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第7章 立體幾何
第1節(jié) 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖與直觀圖
考點(diǎn)一 柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征
1.(2013北京,5分)如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,P為對(duì)角線 BD1的三等分點(diǎn),則P到各頂點(diǎn)的距離的不同取值有( )
A.3個(gè) B.4個(gè)
C.5個(gè) D.6個(gè)
解析:本題主要考查空間幾何體及三角形中的邊角關(guān)系,意在考查考生的空間想象能力和空間構(gòu)造能力.解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形.
在Rt△D1DB中,點(diǎn)P到點(diǎn)D1,D,B的距離均不相等,在Rt△D1CB中,點(diǎn)P到
2、點(diǎn)C的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)D1,D,B的距離均不相等,在Rt△D1A1B中,點(diǎn)P到點(diǎn)A1的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)D的距離相等,在Rt△D1C1B中,點(diǎn)P到點(diǎn)C1的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)D的距離相等,在Rt△D1B1B中,點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離相等,在Rt△D1AB中,點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離相等,故選B.
答案:B
2.(2011廣東,5分)正五棱柱中,不同在任何側(cè)面且不同在任何底面的兩頂點(diǎn)的連線稱為它的對(duì)角線,那么一個(gè)正五棱柱對(duì)角線的條數(shù)共有( )
A.20 B.15
C.12 D.10
解析:如圖,在正五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1中,從頂點(diǎn)A出發(fā)的對(duì)角線有兩
3、條:AC1、AD1,同理從B、C、D、E點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線也有兩條,共25=10條.
答案:D
考點(diǎn)二 三視圖與直觀圖
1.(2013新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,5分)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( )
A.16+8π B.8+8π
C.16+16π D.8+16π
解析:本題考查空間組合體的三視圖及組合體的體積計(jì)算,意在考查考生的識(shí)圖能力、空間想象能力以及計(jì)算能力.先根據(jù)三視圖判斷出組合體的結(jié)構(gòu)特征,再根據(jù)幾何體的體積公式進(jìn)行計(jì)算.根據(jù)三視圖可以判斷該幾何體由上、下兩部分組成,其中上面部分為長(zhǎng)方體,下面部分為半個(gè)圓柱,所以組合體的體積為224+π2
4、24=16+8π,選擇A.
答案:A
2.(2013山東,5分)一個(gè)四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等,底面是正方形,其正(主)視圖如圖所示,則該四棱錐側(cè)面積和體積分別是( )
A.4,8 B.4,
C.4(+1), D.8,8
解析:本題主要考查三視圖的應(yīng)用,考查空間想象能力和運(yùn)算能力.由題意可知該四棱錐為正四棱錐,底面邊長(zhǎng)為2,高為2,側(cè)面上的斜高為=,所以S側(cè)=4=4,V=222=.
答案:B
3.(2013浙江,5分)已知某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則該幾何體的體積是( )
A.108 cm3
B.100 cm3
C.92 cm3
D.84 cm3
5、解析:本題主要考查考生對(duì)三視圖與幾何體的相互轉(zhuǎn)化的掌握情況,同時(shí)考查空間想象能力.根據(jù)幾何體的三視圖可知,所求幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)三棱錐,∴幾何體的體積V=663-443=100 cm3.
答案:B
4.(2013湖南,5分)已知正方體的棱長(zhǎng)為1,其俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形,側(cè)視圖是一個(gè)面積為的矩形,則該正方體的正視圖的面積等于( )
A. B.1
C. D.
解析:本題主要考查三視圖與圖形面積的計(jì)算,意在考查考生處理問(wèn)題的能力.由已知,正方體的正視圖與側(cè)視圖都是長(zhǎng)為,寬為1的矩形,所以正視圖的面積等于側(cè)視圖的面積,為.
答案:D
5.(2013四川,5分)一
6、個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體可以是( )
A.棱柱 B.棱臺(tái)
C.圓柱 D.圓臺(tái)
解析:本題主要考查簡(jiǎn)單幾何體的三視圖,意在考查考生數(shù)形結(jié)合的能力.由俯視圖可排除A,B,由正視圖可排除C,選D.
答案:D
6.(2013北京,5分)某四棱錐的三視圖如圖所示,該四棱錐的體積為_(kāi)_______.
解析:本題主要考查三視圖的相關(guān)知識(shí)及錐體的體積公式,意在考查考生的運(yùn)算求解能力,空間想象能力及推理論證能力,解題時(shí)先由三視圖得到直觀圖,再進(jìn)行求解.
由三視圖可知直觀圖是一個(gè)底面為邊長(zhǎng)等于3的正方形,高為1的四棱錐,由棱錐的體積公式得V四棱錐=321=3.
答案:
7、3
7.(2013陜西,5分)某幾何體的三視圖如圖所示,則其表面積為_(kāi)_______.
解析:本題主要考查三視圖和空間幾何體之間的關(guān)系,涉及面積的計(jì)算方法.由三視圖,易知原幾何體是個(gè)半球,其半徑為1,S=π12+4π12=3π.
答案:3π
8.(2012新課標(biāo)全國(guó),5分)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖,則此幾何體的體積為( )
A.6 B.9
C.12 D.18
解析:由三視圖可知該幾何體為底面是斜邊為6的等腰直角三角形,高為3的三棱錐,其體積為633=9.
