《定積分的簡單應(yīng)用》參考教案

上傳人:飛*** 文檔編號:40607979 上傳時間:2021-11-16 格式:DOCX 頁數(shù):8 大?。?9.48KB
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1、 定積分的簡單應(yīng)用 教學(xué)目標(biāo): 1、 進一步讓學(xué)生深刻體會“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲邊梯形的思想方法; 2、 讓學(xué)生深刻理解定積分的幾何意義以及微積分的基本定理; 3、 初步掌握利用定積分求曲邊梯形的幾種常見題型及方法, 以及利用定積分求一些簡單 的旋轉(zhuǎn)體的體積; 4、 體會定積分在物理中應(yīng)用(變速直線運動的路程、變力沿直線做功) 。 教學(xué)重點: 幾種曲邊梯形面積的求法。 教學(xué)難點: 定積分求體積以及在物理中應(yīng)用。 教學(xué)過程: 一、問題情境 1、求曲邊梯形的思想方法是什么? 2、定積分的幾

2、何意義是什么? 3、微積分基本定理是什么? 二、數(shù)學(xué)應(yīng)用 (一)利用定積分求平面圖形的面積 例 1、求曲線 y sin x x [0, 2 ] 與直線 x 0, x 2 , x 軸所圍成的圖形面積。 3 3 2 2 3 答案: S= 3 sin xdx cos x |o3 2 0

3、 變式引申: 、求直線 y 2x 3 與拋物線 y 2 所圍成的圖形面積。 1 x 答案: S= (2 x+3- x 2 ) dx ( x2 3 x x 3 ) |3 1 32 3 1 3 3 y 2、求由拋物線 y x 2 4x 3 及其在點 M( 0,- 3)

4、 和 N(3,0)處的兩條切線所圍成的圖形的面積。 略解: y/ 2 x 4 ,切線方程分別為 y 4 x 3 、 o x y 2x 6 ,則所求圖形的面積為  y= -x2+4x-3 3 x )]dx 3 [( x ) ( x 2 x )]dx= 9 S= 2 [( x ) ( x 2 4 3 4 3 2 6 4 3 0 3 4 2

5、 3、求曲線 y log 2 x 與曲線 y log 2 ( 4 x) 以及 x 軸所圍成的圖形面積。 略解:所求圖形的面積為 1 1 ( 4 2 2 y )dy S= 【g( y) f ( y)dy 0 0

6、 (4 y 2 2 y log 2 e) |10 4 2 log 2 e 4、在曲線 y x2 ( x 0) 上的某點 A 處作一切線使之與曲線以及 x 軸所圍成的面積為 1 . 試 x 12 求:切點 A 的坐標(biāo)以及切線方程 . y=x2 略解:如圖由題可設(shè)切點坐標(biāo)為 (x0 , x0 2 ) ,則切線方程 A

7、 為 y 2 x0 x x0 2 ,切線與 x 軸的交點坐標(biāo)為 O B C x x0 x0 x0 2 2 3 1 ,0) ,則由題可知有 S 2 dx ( x 2 x x x )dx x0 ( 2 x x 0

8、 2 0 0 0 12 12 2 x0 1 ,所以切點坐標(biāo)與切線方程分別為 A (1,1), y 2x 1 總結(jié): 1、定積分的幾何意義是: 在區(qū)間 [a,b]上的曲線 y f ( x)與直線 x a 、 x b以及 x 軸 所圍成的圖形的面積的代數(shù)和, 即 b Sx軸上方 - Sx軸下方

9、 . 因此求一些曲邊圖形的面積要可 f ( x)dx a 以利用定積分的幾何意義以及微積分基本定理, 但要特別注意圖形面積與定積分不一定相等, 如函數(shù) y sin x x [0,2 ]的圖像與 x 軸圍成的圖形的面積為 4, 而其定積分為 0. 2、求曲邊梯形面積的方法與步驟: (1) 畫圖,并將圖形分割為若干個曲邊梯形; (2) 對每個曲邊梯形確定其存在的范圍,從而確定積分的上、下限; (3) 確定被積函數(shù); (4) 求出各曲邊梯形的面積

10、和,即各積分的絕對值的和。 3、幾種常見的曲邊梯形面積的計算方法: (1) x 型區(qū)域: ①由一條曲線 y f ( x)(其中 f ( x) 0)與直線 x a, x b( a b) 以及 x 軸所圍成的曲邊 b 梯形的面積: S= f ( x)dx (如圖( 1)); a ②由一條曲線 y f ( x)(其中 f ( x) 0)與直線 x a, x b( a b) 以及 x 軸所圍成的曲邊 梯形的面積: S= b b f ( x)dx=- f ( x)dx (如圖( 2)); a

