高考數(shù)學(xué)人教A版理科含答案導(dǎo)學(xué)案【第四章】三角函數(shù)、解三角形 學(xué)案19
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1、 精品資料 學(xué)案19 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 導(dǎo)學(xué)目標(biāo): 1.能畫(huà)出y=sin x,y=cos x,y=tan x的圖象,了解三角函數(shù)的周期性.2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值以及與x軸的交點(diǎn)等),理解正切函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性. 自主梳理 1.三角函數(shù)的圖象和性質(zhì) 函數(shù) y=sin x y=cos x y=tan x 圖象 定義域 值域 周期性 奇偶性 單調(diào)性 在_____________________
2、_上增,在__________________________________上減 在__________________________上增,在______________________________上減 在定義域的每一個(gè)區(qū)間________________________________內(nèi)是增函數(shù) 2.正弦函數(shù)y=sin x 當(dāng)x=____________________________________時(shí),取最大值1; 當(dāng)x=____________________________________時(shí),取最小值-1. 3.余弦函數(shù)y=cos x 當(dāng)x=___________
3、_______________時(shí),取最大值1; 當(dāng)x=__________________________時(shí),取最小值-1. 4.y=sin x、y=cos x、y=tan x的對(duì)稱(chēng)中心分別為_(kāi)___________、___________、______________. 5.y=sin x、y=cos x的對(duì)稱(chēng)軸分別為_(kāi)_____________和____________,y=tan x沒(méi)有對(duì)稱(chēng)軸. 自我檢測(cè) 1.(2010十堰月考)函數(shù)y=Asin(ωx+φ) (A,ω,φ為常數(shù),A>0,ω>0)在閉區(qū)間[-π,0]上的圖象如圖所示,則ω為
4、 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.函數(shù)y=sin圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程可能是 ( ) A.x=- B.x=- C.x= D.x= 3.(2010湖北)函數(shù)f(x)=sin,x∈R的最小正周期為 ( ) A. B.π C.2π D.4π 4.(2010北京海淀高三上學(xué)期期中考試)函數(shù)f(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x的最小正周期為
5、 ( ) A.4π B.3π C.2π D.π 5.如果函數(shù)y=3cos(2x+φ)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng),那么|φ|的最小值為 ( ) A. B. C. D. 探究點(diǎn)一 求三角函數(shù)的定義域 例1 (2011衡水月考)求函數(shù)y=+的定義域. 變式遷移1 函數(shù)y=+lg(2sin x-1)的定義域?yàn)開(kāi)_______________________. 探究點(diǎn)二 三角函數(shù)的單調(diào)性 例2 求函數(shù)y=2sin的單調(diào)區(qū)間.
6、 變式遷移2 (2011南平月考)(1)求函數(shù)y=sin,x∈[-π,π]的單調(diào)遞減區(qū)間; (2)求函數(shù)y=3tan的周期及單調(diào)區(qū)間. 探究點(diǎn)三 三角函數(shù)的值域與最值 例3 已知函數(shù)f(x)=2asin(2x-)+b的定義域?yàn)閇0,],函數(shù)的最大值為1,最小值為-5,求a和b的值. 變式遷移3 設(shè)函數(shù)f(x)=acos x+b的最大值是1,最小值是-3,試確定g(x)=bsin(ax+)的周期. 轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用 例 (12分)求下列函數(shù)的值域: (1)y=-2sin2x+2cos x+2; (2)y=3co
7、s x-sin x,x∈[0,]; (3)y=sin x+cos x+sin xcos x. 【答題模板】 解 (1)y=-2sin2x+2cos x+2=2cos2x+2cos x =2(cos x+)2-,cos x∈[-1,1]. 當(dāng)cos x=1時(shí),ymax=4, 當(dāng)cos x=-時(shí),ymin=-,故函數(shù)值域?yàn)閇-,4].[4分] (2)y=3cos x-sin x=2cos(x+) ∵x∈[0,],∴≤x+≤, ∵y=cos x在[,]上單調(diào)遞減, ∴-≤cos(x+)≤ ∴-≤y≤3,故函數(shù)值域?yàn)閇-,3].[8分] (3)令t=sin x+cos x,則s
