精編【課堂坐標(biāo)】高中數(shù)學(xué)北師大版必修三學(xué)業(yè)分層測評:第3章 3 模擬方法——概率的應(yīng)用 Word版含解析

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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料 學(xué)業(yè)分層測評 (建議用時(shí):45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1.灰太狼和紅太狼計(jì)劃在某日12:00~18:00這個(gè)時(shí)間段內(nèi)外出捉羊,則灰太狼和紅太狼在14:00~15:00之間出發(fā)的概率為(  ) A.          B. C. D. 【解析】 P==. 【答案】 D 2.已知函數(shù)f(x)=log2x,x∈,在區(qū)間上任取一點(diǎn)x0,則使f(x0)≥0的概率為(  ) A.1 B. C. D. 【解析】 欲使f(x)=log2x≥0,則x≥1,而x∈,∴x0∈[1,2], 由幾何概型概率公式知P==. 【答案】 C 3.(2

2、014遼寧高考)若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖333所示的長方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,則質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是(  ) 圖333 A. B. C. D. 【解析】 由題意AB=2,BC=1,可知長方形ABCD的面積S=21=2,以AB為直徑的半圓的面積S1=π12=.故質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率P==. 【答案】 B 4.A是圓上的一定點(diǎn),在圓上其他位置任取一點(diǎn)B,連接A、B兩點(diǎn),它是一條弦,則它的長度大于等于半徑長度的概率為(  ) A. B. C. D. 【解析】 如圖,當(dāng)取點(diǎn)落在B、C兩點(diǎn)時(shí),弦長等于半徑;當(dāng)取點(diǎn)落在

3、劣弧上時(shí),弦長小于半徑;當(dāng)取點(diǎn)落在優(yōu)弧上時(shí),弦長大于半徑,所以弦長超過半徑的概率P==. 【答案】 B 5.在區(qū)間[0,1]內(nèi)任取兩個(gè)數(shù),則這兩個(gè)數(shù)的平方和也在[0,1]內(nèi)的概率是 (  ) A. B. C. D. 【解析】 設(shè)在[0,1]內(nèi)取出的數(shù)為a,b,若a2+b2也在[0,1]內(nèi),則有0≤a2+b2≤1.如圖,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)檫呴L為1的正方形,滿足a2+b2在[0,1]內(nèi)的點(diǎn)在單位圓內(nèi)(如陰影部分所示),故所求概率為=. 【答案】 A 二、填空題 6.函數(shù)f(x)=x-2,x∈[-5,5],那么任取一點(diǎn)x0∈[-5,5],使f(x0)≤0的概率是_

4、_______. 【解析】 由f(x0)≤0得x0-2≤0,x0≤2,又x0∈[-5,5],∴x0∈[-5,2]. 設(shè)使f(x0)≤0為事件A,則事件A構(gòu)成的區(qū)域長度是2-(-5)=7,全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度是5-(-5)=10,則P(A)=. 【答案】  7.圓上的任意兩點(diǎn)間的距離大于圓的內(nèi)接正三角形邊長的概率是________. 【解析】 如圖所示,從點(diǎn)A出發(fā)的弦中,當(dāng)弦的另一個(gè)端點(diǎn)落在劣弧上的時(shí)候,滿足已知條件,當(dāng)弦的另一個(gè)端點(diǎn)在劣弧或劣弧上的時(shí)候不能滿足已知條件,又因?yàn)椤鰽BC是正三角形,所以弦長大于正三角形邊長的概率是. 【答案】  8.(2016邵陽高一檢測)在[-6

5、,9]內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù)m,設(shè)f(x)=-x2+mx+m-,則函數(shù)f(x)的圖像與x軸有公共點(diǎn)的概率等于________. 【解析】 若函數(shù)f(x)=-x2+mx+m-的圖象與x軸有公共點(diǎn),則Δ=m2+4≥0,又m∈[-6,9], 得m∈[-6,-5]或m∈[1,9], 故所求的概率為 P==. 【答案】  三、解答題 9.如圖334所示,在邊長為25 cm的正方形中有兩個(gè)腰長均為23 cm的等腰直角三角形,現(xiàn)有粒子均勻散落在正方形中,粒子落在中間陰影區(qū)域的概率是多少? 圖334 【解】 因?yàn)榱W勇湓谡叫蝺?nèi)任何一點(diǎn)是等可能的,所以符合幾何概型的條件.設(shè)A={粒子落在中間陰影

