高考數(shù)學(xué)理二輪復(fù)習(xí)教師用書:第1部分 重點強化專題 專題6 第15講 函數(shù)與方程 Word版含答案

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 第15講 函數(shù)與方程 題型1 函數(shù)零點個數(shù)的判斷 (對應(yīng)學(xué)生用書第50頁) ■核心知識儲備………………………………………………………………………· 1.零點存在性定理 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,且有f(a)·f(b)<0,那么,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點,即存在c∈(a,b)使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的根. 2.函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系 函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)的零

2、點就是方程f(x)=g(x)的根,即函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=g(x)的圖象交點的橫坐標. ■典題試解尋法………………………………………………………………………· 【典題1】 (考查數(shù)形結(jié)合法判斷函數(shù)的零點個數(shù))已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:①圖象關(guān)于(1,0)點對稱;②f(-1+x)=f(-1-x);③當(dāng)x∈[-1,1]時,f(x)=則函數(shù)y=f(x)-在區(qū)間[-3,3]上的零點個數(shù)為(  ) A.5   B.6 C.7 D.8 [思路分析] 函數(shù)y=f(x)-在區(qū)間[-3,3]上的零點個數(shù)函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=在[-3,3]上的圖象交點個數(shù)下結(jié)論. [解

3、析] 因為f(-1+x)=f(-1-x),所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=-1對稱,又函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱,如圖,畫出f(x)以及g(x)=在[-3,3]上的圖象.由圖可知,兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)為5,所以函數(shù)y=f(x)-在區(qū)間[-3,3]上的零點個數(shù)為5,故選A. [答案] A 【典題2】 (考查應(yīng)用零點存在性定理判斷函數(shù)的零點個數(shù))已知函數(shù)fn(x)=xln x-(n∈N*,e=2.718 28…為自然對數(shù)的底數(shù)). (1)求曲線y=f1(x)在點(1,f1(1))處的切線方程; (2)討論函數(shù)fn(x)的零點個數(shù). 【導(dǎo)學(xué)號:07804105】 [解] 

4、(1)因為f1(x)=xln x-x2, 所以f1′(x)=ln x+1-2x, 所以f1′(1)=1-2=-1. 又f1(1)=-1,所以曲線y=f1(x)在點(1,f1(1))處的切線方程為y+1=-(x-1),即y=-x. (2)令fn(x)=0,得xln x-=0(n∈N*,x>0), 所以nln x-x=0. 令g(x)=nln x-x,則函數(shù)fn(x)的零點與函數(shù)g(x)=nln x-x的零點相同. 因為g′(x)=-1=,令g′(x)=0,得x=n, 所以當(dāng)x>n時,g′(x)<0;當(dāng)0<x<n時g′(x)>0, 所以函數(shù)g(

5、x)在區(qū)間(0,n]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[n,+∞)上單調(diào)遞減. 所以函數(shù)g(x)在x=n處有最大值,且g(n)=nln n-n. ①當(dāng)n=1時,g(1)=ln 1-1=-1<0,所以函數(shù)g(x)=nln x-x的零點個數(shù)為0; ②當(dāng)n=2時,g(2)=2ln 2-2<2ln e-2=0,所以函數(shù)g(x)=nln x-x的零點個數(shù)為0; ③當(dāng)n≥3時,g(n)=nln n-n=n(ln n-1)≥n(ln 3-1)>n(ln e-1)=0, 因為g(e2n)=nln e2n-e2n<2n2-4n=2n2-(1+3)n<2n2-<2n2-[1+3n+3

6、n(n-1)]=-n2-1<0,且g(1)<0, 所以由函數(shù)零點的存在性定理,可得函數(shù)g(x)=nln x-x在區(qū)間(1,n)和(n,+∞)內(nèi)都恰有一個零點.所以函數(shù)g(x)=nln x-x的零點個數(shù)為2. 綜上所述,當(dāng)n=1或n=2時,函數(shù)fn(x)的零點個數(shù)為0;當(dāng)n≥3且n∈N*時,函數(shù)fn(x)的零點個數(shù)為2. [類題通法] 1.求函數(shù)零點個數(shù)的兩種方法: (1)由函數(shù)零點存在性定理,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷; (2)由函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)極值的正負來確定. 2.零點個數(shù)的討論,對于不可求的零點,需要通過方程轉(zhuǎn)化為初等函數(shù)的交點個數(shù)判斷. 3.零點討論中的參數(shù),針