8、in xcos x=,且|t|≤. ∴y=t+=(t+1)2-1,∴當(dāng)t=-1時(shí),ymin=-1; 當(dāng)t=時(shí),ymax=+. ∴函數(shù)值域?yàn)閇-1,+].[12分] 【突破思維障礙】 1.對(duì)于形如f(x)=Asin(ωx+φ),x∈[a,b]的函數(shù)在求值域時(shí),需先確定ωx+φ的范圍,再求值域.同時(shí),對(duì)于形 如y=asin ωx+bcos ωx+c的函數(shù),可借助輔助角公式,將函數(shù)化為y=sin(ωx+φ)+c的形式,從而求得函數(shù)的最值. 2.關(guān)于y=acos2x+bcos x+c(或y=asin2x+bsin x+c)型或可以為此型的函數(shù)求值域,一般可化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問(wèn)題
9、. 提醒:不論用什么方法,切忌忽略函數(shù)的定義域. 1.熟練掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)是研究三角問(wèn)題的基礎(chǔ),三角函數(shù)的定義域是研究其他一切性質(zhì)的前提,求三角函數(shù)的定義域?qū)嵸|(zhì)上就是解最簡(jiǎn)單的三角不等式(組). 2.三角函數(shù)的值域問(wèn)題,實(shí)質(zhì)上是含有三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的值域問(wèn)題. 3.函數(shù)y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的單調(diào)區(qū)間的確定,基本思想是把ωx+φ看作一個(gè)整體,利用y=sin x的單調(diào)區(qū)間來(lái)求. (滿(mǎn)分:75分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.(2011黃山月考)已知函數(shù)y=sin x的定義域?yàn)閇a,b],值域?yàn)閇-1
10、,],則b-a的值不可能是 ( ) A. B. C.π D. 2.(2010安徽6校高三聯(lián)考)已知函數(shù)y=tan ωx (ω>0)與直線(xiàn)y=a相交于A、B兩點(diǎn),且|AB|最小值為π,則函數(shù)f(x)=sin ωx-cos ωx的單調(diào)增區(qū)間是 ( ) A. (k∈Z) B. (k∈Z) C. (k∈Z) D. (k∈Z) 3.函數(shù)f(x)=tan ωx (ω>0)的圖象的相鄰的兩支截直線(xiàn)y=所得線(xiàn)段長(zhǎng)為
11、,則f的值是 ( ) A.0 B.1 C.-1 D. 4.函數(shù)y=-xcos x的部分圖象是圖中 ( ) 5.(2011三明模擬)若函數(shù)y=sin x+f(x)在[-,]上單調(diào)遞增,則函數(shù)f(x)可以是( ) A.1 B.cos x C.sin x D.-cos x 題號(hào) 1 2 3 4 5 答案
12、 二、填空題(每小題4分,共12分) 6.設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)f(x)=sin ωx的圖象C的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心,若點(diǎn)P到圖象C的對(duì)稱(chēng)軸的距離的最小值是,則f(x)的最小正周期是________. 7.函數(shù)f(x)=2sin 對(duì)于任意的x∈R,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2),則|x1-x2|的最小值為_(kāi)_______. 8.(2010江蘇)定義在區(qū)間上的函數(shù)y=6cos x的圖象與y=5tan x的圖象的交點(diǎn)為P,過(guò)點(diǎn)P作PP1⊥x軸于點(diǎn)P1,直線(xiàn)PP1與y=sin x的圖象交于點(diǎn)P2,則線(xiàn)段P1P2的長(zhǎng)為_(kāi)_______. 三、解答題(共38分) 9.(12分)(2011廈門(mén)月考)已知
13、函數(shù)f(x)=,求它的定義域和值域,并判斷它的奇偶性. 10.(12分)(2010福建改編)已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+)+a(ω>0)與g(x)=2cos(2x+φ)+1的圖象的對(duì)稱(chēng)軸完全相同. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期; (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間; (3)當(dāng)x∈[0,]時(shí),f(x)的最小值為-2,求a的值. 11.(14分)(2010安徽合肥高三二模)已知向量a=(sin x,2sin x),b=(2cos x,sin x),定義f(x)=ab-. (1)求函數(shù)y=f(x),x∈R的單調(diào)遞減區(qū)間; (2)若函數(shù)y=f(x
