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1、2019年北師大版精品數(shù)學(xué)資料
單元測試三 簡單幾何體的面積和體積
班級____ 姓名____ 考號____ 分數(shù)____
本試卷滿分100分,考試時間90分鐘.
一、選擇題:本大題共10小題,每小題4分,共40分.在下列各題的四個選項中,只有一個選項是符合題目要求的.
1.兩個半徑為1的鐵球,熔化成一個球,這個大球的半徑為( )
A.2 B. C. D.
答案:C
解析:根據(jù)體積不變:π132=πr3,解得r=.
2.長方體一個頂點上的三條棱長分別為3,4,x,表面積為108,則x等于( )
A.2
2、 B.3 C.5 D.6
答案:D
解析:該長方體的表面積為2(34+3x+4x)=108,x=6.
3.設(shè)等腰梯形ABCD是圓臺的一個軸截面,且AD∥BC,AB=3,AD=2,BC=4,則圓臺的側(cè)面積為( )
A.9π B.10π C.14π D.18π
答案:A
解析:由圓臺的軸截面及相關(guān)數(shù)據(jù)知圓臺的底面半徑分別為1,2,母線長為3,則圓臺的側(cè)面積為π(r1+r2)l=π(1+2)3=9π.
4.過圓錐的軸的平面截圓錐所得三角形是邊長為2的等邊三角形,則該圓錐的體積為( )
A. B. C. D.
答案:A
解析:正方體的對角線長等于球的直徑,該球
3、的半徑為R,則a=2R,所以球的表面積為S=4πR2=π(2R)2=3πa2=3π,a=1.
5.某幾何體的三視圖如圖所示,根據(jù)圖中數(shù)據(jù),可得該幾何體的體積是( )
A.3 + B.+3
C.2 +3 D.3 +2
答案:B
解析:該幾何體是上面是正四棱錐,下面為正方體的組合體,體積為V=()3+()2=3 +.
6.一個棱長為a的正方體的頂點都在一個球面上,該球的表面積為3π,則a等于( )
A.1 B. C. D.2
答案:A
解析:正方體的對角線長等于球的直徑,該球的半徑為R,則a=2R,所以球的表面積為S=4πR2=π(2R)2=3πa2=3
4、π,a=1.
7.兩個平行于圓錐底面的平面將圓錐的高分成相等的三段,那么圓錐被分成的三部分的體積比是( )
A.1:2:3 B.1:7:19
C.3:4:5 D.1:9:27
答案:B
解析:考查幾何體的體積.可以直接求,也可以用間接法.本題還可以選取特例或特殊值.
根據(jù)錐體的平行截面性質(zhì),如圖所示,三個圓錐高的比是1:2:3,從而它們的體積比是1:8:27.圓錐被分成的三部分的體積的比是1:7:19.
8.如圖所示,長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是邊長為2的正方形,高為1,M為線段AB的中點,則三棱錐C-MC1D1的體積為( )
A. B.
5、
C.1 D.
答案:D
解析:S△C1D1C=12=1,∴VC-MC1D1=VM-C1D1C=S△C1DCh=12=.
9.已知軸截面是正方形的圓柱,高與球的直徑相等,則圓柱的表面積和球的表面積的比是( )
A.65 B.54 C.43 D.32
答案:D
解析:設(shè)球半徑為R,則圓柱的高為2R,底面圓的半徑為R,==.
10.球面上有A,B,C三點,AB=AC=2,BC=2 ,球心到平面ABC的距離為1,則球的表面積為( )
A.4π B.6π C.12π D.4 π
答案:C
解析:由題意知AB2+AC2=BC2,所以△ABC為直角三角形,故△
6、ABC所在圓的圓心在斜邊BC的中點處,則有R2=12+()2=3,所以S球=4πR2=4π3=12π,故選C.
二、填空題:本大題共3小題,每小題4分,共12分.把答案填在題中橫線上.
11.一個球的表面積是144πcm2,它的體積是________.
答案:288πcm3
解析:由公式得S=4πR2=144π,故R=6.則V=R3=63=288π.
12.已知一個凸多面體共有9個面,所有棱長均為1,其平面展開圖如圖所示,則該凸多面體的體積V=________.