7、對參數(shù)的討論有兩個方向:一是方程根的個數(shù);二是參數(shù)對構(gòu)造的初等函數(shù)圖象形狀的影響. ■對點即時訓(xùn)練………………………………………………………………………· 1.已知函數(shù)f(x)=,則函數(shù)F(x)=f[f(x)]-2f(x)-的零點個數(shù)是(  ) A.4 B.5 C.6 D.7 A [(數(shù)形結(jié)合思想)令f(x)=t,則函數(shù)F(x)可化為y=f(t)-2t-,則函數(shù)F(x)的零點問題可轉(zhuǎn)化為方程f(t)-2t-=0有根的問題.令y=f(t)-2t-=0,即f(t)=2t+,如圖(1),由數(shù)形結(jié)合得t1=0,1<t2<2,如圖(2),再由數(shù)形結(jié)合得,當(dāng)f(x)=0時,

8、x=2,有1個解,當(dāng)f(x)=t2時,有3個解,所以F(x)=f[f(x)]-2f(x)-共有4個零點. 故選A.] 圖(1)           圖(2) 2.函數(shù)f(x)=cos 2x在區(qū)間[-3,3]上零點的個數(shù)為(  ) A.3 B.4 C.5 D.6 C [設(shè)函數(shù)g(x)=1+x-+-+…-+,h(x)=cos 2x,則f(x)=g(x)h(x),g′(x)=1-x+x2-x3+…-x2 015+x2 016=(1-x)+x2(1-x)+…+x2 014(1-x)+x2 016.當(dāng)-3≤x≤1時,顯然g′(x)≥0;g′(x)=1+x(x-1)+x3(x-1)+…+

9、x2 015(x-1),當(dāng)1<x≤3時,顯然g′(x)>0,所以g(x)在區(qū)間[-3,3]上是增函數(shù),又g(-1)<0,g(0)=1>0,所以g(x)在區(qū)間[-3,3]上有且只有1個零點x0∈(-1,0),且x0≠-.h(x)=cos 2x在區(qū)間[-3,3]上有4個零點:-,-,,,所以函數(shù)f(x)=g(x)h(x)在區(qū)間[-3,3]上有5個零點.] ■題型強化集訓(xùn)………………………………………………………………………· (見專題限時集訓(xùn)T2、T5、T6、T13、T14) 題型2 已知函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍 (對應(yīng)學(xué)生用書第51頁) ■核心知

10、識儲備………………………………………………………………………· 已知函數(shù)有零點(方程有根或圖象有交點)求參數(shù)的值或取值范圍常用的方法: ①直接法:直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或不等式,再通過解方程或不等式確定參數(shù)的值或取值范圍. ②分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)最值問題加以解決. ③數(shù)形結(jié)合法:在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解. ■典題試解尋法………………………………………………………………………· 【典題1】 (考查已知函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)范圍)(20xx·太原二模)已知f(x)=x2ex,若函數(shù)g(x)=f2(x

11、)-kf(x)+1恰有四個零點,則實數(shù)k的取值范圍是(  ) A.(-∞,-2)∪(2,+∞)  B. C. D. [思路分析] f(x)=x2ex畫f(x)的圖象g(x)有四個零點方程t2-kt+1=0在和各有1解實數(shù)k的取值范圍. [解析] (數(shù)形結(jié)合思想)f′(x)=xex(x+2),令f′(x)>0,得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-2),(0,+∞),令f′(x)<0,得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-2,0),所以f(-2)=4e-2>0為函數(shù)f(x)的極大值,f(0)=0為函數(shù)f(x)的極小值,故f(x)≥0,作出其函數(shù)圖象如圖所示.因為函數(shù)g(x)=

12、f2(x)-kf(x)+1恰有四個零點,令f(x)=t,則關(guān)于t的方程t2-kt+1=0有兩個不相同的根,記為t1,t2,且0<t1<4e-2,4e-2<t2,所以,解得k>+,故選D. [答案] D 【典題2】 (考查已知方程根的個數(shù)求參數(shù)范圍)已知函數(shù)f(x)=,其中m>0.若存在實數(shù)b,使得關(guān)于x的方程f(x)=b有三個不同的根,則m的取值范圍是________. 【導(dǎo)學(xué)號:07804106】 [思路分析] 方程f(x)=b有三個不同的根函數(shù)f(x)與函數(shù)y=b有三個不同的交點依據(jù)m的取值畫函數(shù)f(x)的圖象求m的取值范圍. [解析] f(x)=

