高考數(shù)學(xué)人教A版理科含答案配套訓(xùn)練 3.3
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1、 精品資料 3.3 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 1. 利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟 (1)分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系,列出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型,寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x); (2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x),解方程f′(x)=0; (3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和f′(x)=0的點(diǎn)的函數(shù)值的大小,最大(小)者為最大(小)值; (4)回歸實(shí)際問題作答. 2. 不等式問題 (1)證明不等式時(shí),可構(gòu)造函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極值或最值問題. (2)求解不等式恒成立問題時(shí),可以考慮將參數(shù)分離出來,將參數(shù)范圍問題轉(zhuǎn)化
2、為研究新函數(shù)的值域問題. 1. 判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊? (1)連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值. ( √ ) (2)函數(shù)f(x)=x2-3x+2的極小值也是最小值. ( √ ) (3)函數(shù)f(x)=+x-1和g(x)=-x-1都是在x=0時(shí)取得最小值-1. ( ) (4)函數(shù)f(x)=x2ln x沒有最值. ( ) (5)已知x∈(0,),則sin x>x. ( ) (6)若a>2,則方程x3-ax2+1=0在(0,2)上沒有實(shí)數(shù)根. ( ) 2. (2013福建)設(shè)
3、函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,x0(x0≠0)是f(x)的極大值點(diǎn),以下結(jié)論一定正確的是 ( ) A.?x∈R,f(x)≤f(x0) B.-x0是f(-x)的極小值點(diǎn) C.-x0是-f(x)的極小值點(diǎn) D.-x0是-f(-x)的極小值點(diǎn) 答案 D 解析 A錯(cuò),因?yàn)闃O大值未必是最大值.B錯(cuò),因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)與函數(shù)y=f(-x)的圖象關(guān)于y軸對稱,-x0應(yīng)是f(-x)的極大值點(diǎn).C錯(cuò),函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=-f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱,x0應(yīng)為-f(x)的極小值點(diǎn).D對,函數(shù)y=f(x)與y=-f(-x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,-x0應(yīng)為y=-f(-x
4、)的極小值點(diǎn). 3. 設(shè)直線x=t與函數(shù)f(x)=x2,g(x)=ln x的圖象分別交于點(diǎn)M,N,則當(dāng)|MN|達(dá)到最小時(shí)t的值為 ( ) A.1 B. C. D. 答案 D 解析 |MN|的最小值,即函數(shù)h(x)=x2-ln x的最小值, h′(x)=2x-=, 顯然x=是函數(shù)h(x)在其定義域內(nèi)唯一的極小值點(diǎn), 也是最小值點(diǎn),故t=. 4. 若函數(shù)f(x)=x3-3x+a有3個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________. 答案 (-2,2) 解析 由于函數(shù)f(x)是連續(xù)的,故只需要兩個(gè)極值異號即可.f
5、′(x)=3x2-3,令3x2-3=0,得x=1,只需f(-1)f(1)<0,即(a+2)(a-2)<0,故a∈(-2,2). 5. 若f(x)=,00,即f′(x)>0, ∴f(x)在(0,e)上為增函數(shù), 又∵00.設(shè)兩曲線y=f(x),y=g(x)有公共點(diǎn),且在該點(diǎn)處的切線相同
6、. (1)用a表示b,并求b的最大值; (2)求證:f(x)≥g(x)(x>0). 思維啟迪 (1)設(shè)公共點(diǎn)為(x0,y0),則f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0)可得a,b的關(guān)系; (2)構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x),求F(x)的最值. (1)解 設(shè)兩曲線的公共點(diǎn)為(x0,y0), f′(x)=x+2a,g′(x)=, 由題意知f(x0)=g(x0),f′(x0)=g′(x0), 即 由x0+2a=,得x0=a或x0=-3a(舍去). 即有b=a2+2a2-3a2ln a=a2-3a2ln a. 令h(t)=t2-3t2ln t(t>0),則h′(
7、t)=2t(1-3ln t).
于是當(dāng)t(1-3ln t)>0,即0
8、>0時(shí),有f(x)-g(x)≥0,
即當(dāng)x>0時(shí),f(x)≥g(x).
思維升華 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的步驟
(1)構(gòu)造新函數(shù),并求其單調(diào)區(qū)間;
(2)判斷區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值與0的關(guān)系;
(3)判斷定義域內(nèi)函數(shù)值與0的大小關(guān)系,證不等式.