11、a ③由兩條曲線 y f ( x), y g( x)(其中 f ( x) g( x))與直線 x a, x b(a b) 所圍成的曲 b f ( x)- g( x) | dx (如圖( 3)); 邊梯形的面積: S= | a y y a y y f (x) y f ( x) b x a b x y f ( x)  y g(x) b a

12、 x 圖( 1) 圖( 2) 圖( 3) (2) y 型區(qū)域: ①由一條曲線 y f ( x)( 其中 x 0 與直線 y a, y b( a b) 以及 y 軸所圍成的曲邊梯形 ) 的面積 可由 y f ( x) 得 x h( y) ,然后利用 = b h( y)dy 求出(如圖( 4)); , S a

13、 ②由一條曲線 y f ( x)(其中 x 0)與直線 y a, y b( a b) 以及 y 軸所圍成的曲邊梯形 的面積,可由 y f ( x) 先求出 x b b h( y) ,然后利用 S= h( y)dy=- h( y)dy求出(如圖( 5)); a a ③由兩條曲線 y f ( x),y g( x) 與直線 y a, y b(a b) 所圍成的曲邊梯形的面積, 可由 y f ( x), y g( x) 先分別求出

14、x h1 ( y) , x h2 ( y) ,然后利用 S b | h1( y) h2 ( y) | dy 求 = - a 出(如圖y( 6)); y y b b b y f (x) y f ( x) y f ( x) x x a y g(

15、x) x a a 圖( 4) 圖( 5) 圖( 6) (二)、定積分求旋轉(zhuǎn)體體積 例 2:求由曲線 y2 4x, x 1 所圍成的圖形繞 x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。 分析:(1)分割:將旋轉(zhuǎn)體沿 x軸方向?qū)^(qū)間 [0,1] 進行 n 等分;( 2)對區(qū)間 i 1 , i 上 n n 2 的柱體以區(qū)間右端點對應(yīng)的函數(shù)值的平方數(shù) f ( i )

16、 作為底面圓半徑的平方, 以 x 1 作 n n i 2 為圓柱的高,以此圓柱體積近似代替曲邊圓柱的體積,即 Vi x ;( )求和 f ( ) 3 n n n 2 V f ( i x 趨近于 0 時,根據(jù)定積分 )x ;( 4)逼近:當(dāng)分割無限變細時,即 i 1i i 1 n 1 的定義其極限即為旋轉(zhuǎn)體的體積 V= 4 xdx 。 0 1

17、 略解: V= 4xdx 2 0 (三)、定積分在物理中應(yīng)用 (1) 求變速直線運動的路程 例 3、 A、 B 兩站相距 7.2km,一輛電車從 A 站 B 開往站,電車開出 ts 后到達途中 C點,這一段的速度為 1.2t(m/s) ,到 C點的速度為 24m/s,從 C 點到 B 點前的 D 點以等速行駛,從 D 點開始剎車,經(jīng) ts 后,速度為( 24-1.2t ) m/s,在 B 點恰好停車,試求 ( 1) A、C間的距離;( 2) B、 D 間的距離;( 3)電車從 A 站到 B 站所需的時間。 分析:作變速直線運動的物體所經(jīng)過的

18、路程 s, 等于其速度函數(shù) v=v(t)(v(t) ≥0) 在時間 b 區(qū)間 [a,b] 上的定積分 , 即 = S v(t) dt a 略解:( 1)設(shè) A 到 C 的時間為 t 1 則 1.2t=24, 20 2 |20 240( m) t 1 =20(s), 則 AC= 1.2tdt 0.6t 0 0 ( 2)設(shè) D 到 B 的時間為 t 21 則 24-1.2t 2=0, t 21=20(s),

19、 20 則 DB= (24-1.2t)dt 0.6t2 |200 240(m) 0 ( 3)CD=7200-2 240=6720(m), 則從 C到 D的時間為 280(s), 則所求時間為 20+280+20=320 ( s) (2) 、變力沿直線所作的功 問題:物體在變力 x 的作用下做直線運動, 并且物體沿著與 F(x) 相同的方向從 a 點 F( ) x= 移動到 x= b 點,則變力 F(x) b 所做的功為 : W= F ( x) dx

20、 a 例 3:如果 1N能拉長彈簧 1cm,為了將彈簧拉長 6cm,需做功( A ) A 0.18J B 0.26J C 0.12J D 0.28J 略解:設(shè) F kx ,則由題可得 k 0.01 ,所以做功就是求定積分 6 0.18 。 0.01xdx 0 五:回顧與小結(jié): 本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了利用定積分求一些曲邊圖形的面積與體積,即定積分在幾何中應(yīng)用, 以及定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用,要掌握幾種常見圖形面積的求法,并且要注意定積分的幾何 意義,不能等同于圖形的面積,要注意微積分的基本思想的應(yīng)用與理解。 六:課外作業(yè)

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