高考數(shù)學(xué)江蘇專用理科專題復(fù)習(xí)：專題8 立體幾何與空間向量 第54練 Word版含解析

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 訓(xùn)練目標(biāo) 會用空間向量解決立體幾何的證明、求空間角、求距離問題． 訓(xùn)練題型 (1)用空間向量證明平行與垂直；(2)用空間向量求空間角；(3)求長度與距離． 解題策略 (1)選擇適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系；(2)求出相關(guān)點的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示直線的方向向量及平面的法向量；(3)理解并記住用向量表示的空間角和距離的求解公式；(4)探索性問題，可利用共線關(guān)系設(shè)變量，引入?yún)?shù)，列方程求解. 1.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4. (1)設(shè)＝

2、λ，異面直線AC1與CD所成角的余弦值為，求實數(shù)λ的值； (2)若點D是AB的中點，求二面角D－CB1－B的余弦值． 2．(20xx甘肅天水一模)如圖，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD為梯形，AD∥BC，AD⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，SD＝2，∠SDC＝120. (1)求SC與平面SAB所成角的正弦值； (2)求平面SAD與平面SAB所成的銳二面角的余弦值． 3．(20xx南昌月考)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1B＝B1A＝AB＝BC，∠B1BC＝90，D為AC的中點，AB⊥B1D. (1)求證：平面ABB1A1⊥平面ABC； (2)在線

3、段CC1(不含端點)上，是否存在點E，使得二面角E－B1D－B的余弦值為－？若存在，求出的值；若不存在，說明理由． 4．(20xx太原質(zhì)檢) 如圖所示，該幾何體是由一個直三棱柱ADE－BCF和一個正四棱錐P－ABCD組合而成的，AD⊥AF，AE＝AD＝2. (1)證明：平面PAD⊥平面ABFE； (2)求正四棱錐P－ABCD的高h(yuǎn)，使得二面角C－AF－P的余弦值是. 答案精析 立體幾何問題 1．解　(1)由AC＝3，BC＝4，AB＝5得∠ACB＝90， 以C為原點，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C－xyz.

4、 則A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)， 設(shè)D(x，y，z)， 則由＝λ，得＝(3－3λ，4λ，0)， 又＝(－3,0,4)， 由題意知|cos〈，〉|＝ ＝， 解得λ＝或λ＝－. (2)由題意得D(，2,0)，＝(，2,0)，＝(0,4,4)， 設(shè)平面CDB1的法向量為n1， 因為n1＝0，n1＝0，所以可取n1＝(4，－3,3)； 同理，平面CBB1的一個法向量為n2＝(1,0,0)， 并且〈n1，n2〉與二面角D－CB1－B相等或互補(bǔ)， 所以二面角D－CB1－B的余弦值為 |cos〈n1，n2〉|＝. 2．解　如圖，在平面SCD中，過

5、點D作DC的垂線交SC于E，以D為原點，DA，DC，DE所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz. 則有D(0,0,0)，S(0，－1，)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，B(1,2,0)． (1)設(shè)平面SAB的法向量為n＝(x，y，z)， ∵＝(－1,2,0)，＝(－2，－1，)，n＝0，n＝0， ∴ 取y＝，得n＝(2，，5)． 又＝(0,3，－)， 設(shè)SC與平面SAB所成角為θ，則sinθ ＝|cos〈，n〉|＝＝， 故SC與平面SAB所成角的正弦值為. (2)設(shè)平面SAD的法向量為m＝(a，b，c)， ∵＝(2,0,0)，＝(0，－1，)

6、， 則有即 取b＝，得m＝(0，，1)． ∴cos〈n，m〉＝＝ ＝， 故平面SAD與平面SAB所成的銳二面角的余弦值是. 3．(1)證明　取AB的中點O，連結(jié)OD，OB1. 因為B1B＝B1A，所以O(shè)B1⊥AB. 又AB⊥B1D，OB1∩B1D＝B1，OB1?平面B1OD， B1D?平面B1OD， 所以AB⊥平面B1OD， 因為OD?平面B1OD，所以AB⊥OD. 由已知條件知，BC⊥BB1， 又OD∥BC，所以O(shè)D⊥BB1. 因為AB∩BB1＝B，AB?平面ABB1A1，BB1?平面ABB1A1， 所以O(shè)D⊥平面ABB1A1. 因為OD?平面ABC， 所以

7、平面ABB1A1⊥平面ABC. (2)解　 由(1)知OB，OD，OB1兩兩垂直，所以以O(shè)為坐標(biāo)原點，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向， ||為單位長度1，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O－xyz，連結(jié)B1C. 由題設(shè)知，B1(0,0，)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(－1,0,0)，C(1,2,0)，C1(0,2，)，∴＝(0,1，－)，＝(1,0，－)，＝(－1,0，)，(1,2，－)， 設(shè)＝λ(0＜λ＜1)， 由＝＋＝(1－λ，2，(λ－1))， 設(shè)平面BB1D的法向量為m＝(x1，y1，z1)， 則得 令z1＝1，則x1＝y(tǒng)1＝， 所以平面BB1

8、D的法向量為m＝(，，1)． 設(shè)平面B1DE的法向量為n＝(x2，y2，z2)， 則 得 令z2＝1，則x2＝，y2＝， 所以平面B1DE的一個法向量 n＝(，，1)． 設(shè)二面角E－B1D－B的大小為θ， 則cosθ＝＝＝－， 解得λ＝. 所以在線段CC1上存在點E，使得二面角E－B1D－B的余弦值為－，此時＝(負(fù)值舍去)． 4．(1)證明　在直三棱柱ADE－BCF中，AB⊥平面ADE，AD?平面ADE，所以AB⊥AD. 又AD⊥AF，AB∩AF＝A，AB?平面ABFE，AF?平面ABFE， 所以AD⊥平面ABFE. 因為AD?平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABF

9、E. (2) 解　由(1)知AD⊥平面ABFE，以A為原點，AB，AE，AD所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz， 則A(0,0,0)， F(2,2,0)，C(2,0,2)，P(1，－h(huán),1)，其中h為點P到平面ABCD的距離． ＝(2,2,0)，＝(2,0,2)，＝(1，－h(huán),1)． 設(shè)平面AFC的一個法向量為m＝(x1，y1，z1)， 則 取x1＝1，則y1＝z1＝－1， 所以m＝(1，－1，－1)． 設(shè)平面AFP的一個法向量為n＝(x2，y2，z2)， 則 取x2＝1，則y2＝－1，z2＝－1－h(huán)， 所以n＝(1，－1，－1－h(huán))． 因為二面角C－AF－P的余弦值為， 所以|cos〈m，n〉|＝ ＝＝， 解得h＝1(負(fù)值舍去)．