當(dāng)0
9、即tan x->0. 故tan x>x+. 題型二 利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍 例2 已知函數(shù)f(x)=(a∈R),g(x)=. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值; (2)若函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象在區(qū)間(0,e2]上有公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 思維啟迪 (1)解f′(x)=0,根據(jù)函數(shù)值的變化得到單調(diào)區(qū)間、極值; (2)構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x),通過F(x)的單調(diào)性和函數(shù)值的變化研究f(x)、g(x)的交點(diǎn)情況. 解 (1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞), f′(x)=. 令f′(x)=0,得x=e1-a, 當(dāng)x∈(0,e1-a)時(shí),f′
10、(x)>0,f(x)是增函數(shù);
當(dāng)x∈(e1-a,+∞)時(shí),f′(x)<0,f(x)是減函數(shù).
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,e1-a],
單調(diào)遞減區(qū)間為[e1-a,+∞),
極大值為f(x)極大值=f(e1-a)=ea-1,無極小值.
(2)令F(x)=f(x)-g(x)=,
則F′(x)=.
令F′(x)=0,得x=e2-a;令F′(x)>0,得x
11、數(shù),
在區(qū)間[e2-a,e2]上是減函數(shù),F(xiàn)(x)max=F(e2-a)=ea-2.
又F(e1-a)=0,F(xiàn)(e2)=>0,
由圖象,易知當(dāng)0
12、, 函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象在區(qū)間(0,e2]上沒有公共點(diǎn). 綜上,滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1,+∞). 思維升華 函數(shù)零點(diǎn)或函數(shù)圖象交點(diǎn)問題的求解,一般利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì),并借助函數(shù)圖象,根據(jù)零點(diǎn)或圖象的交點(diǎn)情況,建立含參數(shù)的方程(或不等式)組求解,實(shí)現(xiàn)形與數(shù)的和諧統(tǒng)一. 已知函數(shù)f(x)=x3-3ax-1,a≠0. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)若f(x)在x=-1處取得極值,直線y=m與y=f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn),求m的取值范圍. 解 (1)f′(x)=3x2-3a=3(x2-a), 當(dāng)a<0時(shí),對x∈R,有f′(x
13、)>0,
∴當(dāng)a<0時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,+∞).
當(dāng)a>0時(shí),由f′(x)>0,
解得x<-或x>.
由f′(x)<0,解得-
14、x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn),結(jié)合如圖所示f(x)的圖象可知:
實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-3,1).
題型三 生活中的優(yōu)化問題
例3 某商場銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明,該商品每日的銷售量y(單位:千克)與銷售價(jià)格x(單位:元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)=+10(x-6)2,其中3 15、=5時(shí),y=11,所以+10=11,a=2.
(2)由(1)可知,該商品每日的銷售量y=+10(x-6)2.
所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤
f(x)=(x-3)[+10(x-6)2]
=2+10(x-3)(x-6)2,3 16、點(diǎn).
所以,當(dāng)x=4時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值,且最大值等于42.
答 當(dāng)銷售價(jià)格為4元/千克時(shí),商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.
思維升華 在求實(shí)際問題中的最大值或最小值時(shí),一般先設(shè)自變量、因變量、建立函數(shù)關(guān)系式,并確定其定義域,利用求函數(shù)最值的方法求解,注意結(jié)果應(yīng)與實(shí)際情況相符合.用導(dǎo)數(shù)求解實(shí)際問題中的最大(小)值,如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn),那么根據(jù)實(shí)際意義該極值點(diǎn)就是最值點(diǎn).
某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開發(fā)某種新能源產(chǎn)品,估計(jì)能獲得10萬元~1 000萬元的投資收益.現(xiàn)準(zhǔn)備制訂一個(gè)對科研課題組的獎(jiǎng)勵(lì)方案:獎(jiǎng)金y(萬元)隨投資收益x(萬元)的增加而增加,且資金不超過9萬元,同 17、時(shí)獎(jiǎng)金不超過投資收益的20%.
(1)若建立函數(shù)f(x)模型制訂獎(jiǎng)勵(lì)方案,試用數(shù)學(xué)語言表述公司對獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)f(x)模型的基本要求;
(2)現(xiàn)有兩個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型:
①y=+2;
②y=4lg x-3.
試分析這兩個(gè)函數(shù)模型是否符合公司要求?