6、區(qū)域},則依題意得正方形面積為2525=625(cm2),兩個(gè)等腰直角三角形的面積為22323=529(cm2),陰影區(qū)域的面積為625-529=96(cm2),所以粒子落在中間陰影區(qū)域的概率為P(A)=. 10.已知向量a=(1,2),b=(x,-y). 【導(dǎo)學(xué)號:63580042】 (1)若x,y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時(shí)第一次、第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),求滿足ab=-1的概率; (2)若x,y∈[1,6],求滿足ab>0的概率. 【解】 (1)設(shè)(x,y)表示一個(gè)基本事件, 則拋擲兩次骰子的所有基本事件有(1,1),(1

7、,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),…,(6,5),(6,6),共36個(gè). 用A表示事件“ab=-1”,即x-2y=-1,則A包含的基本事件有(1,1),(3,2),(5,3),共3個(gè). ∴P(A)==. (2)用B表示事件“ab>0”,即x-2y>0. 試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)? {(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6}, 構(gòu)成事件B的區(qū)域?yàn)閧(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6,x-2y>0},如圖所示. 所以所求的概率為P(B)==. [能力提升] 1.如圖335,在圓心角為直角的扇形OAB中,分別以O(shè)A,OB為直徑作兩個(gè)半

8、圓.在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是(  ) 圖335 A.1-      B.- C. D. 【解析】 設(shè)扇形的半徑為2,則其面積為=π,記由兩段小圓弧圍成的陰影面積為S1,另外三段圓弧圍成的陰影面積為S2,則S1=2=-1,S2=22-212+-1=-1,故陰影部分總面積為2=π-2,因此任取一點(diǎn),此點(diǎn)取自陰影部分的概率為=1-. 【答案】 A 2.在一球內(nèi)有一棱長為1的內(nèi)接正方體,一動(dòng)點(diǎn)在球內(nèi)運(yùn)動(dòng),則此點(diǎn)落在正方體內(nèi)部的概率為(  ) A. B. C. D. 【解析】 由題意可知棱長為1的內(nèi)接正方體的體積為V1=1. 又球的直徑是正

9、方體的體對角線,故球的半徑R=, 球的體積V2=πR3=. 則此點(diǎn)落在正方體內(nèi)部的概率為 ==. 【答案】 D 3.如圖336,是一殘缺的輕質(zhì)圓形轉(zhuǎn)盤,其中殘缺的每小部分與完整的每小部分的角度比是3∶2,面積比是3∶4.某商家用其來與顧客進(jìn)行互動(dòng)游戲,中間自由轉(zhuǎn)動(dòng)的指針若指向殘缺部分,商家贏;指針若指向完整部分,顧客贏.則顧客贏的概率為________. 圖336 【解析】 指針在轉(zhuǎn)盤上轉(zhuǎn)動(dòng),只與所轉(zhuǎn)過的角度有關(guān)系,且指針自由轉(zhuǎn)動(dòng),指向哪一部分是隨機(jī)的,因此該問題屬于角度型幾何概型. 因其角度比為3∶2,故商家贏的概率為=,顧客贏的概率為=. 【答案】  4.已知關(guān)于x

10、的二次函數(shù)f(x)=ax2-4bx+1. (1)設(shè)集合P={1,2,3}和Q={-1,1,2,3,4},分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a和b,求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù)的概率; (2)設(shè)點(diǎn)(a,b)是區(qū)域內(nèi)的一點(diǎn),求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù)的概率. 【解】 (1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ax2-4bx+1的圖象的對稱軸為直線x=,要使f(x)=ax2-4bx+1在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)a>0且≤1,即2b≤a. 若a=1,則b=-1; 若a=2,則b=-1或1; 若a=3,則b=-1或1. 所以事件包含基本事件的個(gè)數(shù)是1+2+2=5.又∵a,b所取的所有可能結(jié)果為35=15,所以所求事件的概率為=. (2)由(1)知當(dāng)且僅當(dāng)2b≤a且a>0時(shí),函數(shù)f(x)=ax2-4bx+1在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù), 依條件可知事件的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧(a,b)|a+b-8≤0,且a>0,b>0},構(gòu)成所求事件的區(qū)域?yàn)榭尚杏蛑袑?yīng)的三角形部分.由得交點(diǎn)坐標(biāo)為, 所以所求事件的概率為P==.

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