13、當(dāng)x>m時,f(x)=x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2,其頂點為(m,4m-m2);當(dāng)x≤m時,函數(shù)f(x)的圖象與直線x=m的交點為Q(m,m). ①當(dāng)即0<m≤3時,函數(shù)f(x)的圖象如圖(1)所示,易得直線y=b與函數(shù)f(x)的圖象有一個或兩個不同的交點,不符合題意; ②當(dāng)即m>3時,函數(shù)f(x)的圖象如圖(2)所示,則存在實數(shù)b滿足4m-m2<b≤m,使得直線y=b與函數(shù)f(x)的圖象有三個不同的交點,符合題意. 綜上,m的取值范圍為(3,+∞). 圖(1)           圖(2) [答案] (3,+∞) 【典題3】 (考查導(dǎo)數(shù)

14、在函數(shù)零點中的應(yīng)用)(20xx·全國Ⅰ卷節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點,求a的取值范圍. [思路分析] 求f′(x)求函數(shù)的單調(diào)性及極值確定a的取值范圍. [解] f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a). ①設(shè)a=0,則f(x)=(x-2)ex,f(x)只有一個零點. ②設(shè)a>0,則當(dāng)x∈(-∞,1)時,f′(x)<0; 當(dāng)x∈(1,+∞)時,f′(x)>0, 所以f(x)在(-∞,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增. 又f(1)=-e,f(2)=a,取b滿足b<0且b<ln , 則f(b)>(b-

15、2)+a(b-1)2=a>0, 故f(x)存在兩個零點. ③設(shè)a<0,由f′(x)=0得x=1或x=ln(-2a). 若a≥-,則ln(-2a)≤1,故當(dāng)x∈(1,+∞)時,f′(x)>0,因此f(x)在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增. 又當(dāng)x≤1時,f(x)<0,所以f(x)不存在兩個零點. 若a<-,則ln(-2a)>1,故當(dāng)x∈(1,ln(-2a))時,f′(x)<0; 當(dāng)x∈(ln(-2a),+∞)時,f′(x)>0. 因此f(x)在(1,ln(-2a))內(nèi)單調(diào)遞減,在(ln(-2a),+∞)內(nèi)單調(diào)遞增. 又當(dāng)x≤1時,f(x)<0,所以f(x)不存在兩個零點. 綜上,

16、a的取值范圍為(0,+∞). [類題通法] 已知函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)取值范圍問題的關(guān)鍵有以下幾點:一是將原函數(shù)的零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程根的個數(shù)問題,并進行適當(dāng)化簡、整理;二是構(gòu)造新的函數(shù),把方程根的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為新構(gòu)造的兩個函數(shù)的圖象交點個數(shù)問題;三是對新構(gòu)造的函數(shù)進行畫圖;四是觀察圖象,得參數(shù)的取值范圍. ■對點即時訓(xùn)練………………………………………………………………………· 1.設(shè)[x]表示不小于實數(shù)x的最小整數(shù),如[2.6]=3,[-3.5]=-3.已知函數(shù)f(x)=[x]2-2[x],若函數(shù)F(x)=f(x)-k(x-2)+2在(-1,4]上有兩個零點,則實數(shù)k的取

17、值范圍是(  ) A.∪[2,5) B.∪[5,10) C.∪[5,10) D.∪[5,10) B [令F(x)=0,得f(x)=k(x-2)-2,作出函數(shù)y=f(x)和y=k(x-2)-2的圖象如圖所示.若函數(shù)F(x)=f(x)-k(x-2)+2在(-1,4]上有兩個零點,則函數(shù)f(x)和g(x)=k(x-2)-2的圖象在(-1,4]上有兩個交點.因為g(x)過定點P(2,-2),經(jīng)計算可得kPA=5,kPB=10,kPO=-1,kPC=-,所以k的取值范圍是∪[5,10).故選B.] 2.已知函數(shù)f(x)=ex,若關(guān)于x的不等式[f(x)]2-2f(x)-a≥0在[0,1]上有解,