解 (1)設(shè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型為y=f(x),
則公司對函數(shù)模型的基本要求是:
當(dāng)x∈[10,1 000]時(shí),f(x)是增函數(shù),f(x)≤9恒成立,
f(x)≤恒成立.
(2)①對于函數(shù)模型f(x)=+2,
當(dāng)x∈[10,1 000]時(shí),f(x)是增函數(shù),
則f(x)max=f(1 000)=+2=<9.
所以f(x)≤9恒成立.
因?yàn)楹?/p>
18、數(shù)=+在[10,1 000]上是減函數(shù),
所以[]max=+>.
從而=+≤不恒成立,
即f(x)≤不恒成立.
故該函數(shù)模型不符合公司要求.
②對于函數(shù)模型f(x)=4lg x-3,
當(dāng)x∈[10,1 000]時(shí),f(x)是增函數(shù),
則f(x)max=f(1 000)=4lg 1 000-3=9.
所以f(x)≤9恒成立.
設(shè)g(x)=4lg x-3-,則g′(x)=-.
當(dāng)x≥10時(shí),g′(x)=-≤<0,
所以g(x)在[10,1 000]上是減函數(shù),
從而g(x)≤g(10)=-1<0.
所以4lg x-3-<0,即4lg x-3<,
所以f(x)≤恒成立.
19、
故該函數(shù)模型符合公司要求.
二審結(jié)論會轉(zhuǎn)換
典例:(12分)已知函數(shù)f(x)=x2+aln x.
(1)若a=-1,求函數(shù)f(x)的極值,并指出是極大值還是極小值;
(2)若a=1,求函數(shù)f(x)在[1,e]上的最大值和最小值;
(3)若a=1,求證:在區(qū)間[1,+∞)上,函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)=x3的圖象的下方.
審題路線圖
求f(x)的極值
↓(從結(jié)論出發(fā)向條件轉(zhuǎn)化,注意隱含條件——定義域)
求f′(x)=0的解,即f(x)的極值點(diǎn)
↓(轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值)
將極值點(diǎn)代入f(x)求對應(yīng)的極大、極小值
↓(轉(zhuǎn)化為研究單調(diào)性)
求f(x)在[1,e 20、]上的單調(diào)性
↓(轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值)
比較端點(diǎn)值、極值,確定最大、最小值
↓(構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化)
F(x)=f(x)-g(x)
↓(將圖象的上、下關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系)
求證F(x)<0在[1,+∞)上恒成立.
↓研究函數(shù)F(x)在[1,+∞)上的單調(diào)性.
規(guī)范解答
(1)解 由于函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),
當(dāng)a=-1時(shí),f′(x)=x-=,[1分]
令f′(x)=0得x=1或x=-1(舍去),[2分]
當(dāng)x∈(0,1)時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,[3分]
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,[4分]
所以f(x)在x=1處取得極小值為.[5分]
(2 21、)解 當(dāng)a=1時(shí),易知函數(shù)f(x)在[1,e]上為增函數(shù),[6分]
∴f(x)min=f(1)=,f(x)max=f(e)=e2+1.[7分]
(3)證明 設(shè)F(x)=f(x)-g(x)=x2+ln x-x3,
則F′(x)=x+-2x2=,[9分]
當(dāng)x>1時(shí),F(xiàn)′(x)<0,
故f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是減函數(shù),又F(1)=-<0,
∴在區(qū)間[1,+∞)上,F(xiàn)(x)<0恒成立.
即f(x) 22、等問題的有效方法,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間關(guān)鍵是求解不等式的解集;最值問題關(guān)鍵在于比較極值與端點(diǎn)函數(shù)值的大?。粎?shù)問題涉及的有最值恒成立的問題、單調(diào)性的逆向應(yīng)用等,求解時(shí)注意分類討論思想的應(yīng)用.
(2)對于一些復(fù)雜問題,要善于將問題轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化成能用熟知的導(dǎo)數(shù)研究問題.
方法與技巧
1. 利用導(dǎo)數(shù)解決含有參數(shù)的單調(diào)性問題是將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題,要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
2. 在實(shí)際問題中,如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn),那么只要根據(jù)實(shí)際意義判定是最大值還是最小值即可,不必再與端點(diǎn)的函數(shù)值比較.
失誤與防范
1. 函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,則f′(x)≥0而不 23、是f′(x)>0 (f′(x)=0在有限個(gè)點(diǎn)處取到).
