第八章第4節(jié) 直線、平面平行的判定與性質(zhì)

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1、第四節(jié) 直線、平面平行的判定與性質(zhì) 題型95 證明空間中直線、平面的平行關系 2013年 1．（2013廣東文8）設為直線，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是 A．若，，則 B．若，，則 C．若，，則 D．若，，則 2. （2013浙江文4）設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面， A.若，，則 B.若，，則 C.若，，則 D.若，，則 3. （2013山東文19） 如圖，四棱錐中，，，， ，分別為的中點． （1）求證：平面； （2）求證：平面平面

2、 4. （2013江蘇16）如圖，在三棱錐中，平面平面，，，過作，垂足為，點分別是棱的中點. 求證：（1）平面平面； （2）. 5.（2013遼寧文18）如圖，是圓的直徑，垂直于圓所在的平面，是圓上的點. （1）求證：平面； （2）設為的中點，為的重心，求證：平面. 6. (2013陜西文18）如圖，四棱柱的底面是正方形，為底面中心，平面， . （1）證明：平面平面； （2）求三棱柱的體積. 2014年 1.（2014山東文18）如圖所示，四棱錐中 分別為線段的中點. （1）求證：； （2）求證：.

3、 2.（2014安徽文19） 如圖所示，四棱錐的底面是邊長為的正方形，四條側(cè)棱長均為.點分別是棱上共面的四點，平面平面，平面. （1）求證： （2）若，求四邊形的面積. 2015年 1.（2015廣東文18）如圖所示， 所在的平面與長方形所在的平面垂直， ，，． (1)求證：平面； (2)求證：； (3)求點到平面的距離． 1. 解析 （1）因為四邊形是長方形，所以. 因為平面，平面，所以平面. （2）因為四邊形是長方形，所以. 因為平面平面，平面平面，平面， 所以平面.因為平面，所以. （3）解法一：取的中點，連接和，如圖所示. 因

4、為，所以.在中，. 因為平面平面，平面平面，平面，所以平面. 由（2）知平面，由（1）知，所以平面.因為平面，所以. 設點到平面的距離為，因為， 所以，即， 所以點到平面的距離是. 解法二：過點作交的延長線于點，取的中點，連接，如圖所示. 由（2）知平面，由（1）知，所以平面. 又平面，所以. 因為，所以平面. 則的長度即為點到平面的距離. 因為，所以. 在與中，，所以，所以. 在中，. 則，得.故點到平面的距離為. 2.（2015江蘇16）如圖所示，在直三棱柱中，已知，． 設的中點為，． 求證：（1）平面；（2）． 2

5、.解析 （1）因為四邊形是矩形，所以是的中點. 又是的中點， 因此是的中位線，故. 又平面，平面，所以平面． （2）因為平面，平面，所以，又，，從而平面. 因為平面，所以． 因為，為的中點，所以. 因為，所以平面. 又因為平面，所以． 2016年 1.(2016浙江文2)已知互相垂直的平面，交于直線.若直線，滿足，，則（ ）. A. B. C. D. 1.C 解析 對于選項A，因為，所以.又因為，所以與平行或異面.故選項A不正確；對于選項B和D，因為，，所以或.又因為，所以與的關系平行、相交或異面都有可能.故選項B和D不正確；對于選項C

6、，因為所以因為所以，故選項C正確，故選C. 2.(2016上海文16)如圖所示，在正方體中，分別為的中點，則下列直線中與直線相交的是（ ）. A.直線 B.直線 C.直線 D.直線 2.D 解析 易知與在兩個平行平面內(nèi)，故不可能相交；平面，平面，故不可能相交；同理與也不可能相交；與均在平面內(nèi)，且與不平行，故相交，其交點如圖所示.故選D. 3.（2016江蘇16）如圖所示，在直三棱柱中，分別為的中點，點在側(cè)棱上，且，. 求證：（1）直線平面； （2）平面平面. 3.解析 （1）因為分別為的中點，所以為的中位線，所以，又因

7、為三棱柱為直棱柱，故，所以，又因為平面，且，故平面. （2）三棱柱為直棱柱，所以平面.又平面， 故.又，且，平面， 所以平面.又因為平面，所以. 又因為，，且平面， 所以平面.又因為平面，所以平面平面. 4.（2016天津文17）如圖所示，四邊形是平行四邊形，平面平面，，，，，，，為的中點. （1）求證：平面； （2）求證：平面平面； （3）求直線與平面所成角的正弦值. 4.解析 （1）如圖所示，取的中點為，聯(lián)結(jié)，. 在中，因為是的中點，所以且. 又因為，，所以且，即四邊形是平行四邊形，所以.又平面，平面，所以平面 （2）在中，，，.由余弦定理可得，進而可

8、得，即. 又因為平面平面，平面，平面平面，所以平面. 又因為平面，所以平面平面. （3）因為，所以直線與平面所成角即為直線與平面所成角. 過點作于點，連接，如圖所示. 又因為平面平面，由（2）知平面， 所以直線與平面所成角即為. 在中，. 由余弦定理可得，所以， 因此. 在中，， 所以直線與平面所成角的正弦值為. 5（2016山東文18）在如圖所示的幾何體中，是的中點，. （1）已知，. 求證：； （2）已知分別是和的中點.求證：平面. 5. 解析 （1）因為，所以與確定一個平面，連接，如圖（1）所示. 因為為的中點，所以；同理可得. 又因為，所