18、則實數(shù)a的取值范圍為________. 【導(dǎo)學(xué)號:07804107】 (-∞,e2-2e] [由[f(x)]2-2f(x)-a≥0在[0,1]上有解,可得a≤[f(x)]2-2f(x),即a≤e2x-2ex.令g(x)=e2x-2ex(0≤x≤1),則a≤g(x)max,因為0≤x≤1,所以1≤ex≤e,則當(dāng)ex=e,即x=1時,g(x)max=e2-2e,即a≤e2-2e,故實數(shù)a的取值范圍是(-∞,e2-2e].] ■題型強化集訓(xùn)…………………………………………………………………· (見專題限時集訓(xùn)T1、T3、T4、T7、T8、T9、T10、T11、T12) 三年真

19、題| 驗收復(fù)習(xí)效果 (對應(yīng)學(xué)生用書第52頁) 1.(20xx·全國Ⅲ卷)已知函數(shù)f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零點,則a=(  ) A.-   B. C. D.1 C [法一:(換元法)f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)=(x-1)2+a[ex-1+e-(x-1)]-1, 令t=x-1,則g(t)=f(t+1)=t2+a(et+e-t)-1. ∵g(-t)=(-t)2+a(e-t+et)-1=g(t), ∴函數(shù)g(t)為偶函數(shù). ∵f(x)有唯一零點,∴g(t)也有唯一零點. 又g(t)為偶函數(shù),由偶函數(shù)的性質(zhì)知g(0)=0,

20、 ∴2a-1=0,解得a=. 故選C. 法二:(等價轉(zhuǎn)化法)f(x)=0?a(ex-1+e-x+1)=-x2+2x. ex-1+e-x+1≥2=2, 當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取“=”. -x2+2x=-(x-1)2+1≤1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取“=”. 若a>0,則a(ex-1+e-x+1)≥2a, 要使f(x)有唯一零點,則必有2a=1,即a=. 若a≤0,則f(x)的零點不唯一. 故選C.] 2.(20xx·全國Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零點x0,且x0>0,則a的取值范圍是(  ) 【導(dǎo)學(xué)號:07804108】 A.

21、(2,+∞) B.(-∞,-2) C.(1,+∞) D.(-∞,-1) B [f′(x)=3ax2-6x, 當(dāng)a=3時,f′(x)=9x2-6x=3x(3x-2), 則當(dāng)x∈(-∞,0)時,f′(x)>0; x∈時,f′(x)<0; x∈時,f′(x)>0,注意f(0)=1,f=>0,則f(x)的大致圖象如圖(1)所示. 圖(1) 不符合題意,排除A、C. 當(dāng)a=-時,f′(x)=-4x2-6x=-2x(2x+3),則當(dāng)x∈時,f′(x)<0,x∈時,f′(x)>0,x∈(0,+∞)時,f′(x)<0,注意f(0)=1,f=-,則

22、f(x)的大致圖象如圖(2)所示. 圖(2) 不符合題意,排除D.] 3.(20xx·全國Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x. (1)討論f(x)的單調(diào)性; (2)若f(x)有兩個零點,求a的取值范圍. [解] (分類討論思想)(1)f(x)的定義域為(-∞,+∞), f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1). (ⅰ)若a≤0,則f′(x)<0,所以f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞減. (ⅱ)若a>0,則由f′(x)=0得x=-ln a. 當(dāng)x∈(-∞,-ln a)時,f′(x)<0;

23、 當(dāng)x∈(-ln a,+∞)時,f′(x)>0. 所以f(x)在(-∞,-ln a)單調(diào)遞減,在(-ln a,+∞)單調(diào)遞增. (2)(ⅰ)若a≤0,由(1)知,f(x)至多有一個零點. (ⅱ)若a>0,由(1)知,當(dāng)x=-ln a時,f(x)取得最小值,最小值為f(-ln a)=1-+ln a. ①當(dāng)a=1時,由于f(-ln a)=0,故f(x)只有一個零點; ②當(dāng)a∈(1,+∞)時,由于1-+ln a>0, 即f(-ln a)>0,故f(x)沒有零點; ③當(dāng)a∈(0,1)時,1-+ln a<0,即f(-ln a)<0. 又f(-2)=ae-4+(a-2)e-2+2>-2e-2+2>0, 故f(x)在(-∞,-ln a)有一個零點. 設(shè)正整數(shù)n0滿足n0>ln, 則f(n0)=e(ae+a-2)-n0>e-n0>2-n0>0. 由于ln>-ln a, 因此f(x)在(-ln a,+∞)有一個零點. 綜上,a的取值范圍為(0,1).

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