2. 利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際生活中的優(yōu)化問題,要注意問題的實(shí)際意義.
A組 專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練
(時(shí)間:35分鐘,滿分:57分)
一、選擇題
1. 在R上可導(dǎo)的函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則關(guān)于x的不等式
xf′(x)<0的解集為 ( )
A.(-∞,-1)∪(0,1)
B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-2,-1)∪(1,2)
D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
答案 A
解析 由f(x)的圖象知,當(dāng)x<-1或x>1時(shí),f′(x)>0;
當(dāng)-1 24、(-∞,-1)∪(0,1).
2. 已知函數(shù)f(x)=x2+mx+ln x是單調(diào)遞增函數(shù),則m的取值范圍是 ( )
A.m>-2 B.m≥-2
C.m<2 D.m≤2
答案 B
解析 依題意知,x>0,f′(x)=,
令g(x)=2x2+mx+1,x∈(0,+∞),
當(dāng)-≤0時(shí),g(0)=1>0恒成立,∴m≥0成立,
當(dāng)->0時(shí),則Δ=m2-8≤0,∴-2≤m<0,
綜上,m的取值范圍是m≥-2.
3. 已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有極大值和極小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(-1,2) B.( 25、-∞,-3)∪(6,+∞)
C.(-3,6) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
答案 B
解析 ∵f′(x)=3x2+2ax+(a+6),
由已知可得f′(x)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根.
∴Δ=4a2-43(a+6)>0,即a2-3a-18>0.
∴a>6或a<-3.
4. 若函數(shù)f(x)= (a>0)在[1,+∞)上的最大值為,則a的值為 ( )
A. B. C.+1 D.-1
答案 D
解析 f′(x)==,
當(dāng)x>時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)- 26、)==,=<1,不合題意.
∴f(x)max=f(1)==,a=-1,故選D.
5. 某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品,固定成本為20 000元,每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品,成本增加100元,已知總營業(yè)收入R與年產(chǎn)量x的年關(guān)系是R=R(x)=則總利潤最大時(shí),每年生產(chǎn)的產(chǎn)品是 ( )
A.100 B.150 C.200 D.300
答案 D
解析 由題意得,總成本函數(shù)為C=C(x)=20 000+100x,
總利潤P(x)=
又P′(x)=
令P′(x)=0,得x=300,易知x=300時(shí),總利潤P(x)最大.
二、填空題
6. 設(shè)函數(shù)f(x)=kx3- 27、3x+1(x∈R),若對于任意x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,則實(shí)數(shù)k的值為________.
答案 4
解析 若x=0,則不論k取何值,f(x)≥0都成立;
當(dāng)x>0,即x∈(0,1]時(shí),
f(x)=kx3-3x+1≥0可化為k≥-.
設(shè)g(x)=-,則g′(x)=,
所以g(x)在區(qū)間(0,]上單調(diào)遞增,
在區(qū)間[,1]上單調(diào)遞減,
因此g(x)max=g()=4,從而k≥4;
當(dāng)x<0即x∈[-1,0)時(shí),
f(x)=kx3-3x+1≥0可化為k≤-,
g(x)=-在區(qū)間[-1,0)上單調(diào)遞增,
因此g(x)min=g(-1)=4,從而k≤4,綜上k=4. 28、
7. 已知函數(shù)y=x3-3x+c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn),則c=________.
答案 -2或2
解析 設(shè)f(x)=x3-3x+c,對f(x)求導(dǎo)可得,
f′(x)=3x2-3,
令f′(x)=0,可得x=1,
易知f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(-1,1)上單調(diào)遞減.
若f(1)=1-3+c=0,可得c=2;
若f(-1)=-1+3+c=0,可得c=-2.
8. 已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2-4在x=2處取得極值,若m、n∈[-1,1],則f(m)+f′(n)的最小值是________.
答案?。?3
解析 對函數(shù)f(x)求導(dǎo)得f′(x) 29、=-3x2+2ax,
由函數(shù)f(x)在x=2處取得極值知f′(2)=0,
即-34+2a2=0,∴a=3.
由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f′(x)=-3x2+6x,
易知f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減,在(0,1)上單調(diào)遞增,
∴當(dāng)m∈[-1,1]時(shí),f(m)min=f(0)=-4.
又∵f′(x)=-3x2+6x的圖象開口向下,
且對稱軸為x=1,∴當(dāng)n∈[-1,1]時(shí),
f′(n)min=f′(-1)=-9.
