B.]
[方法指津]
1.平面向量的線性運算要抓住兩條主線:一是基于“形”,通過作出向量
8、,結(jié)合圖形分析;二是基于“數(shù)”,借助坐標運算來實現(xiàn).
2.正確理解并掌握向量的概念及運算,強化“坐標化”的解題意識,注重數(shù)形結(jié)合思想、方程思想與轉(zhuǎn)化思想的應用.
提醒:運算兩平面向量的數(shù)量積時,務必要注意兩向量的方向.
[變式訓練1](1)在梯形ABCD中,AD∥BC,已知AD=4,BC=6,若=m+n(m,n∈R),則=( )
A.-3 B.-
C. D.3
(2)已知向量a=(-1,2),b=(3,1),c=(x,4),若(a-b)⊥c,則c(a+b)=( )
A.(2,12) B.(-2,12)
C.14 D.10
(1)A (2)C [(1)如圖
9、,過D作DE∥AB.=m+n=+=-+,所以n=-,m=1,所以=-3.故選A.
(2)易知a-b=(-4,1),由(a-b)⊥c,可得(-4)x+14=0,即-4x+4=0,解得x=1,∴c=(1,4).
而a+b=(2,3),∴c(a+b)=12+43=14.故選C.]
熱點題型2 三角與向量的綜合問題
題型分析:平面向量作為解決問題的工具,具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重型”,高考常在平面向量與三角函數(shù)的交匯處命題,通過向量運算作為題目條件.
【例2】 (名師押題)已知向量a=,b=(cos x,-1).
(1)當a∥b時,求cos2x-sin 2x的值;
(2)設函數(shù)f
10、(x)=2(a+b)b,已知在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若a=,b=2,sin B=,求y=f(x)+4cos 的取值范圍.
【導學號:04024047】
[解] (1)∵a∥b,∴cos x+sin x=0, 2分
∴tan x=-, 4分
∴cos2x-sin 2x===. 6分
(2)f(x)=2(a+b)b=sin +, 8分
由正弦定理得=,可得sin A=. 9分
∵b>a,∴A=, 10分
y=f(x)+4cos=sin-. 11分
∵x∈,
∴2x+∈,
∴-1≤y≤-,
即y的取值范圍是. 12分
[方法
11、指津]
平面向量與三角函數(shù)問題的綜合主要利用向量數(shù)量積運算的坐標形式,多與同角三角函數(shù)關系、誘導公式以及和角與倍角等公式求值等問題相結(jié)合,計算的準確性和三角變換的靈活性是解決此類問題的關鍵點.
[變式訓練2] 在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,設m=,n=,且m∥n.
(1)求角B的值;
(2)若△ABC為銳角三角形,且A=,外接圓半徑R=2,求△ABC的周長.
[解] (1)由m∥n,得cos 2A-cos 2B=2coscos, 2分
即2sin2B-2sin2A=2,化簡得sin B=, 4分
故B=或. 6分
(2)由題易知B=,則由A=,得C=π-(A+B)=. 8分
由正弦定理===2R,得a=4sin=2,b=4sin=2,c=4sin=4sin=4=+, 11分
所以△ABC的周長為+2+3. 12分