第7篇 第4節(jié) 直線、平面平行的判定與性質(zhì)

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1、第七篇　第4節(jié) 一、選擇題 1．直線a∥平面α，則a平行于平面α內(nèi)的(　　) A．一條確定的直線　　　　 B．所有的直線 C．無窮多條平行的直線 D．任意一條直線 解析：顯然若直線a∥平面α，則a一定平行于經(jīng)過a的平面與α相交的某條直線l，同時，平面α內(nèi)與l平行的直線也都與直線a平行，故選C. 答案：C 2．給出下列關(guān)于互不相同的直線l、m、n和平面α、β、γ的三個命題： ①若l與m為異面直線，l?α，m?β，則α∥β； ②若α∥β，l?α，m?β，則l∥m； ③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，則m∥n. 其中真命題的個數(shù)為(　　) A．3 B

2、．2 C．1 D．0 解析：①當(dāng)異面直線l、m滿足l?α，m?β時，α、β也可以相交；②若α∥β，l?α，m?β，則l、m平行或異面；故①②均錯． ③如圖所示，設(shè)幾何體三側(cè)面分別為α、β、γ.交線l、m、n，若l∥γ， 則l∥m，l∥n， 則m∥n，③正確． 故選C. 答案：C 3．(2014河南周口一模)若平面α∥平面β，點A，C∈α，B，D∈β，則直線AC∥BD的充要條件是(　　) A．AB∥CD B．AD∥CB C．AB與CD相交 D．A，B，C，D共面 解析：當(dāng)AC∥CD時，A，B，C，D一定共面；當(dāng)A，B，C，D共面時，平面ABCD∩α＝AC，平面ABCD

3、∩β＝BD，由α∥β得AC∥BD，故選D. 答案：D 4．(2014銀川質(zhì)檢)在空間中，下列命題正確的是(　　) A．若a∥α，b∥a，則b∥α B．若a∥α，b∥α，a?β，b?β，則β∥α C．若α∥β，b∥α，則b∥β D．若α∥β，a?α，則a∥β 解析：若a∥α，b∥a，則b∥α或b?α，故選項A錯誤； B中當(dāng)a∥b時，α、β可能相交，故選項B錯誤； 若α∥β，b∥α，則b∥β或b?β，故選項C錯誤． 選項D為兩平面平行的性質(zhì)，故選D. 答案：D 5．設(shè)平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中點，當(dāng)A、B分別在α、β內(nèi)移動時，那么所有的動點C(　　) A

4、．不共面 B．當(dāng)且僅當(dāng)A、B在兩條相交直線上移動時才共面 C．當(dāng)且僅當(dāng)A、B在兩條給定的平行直線上移動時才共面 D．不論A、B如何移動都共面 解析：作平面γ∥α，γ∥β，且平面γ到平面α的距離等于平面γ到平面β的距離，則不論A、B分別在平面α、β內(nèi)如何移動，所有的動點C都在平面γ內(nèi)，故選D. 答案：D 6．(2014陜西師大附中四模)設(shè)α，β是兩個不同的平面，l，m為兩條不同的直線，命題p：若α∥β，l?α，m?β，則l∥m；命題q：若l∥α，m⊥l，m?β，則α⊥β.下列命題為真命題的是(　　) A．p∨q B．p∧q C．(綈p)∨q D．p∧(綈q) 解析：分別在

5、兩個平行平面內(nèi)的直線未必平行，故命題p是假命題；當(dāng)m⊥l，l∥α?xí)r，m不一定與α垂直，α⊥β不一定成立，命題q也是假命題．(綈p)∨q為真命題，故選C. 答案：C 二、填空題 7．在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中點，則BD1與平面ACE的位置關(guān)系為________． 解析：如圖所示，連接BD與AC交于O點，連接OE，則OE∥BD1， 而OE?平面ACE，BD1?平面ACE， 所以BD1∥平面ACE. 答案：平行 8．已知平面α∥平面β，P是α、β外一點，過點P的直線m與α、β分別交于A、C，過點P的直線n與α、β分別交于B、D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，