故f(m)+f′(n)的最小值為-13.
三、解答題
9. 設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=ex-2x+2a,x∈R.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值 30、;
(2)求證:當(dāng)a>ln 2-1且x>0時(shí),ex>x2-2ax+1.
(1)解 由f(x)=ex-2x+2a,x∈R知f′(x)=ex-2,x∈R.
令f′(x)=0,得x=ln 2.
于是當(dāng)x變化時(shí),f′(x),f(x)的變化情況如下表:
x
(-∞,ln 2)
ln 2
(ln 2,+∞)
f′(x)
-
0
+
f(x)
單調(diào)遞減
↘
2(1-ln 2+a)
單調(diào)遞增
↗
故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,ln 2),
單調(diào)遞增區(qū)間是(ln 2,+∞),
f(x)在x=ln 2處取得極小值,
極小值為f(ln 2)=eln 2-2ln 2+2 31、a=2(1-ln 2+a).
(2)證明 設(shè)g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R,
于是g′(x)=ex-2x+2a,x∈R.
由(1)知當(dāng)a>ln 2-1時(shí),
g′(x)取最小值為g′(ln 2)=2(1-ln 2+a)>0.
于是對任意x∈R,都有g(shù)′(x)>0,
所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增.
于是當(dāng)a>ln 2-1時(shí),對任意x∈(0,+∞),
都有g(shù)(x)>g(0).
而g(0)=0,從而對任意x∈(0,+∞),都有g(shù)(x)>0.
即ex-x2+2ax-1>0,故ex>x2-2ax+1.
10.統(tǒng)計(jì)表明,某種型號的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量y(升)關(guān)于行駛速 32、度x(千米/小時(shí))的函數(shù)解析式可以表示為y=x3-x+8(0 33、0),
h′(x)=-=(0 34、a等于 ( )
A. B. C. D.1
答案 D
解析 ∵f(x)是奇函數(shù),∴f(x)在(0,2)上的最大值為-1.
當(dāng)x∈(0,2)時(shí),f′(x)=-a,令f′(x)=0得x=,
又a>,∴0<<2.
當(dāng)x<時(shí),f′(x)>0,f(x)在(0,)上單調(diào)遞增;
當(dāng)x>時(shí),f′(x)<0,f(x)在(,2)上單調(diào)遞減,
∴f(x)max=f()=ln -a=-1,解得a=1.
2. 已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示,則對于任意x1,x2∈R(x1≠x2),下列結(jié)論正確的是 ( )
35、
①f(x)<0恒成立;
②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0;
③(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0;
④f()>;
⑤f()<.
A.①③ B.①③④
C.②④ D.②⑤
答案 D
解析 由函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象可得,函數(shù)f(x)是減函數(shù),且
隨著自變量的增大,導(dǎo)函數(shù)越來越大,即函數(shù)f(x)圖象上的點(diǎn)向
右運(yùn)動(dòng)時(shí),該點(diǎn)的切線的斜率為負(fù),且值越來越大,由此可作出
函數(shù)f(x)的草圖如圖所示,由圖示可得<0且
f()<,由此可得結(jié)論中僅②⑤正確,故應(yīng)選D.
3. 已知f(x)=xex,g(x)=-(x+1)2 36、+a,若?x1,x2∈R,使得f(x2)≤g(x1)成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
答案 [-,+∞)
解析 f′(x)=ex+xex=ex(1+x)
當(dāng)x>-1時(shí),f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x<-1時(shí),f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.
所以函數(shù)f(x)的最小值為f(-1)=-.
而函數(shù)g(x)的最大值為a,則由題意,
可得-≤a即a≥-.
4. 已知f(x)=ax-ln x,x∈(0,e],g(x)=,其中e是自然常數(shù),a∈R.
(1)討論a=1時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)性和極值;
(2)求證:在(1)的條件下,f(x)>g(x)+;
( 37、3)是否存在正實(shí)數(shù)a,使f(x)的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.
(1)解 ∵f(x)=x-ln x,f′(x)=1-=,
∴當(dāng)0 38、)的條件下,f(x)>g(x)+.
(3)解 假設(shè)存在正實(shí)數(shù)a,使f(x)=ax-ln x(x∈(0,e])有最小值3,
則f′(x)=a-=.
①當(dāng)0< 39、
(2)若f(x)≤0恒成立,證明:當(dāng)0
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