9、以平面，因為平面，所以. （2）設的中點為，連接，如圖（2）所示. 在中，是的中點，所以.又，所以；在中，是的中點，所以. 又，，所以平面平面. 因為平面，所以平面. （1） (2) 6.（2016全國丙文19）如圖所示，四棱錐中，底面，，，，為線段上一點，，為的中點. （1）證明平面； （2）求四面體的體積. 6.解析（1）取中點，連接、，因為是中點，，且，又，且，所以，且，所以四邊形是平行四邊形.所以. 又平面，平面，所以平面. (

10、2)由(1) 平面. 所以. 所以. 2017年 1.（2017全國1文6）如圖所示，在下列四個正方體中，，為正方體的兩個頂點，，，為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線與平面不平行的是（ ）. 1.解析 由選項B，，則直線平面；由選項C，，則直線平面；由選項D，，則直線平面.故選項A不滿足.故選A. 2.（2017全國2文18）如圖所示，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面， ，. （1）證明：直線平面； （2）若面積為，求四棱錐的體積. 解析 （1）在平面內(nèi)，因為，所以. 又平面，平面，故平面. （2）取的中點，聯(lián)結(jié)，. 由，及，，得四邊形為正

11、方形，則. 因為側(cè)面是等邊三角形且垂直于底面，平面平面，所以，因為平面，所以平面.因為平面，所以. 設，則，，，. 取的中點，聯(lián)結(jié)，則，所以. 因為的面積為，所以，解得（舍去），，于是，，.所以四棱錐的體積. 3.（2017山東文18）由四棱柱截去三棱錐后得到的幾何體如圖所示，四邊形為正方形，為與的交點，為的中點，平面. （1）證明：平面； （2）設是的中點，證明：平面平面. 解析（1）如圖所示，取中點，聯(lián)結(jié)，由于為四棱柱， 所以，，因此四邊形為平行四邊形，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）因為四邊形是正方形，所以，，分別為和的中點，所以. 又 面，平面，所以

12、. 因為 ，所以. 又平面，，所以平面，又平面，所以平面平面. 解析（1）如圖所示，取中點，聯(lián)結(jié)，由于為四棱柱， 所以，，因此四邊形為平行四邊形，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）因為四邊形是正方形，所以，，分別為和的中點，所以. 又 面，平面，所以. 因為 ，所以. 又平面，，所以平面，又平面， 所以平面平面. 4.（2017江蘇15）如圖所示，在三棱錐中，，， 平面平面， 點（與不重合）分別在棱上，且． 求證：（1）平面； （2）． 解析 （1）在平面內(nèi)，因為，，且點與點不重合，所以. 又因為平面，平面，所以平面. （2）因為平

13、面平面，平面平面， 平面，，所以平面. 因為平面，所以. 又，，平面，平面， 所以平面.又因為平面，所以. 題型96 與平行有關的開放性、探究性問題 2014年 27.（2014四川文18）在如圖所示的多面體中，四邊形和都為矩形. （1）若，求證：直線平面； （2）設，分別是線段，的中點，在線段上是否存在一點，使直線平面？請證明你的結(jié)論. 2015年 1.（2015陜西文18）如圖1所示，在直角梯形中，，， ，是的中點，是與的交點，將沿折起 到圖2中的位置，得到四棱錐時，四棱錐的體積為， 求的值. 1.解析

14、 (1)在圖1中，因為，是的中點，，且所以四邊形是正方形，故. 又在圖2中，，，從而平面. 又 且，所以，即可證得平面； (2)由已知，平面平面，且平面平面. 又由(1)知，，所以平面，即是四棱錐的高， 且.平行四邊形面積， 從而四棱錐的體積， 由，得. 2016年 1.（2016四川文17）如圖所示，在四棱錐中，，，，. （1）在平面內(nèi)找一點，使得直線平面，并說明理由； （2）證明：平面平面 1.解析（1）取棱的中點平面，點即為所求的一個點. 證明如下：因為，所以，且 所以四邊形是平行四邊形，從而 又平面，平面， 所以平面 (說明：取棱的中點，則所找的

15、點可以是直線上任意一點). （2）由已知，，因為，所以直線與相交，所以平面從而因為，所以，且 所以四邊形是平行四邊形.所以，所以又，所以平面又平面，所以平面平面 2.（2016北京文18）如圖所示，在四棱錐中，平面，. （1）求證：平面； （2）求證：平面平面； （3）設點為的中點，在棱上是否存在點，使得平面?說明理由. 2.解析 （1）因為平面，所以. 又因為，.所以平面. （2）由（1）知，平面，又，所以平面. 又平面，所以平面平面 （3）棱上存在點，使得平面.證明如下. 取中點，聯(lián)結(jié).又因為為的中點，所以. 又因為平面，所以平面.