6、則BD的長為________． 解析：分點P在一個平面的一側(cè)或在兩個平面之間兩種情況，由兩平面平行性質(zhì)定理得AB∥CD，截面圖如圖所示，由相似比得BD＝或BD＝24. 答案：或24 9．α、β、γ是三個平面，a、b是兩條直線，有下列三個條件：①a∥γ，b?β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a?γ.如果命題“α∩β＝a，b?γ，且________，則a∥b”為真命題，則可以在橫線處填入的條件是________(填上你認為正確的所有序號)． 解析：①中，a∥γ，a?β，b?β，β∩γ＝b?a∥b(線面平行的性質(zhì))． ②如圖所示，在正方體中，α∩β＝a，b?γ，a∥γ，b∥β，而a、b異

7、面，故②錯． ③中，b∥β，b?γ，a?γ，a?β，β∩γ＝a?a∥b(線面平行的性質(zhì))． 答案：①③ 10．如圖所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分別是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運動，則M滿足條件________時，有MN∥平面B1BDD1. 解析：由題意，HN∥平面B1BDD1，F(xiàn)H∥平面B1BDD1. ∵HN∩FH＝H， ∴平面NHF∥平面B1BDD1. ∴當(dāng)M在線段HF上運動時， 有MN∥平面B1BDD1. 答案：M在線段HF上 三、解答題 11．如圖，幾何體EABCD是四棱

8、錐，△ABD為正三角形，CB＝CD，EC⊥BD. (1)求證：BE＝DE； (2)若∠BCD＝120，M為線段AE的中點，求證：DM∥平面BEC. 證明：(1)如圖所示，取BD的中點O，連接CO，EO. 由于CB＝CD，所以CO⊥BD. 又EC⊥BD，EC∩CO＝C， CO，EC?平面EOC， 所以BD⊥平面EOC， 因此BD⊥EO. 又O為BD的中點，所以BE＝DE. (2)法一　如圖所示，取AB的中點N，連接DM，DN，MN. 因為M是AE的中點， 所以MN∥BE. 又MN?平面BEC， BE?平面BEC， 所以MN∥平面BEC. 又因為△ABD為正三角形，

9、 所以∠BDN＝30. 又CB＝CD，∠BCD＝120， 因此∠CBD＝30.所以DN∥BC. 又DN?平面BEC，BC?平面BEC， 所以DN∥平面BEC. 又MN∩DN＝N， 所以平面DMN∥平面BEC. 又DM?平面DMN， 所以DM∥平面BEC. 法二　如圖所示，延長AD，BC交于點F，連接EF. 因為CB＝CD，∠BCD＝120， 所以∠CBD＝30. 因為△ABD為正三角形， 所以∠BAD＝∠ABD＝60，∠ABC＝90， 因此∠AFB＝30， 所以AB＝AF. 又AB＝AD，所以D為線段AF的中點， 連接DM，由點M是線段AE的中點，得DM∥E

10、F. 又DM?平面BEC，EF?平面BEC， 所以DM∥平面BEC. 12.如圖所示，棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD為菱形，平面AA1C1C⊥平面ABCD. (1)證明：BD⊥AA1； (2)證明：平面AB1C∥平面DA1C1； (3)在直線CC1上是否存在點P，使BP∥平面DA1C1? (1)證明：因為底面ABCD為菱形， 所以BD⊥AC. 由于平面AA1C1C⊥平面ABCD， 平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC， 所以BD⊥平面AA1C1C，故BD⊥AA1. (2)證明：由棱柱ABCDA1B1C1D1的性質(zhì)知AB1∥DC1，A1D∥B1C，又AB1∩B1C＝B1，A1D∩DC1＝D. 故平面AB1C∥平面DA1C1. (3)解：存在這樣的點P. 因為A1B1綊AB綊DC， 所以四邊形A1B1CD為平行四邊形， 所以A1D∥B1C. 在C1C的延長線上取點P， 使C1C＝CP，連接BP. 因為B1B綊CC1， 所以BB1綊CP， 所以四邊形BB1CP為平行四邊形， 則BP∥B1C， 所以BP∥A1D， 而BP?平面DA1C1，A1D?平面DA1C1， 所以BP∥平面DA1C1. 故在C1C的延長線上存在C1C＝CP的點P符合題意．