答案:1+
解析:該凸多面體由一個正方體及一個正四棱錐組成,體積V=1+1=1+.
13.現(xiàn)要建造一個長方體形狀
7、的倉庫,其內(nèi)部的高為3m,長和寬的和為20m,那么倉庫的容積的最大值是________m3.
答案:300
解析:設(shè)倉庫的長為x,則倉庫容積為3x(20-x)=-3x2+60x=-3(x-10)2+300,所以當倉庫底面為一邊長為10m的正方形時,容積最大為300m3.
三、解答題:本大題共5小題,共48分,其中第14小題8分,第15~18小題各10分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
14.已知圓臺的上、下底面半徑分別是2、5,且側(cè)面面積等于兩底面面積之和,求該圓臺的母線長.
解:設(shè)圓臺的上、下底面半徑為r、R,母線為l,則有πr2+πR2=π(r+R)l,所以l===.即
8、該圓臺的母線長為.
15.長、寬、高分別為80 cm,60 cm,50 cm的水槽中有水216 000 cm3.
(1)求水槽中水面高度;
(2)現(xiàn)在水槽中放入一個直徑為30 cm的鐵球,求此時水面的高度(結(jié)果保留一位小數(shù)).
解:設(shè)水面高度為x cm,
(1)由8060x=216 000得x=45,所以水面高度為45 cm.
(2)球體積為πr3=4 500π,水槽體積為806050=240 000,
由于240 000-216 000=24 000>4 500π,所以8060x=216 000+4 500π,x=45+π≈47.9
此時水面高度約為47.9 cm.
1
9、6.已知三棱柱三個側(cè)面都是矩形,若底面的一邊長為2 cm,另兩邊長都為3 cm,側(cè)棱長為4 cm,求它的體積和表面積.
解:由題意設(shè)AB=AC=3,BC=2,AA′=4,則底面BC邊上的高為=2,
所以體積為V=224=8 cm3,
表面積為S=222+(3+3+2)4=4+32(cm2).
17.一個高為16的圓錐內(nèi)接于一個體積為972π的球,在圓錐內(nèi)又有一個內(nèi)切球,求:
(1)圓錐的側(cè)面積;
(2)圓錐的內(nèi)切球的體積.
解:(1)
如圖所示,作軸截面,⊙O1內(nèi)切于△ABC.設(shè)⊙O的半徑為R,由題意,得πR3=972π,R3=729,R=9,∴CE=18.由已知CD=16
10、,故ED=2.連結(jié)AE,∵CE是⊙O的直徑,∴CA⊥AE,又AB⊥CE,∴CA2=CDCE=1618=288,CA=12 .AD2=CDDE=162=32,AD=4 .
于是S圓錐側(cè)=π4 12 =96π.
(2)設(shè)內(nèi)切球半徑為r.
∵△ABC的周長為2(12 +4 )=32 ,
∴r32 =8 16.
∴r=4,于是V內(nèi)切球=πr3=π.
18.斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形,頂點A1在底面ABC的射影O是△ABC的中心,AA1與AB的夾角為45.
(1)求證:AA1⊥面A1BC;
(2)求此棱柱的側(cè)面積;
(3)求此棱柱的體積.
解:(1)如圖所
11、示,
∵底面△ABC為正三角形,點A1在面ABC上的射影點O為△ABC的中心,
∴點O在AD上,(D為BC中點).
∵AD⊥BC,∴BC⊥AA1.
又∵A1點在面ABC上射影點O為△ABC的中心,而△ABC為正三角形,OA=OB,
∴A1A=A1B.又∵∠A1AB=45,
∴△A1AB為等腰直角三角形,即AA1⊥A1B.
∵AA1⊥BC,A1B∩BC=B,
∴AA1⊥面A1BC.
(2)∵底面△ABC為正三角形,且點A1在面ABC上的射影點O為△ABC的中心,
∴側(cè)面AA1B1B與側(cè)面AA1C1C全等,由(1)知側(cè)面BB1C1C為矩形.
∵AB=2,
∴S?AA1C1C=2S△AA1B
=2()2
=2,
S?BB1C1C=2=2 .
∴S側(cè)=22+2 =4+2 .
(3)∵A1O== =,
∴V棱柱=Sh=AB2=4=.