答案:B
9.(2012廣東,5分)某幾何體的三視
8、圖如圖所示,它的體積為( )
A.72π B.48π
C.30π D.24π
解析:此組合體由半個(gè)球體與一個(gè)圓錐組成,其體積V=π33+π32=30π.
答案:C
10.(2012江西,5分)若一個(gè)幾何體的三視圖如下圖所示,則此幾何體的體積為( )
A. B.5
C. D.4
解析:由三視圖可知,所求幾何體是一個(gè)底面為六邊形,高為1的直棱柱,因此只需求出底面積即可.由俯視圖和主觀圖可知,底面面積為12+2=4,所以該幾何體的體積為41=4.
答案:D
11.(2011浙江,5分)若某幾何體的三視圖如圖所示,則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是( )
9、 A. B. C. D.
解析:根據(jù)正視圖與俯視圖,我們可以將選項(xiàng)A、C排除,根據(jù)側(cè)視圖,可以將D排除.
答案:B
12.(2011北京,5分)某四棱錐的三視圖如圖所示,該四
棱錐的表面積是( )
A.32 B.16+16
C.48 D.16+32
解析:該空間幾何體是底面邊長(zhǎng)為4、高為2的正四棱錐,這個(gè)四棱錐的斜高為2,故其表面積是44+442=16+16.
答案:B
13.(2011江西,5分)將長(zhǎng)方體截去一個(gè)四棱錐,得到的幾何體如圖所示,則該幾何體的左視圖為( )
解析:被截去的四棱錐的三條可見(jiàn)側(cè)棱中有兩條為長(zhǎng)方體的面
10、對(duì)角線,它們?cè)谟覀?cè)面上的投影與右側(cè)面(長(zhǎng)方形)的兩條邊重合,另一條為體對(duì)角線,它在右側(cè)面上的投影與右側(cè)面的對(duì)角線重合,對(duì)照各圖.
答案:D
14.(2010廣東,5分)如圖,△ABC為正三角形,AA′∥BB′∥CC′,CC′⊥平面ABC且3AA′=BB′=CC′=AB,則多面體ABC-A′B′C′的正視圖(也稱主視圖)是( )
解析:由題知AA′
11、3
解析:該空間幾何體上半部分是底面邊長(zhǎng)為4的正方形,高為2的正四棱柱,其體積為442=32(cm 3).下半部分是上、下底面邊長(zhǎng)分別為4、8,高為2的正四棱臺(tái),其體積為(16+48+64)2=(cm3).故其總體積為32+=(cm3).
答案:B
16.(2009山東,5分)一空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( )
A.2π+2 B.4π+2
C.2π+ D.4π+
解析:由幾何體的三視圖可知,該幾何體是由一個(gè)底面直徑和高都是2的圓柱和一個(gè)底面邊長(zhǎng)為,側(cè)棱長(zhǎng)為2的正四棱錐疊放而成.故該幾何體的體積為
V=π122+()2=2π+,
12、故選C.
答案:C
17.(2012安徽,5分)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積等于________.
解析:根據(jù)該幾何體的三視圖可得其直觀圖如圖所示,是底面為直角梯形的直四棱柱,且側(cè)棱AA1=4,底面直角梯形的兩底邊AB=2,CD=5,梯形的高AD=4,故該幾何體的體積V=4(4)=56.
答案:56
18.(2012天津,5分)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為_(kāi)_______ m3.
解析:由三視圖可以看出此幾何體由兩個(gè)棱柱組成,其底面分別為矩形和直角梯形,兩個(gè)棱柱的高都為4,底面積分別為23=6和(1+2)12=1.5,所以此幾何體
13、的體積為64+1.54=24+6=30.
答案:30
19.(2012湖北,5分)已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為_(kāi)_______.
解析:由三視圖可知,該幾何體是由三個(gè)圓柱構(gòu)成的組合體,其中兩邊圓柱的底面直徑是4,高為1,中間圓柱的底面直徑為2,高為4,所以該組合體的體積為2π221+π124=12π.
答案:12π
20.(2011天津,5分)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),
則該幾何體的體積為_(kāi)_______m3.
解析:由三視圖可知,此幾何體的上面是正四棱柱,其長(zhǎng),寬,高分別是2,1,1,此幾何體的下面是長(zhǎng)方體,其長(zhǎng),寬,高分別是2,1,1
14、,因此該幾何體的體積V=211+211=4(m3).
答案:4
21.(2010新課標(biāo)全國(guó),5分)一個(gè)幾何體的正視圖為一個(gè)三角形,則這個(gè)幾何體可能是下列幾何體中的________.(填入所有可能的幾何體前的編號(hào))
①三棱錐 ②四棱錐?、廴庵?
④四棱柱?、輬A錐?、迗A柱
解析:三棱錐、四棱錐和圓錐的正視圖都是三角形,當(dāng)三棱柱的一個(gè)側(cè)面平行于水平面,底面對(duì)著觀察者時(shí)其正視圖是三角形,其余的正視圖均不是三角形.
答案:①②③⑤
22.(2009浙江,4分)若某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則此幾何體的體積是________cm3.
解析:由三視圖可知此幾何體是由兩塊長(zhǎng)、寬均為3 cm,高為1 cm的長(zhǎng)方體構(gòu)成,故其體積為2(331)=18(cm3).
答案:18
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