14、+θ) (0<θ<)為偶函數(shù),求θ的值. 答案 自主梳理 1.R R {x|x≠kπ+,k∈Z} [-1,1] [-1,1] R 2π 2π π 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) [2kπ-,2kπ+](k∈Z) [2kπ+,2kπ+π](k∈Z) [2kπ-π,2kπ](k∈Z) [2kπ,2kπ+π](k∈Z) (kπ-,kπ+)(k∈Z) 2.2kπ+(k∈Z) 2kπ-(k∈Z) 3.2kπ(k∈Z) 2kπ+π(k∈Z) 4.(kπ,0)(k∈Z) (k∈Z) (k∈Z) 5.x=kπ+(k∈Z) x=kπ(k∈Z) 自我檢測(cè) 1.C 2.D 3.D 4.D 5.A
15、 課堂活動(dòng)區(qū) 例1 解題導(dǎo)引 求三角函數(shù)的定義域時(shí),需要轉(zhuǎn)化為三角不等式(組)求解,常常借助于三角函數(shù)的圖象和周期解決,求交集時(shí)可以利用單位圓,對(duì)于周期相同的可以先求交集再加周期的整數(shù)倍即可. 解 要使函數(shù)有意義, 則 得 所以函數(shù)的定義域?yàn)? . 變式遷移1 ,k∈Z 解析 由題意得 ?, 解得, 即x∈,k∈Z. 例2 解題導(dǎo)引 求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中A≠0,ω>0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,可以通過(guò)解不等式的方法去解答,列不等式的原則是:①把“ωx+φ (ω>0)”視為一個(gè)“整體”;②A>0 (A<0)時(shí),所列不等式的方向與y=si
16、n x(x∈R),y=cos x(x∈R)的單調(diào)區(qū)間對(duì)應(yīng)的不等式方向相同(反). 解 y=2sin可看作是由y=2sin u與u=-x復(fù)合而成的. 又∵u=-x為減函數(shù), ∴由2kπ-≤u≤2kπ+(k∈Z), 即2kπ-≤-x≤2kπ+ (k∈Z), 得-2kπ-≤x≤-2kπ+ (k∈Z), 即(k∈Z)為 y=2sin的遞減區(qū)間. 由2kπ+≤u≤2kπ+ (k∈Z), 即2kπ+≤-x≤2kπ+ (k∈Z), 得-2kπ-≤x≤-2kπ- (k∈Z), 即(k∈Z)為 y=2sin的遞增區(qū)間. 綜上可知,y=2sin的遞增區(qū)間為 (k∈Z); 遞減區(qū)間為
17、(k∈Z).
變式遷移2 解 (1)由y=sin,
得y=-sin,
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
又x∈[-π,π],
∴-π≤x≤-π,-≤x≤π,π≤x≤π.
∴函數(shù)y=sin,x∈[-π,π]的單調(diào)遞減區(qū)間為,,.
(2)函數(shù)y=3tan的周期
T==4π.
由y=3tan
得y=-3tan,
由-+kπ<-<+kπ得
-π+4kπ 18、s(ωx+φ)的最值,再由方程的思想解決問(wèn)題.
解 ∵0≤x≤,∴-≤2x-≤π,
∴-≤sin(2x-)≤1,
若a>0,則,解得;
若a<0,則,
解得.
綜上可知,a=12-6,b=-23+12
或a=-12+6,b=19-12.
變式遷移3 解 ∵x∈R,
∴cos x∈[-1,1],
若a>0,則,解得;
若a<0,則,解得.
所以g(x)=-sin(2x+)或g(x)=-sin(-2x+),周期為π.
課后練習(xí)區(qū)
1.A [畫(huà)出函數(shù)y=sin x的草圖(圖略),分析知b-a的取值范圍為[,],故選A.]
2.B [由題意知,函數(shù)的最小正周期為π,則ω= 19、1,
故f(x)=sin ωx-cos ωx
=2sin的單調(diào)增區(qū)間滿(mǎn)足:
2kπ-≤x-≤2kπ+ (k∈Z)
解得2kπ-≤x≤2kπ+.]
3.A
4.D
5.D [因?yàn)閥=sin x-cos x=sin(x-),-≤x-≤,即-≤x≤,滿(mǎn)足題意,所以函數(shù)f(x)可以是-cos x.]
6.
解析 依題意得=,所以最小正周期T=.
7.4π
解析 由f(x1)≤f(x)≤f(x2)知,f(x1)、f(x2)分別為f(x)的最小值和最大值,而當(dāng)=2kπ-,即x=8kπ-2π (k∈Z)時(shí),f(x)取最小值;而=2kπ+,即x=8kπ+2π (k∈Z)時(shí),f(x)取最大 20、值,
∴|x1-x2|的最小值為4π.
8.
解析 線(xiàn)段P1P2的長(zhǎng)即為sin x的值,且其中的x滿(mǎn)足6cos x=5tan x,x∈,解得sin x=.所以線(xiàn)段P1P2的長(zhǎng)為.
9.解 由題意知cos 2x≠0,得2x≠kπ+,
解得x≠+ (k∈Z).
∴f(x)的定義域?yàn)閧x|x∈R,且x≠+,k∈Z}.
……………………………………………………………………………………………(3分)
又f(x)=
=
=cos2x-1=-sin2x,……………………………………………………………………(6分)
又∵定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),
∴f(x)是偶函數(shù).……………………………… 21、…………………………………………(8分)
顯然-sin2x∈[-1,0],
又∵x≠+,k∈Z,
∴-sin2x≠-.
∴原函數(shù)的值域?yàn)?
.……………………………………………………………(12分)
10.解 (1)∵f(x)和g(x)的對(duì)稱(chēng)軸完全相同,
∴二者的周期相同,即ω=2,f(x)=2sin(2x+)+a(3分)
∴f(x)的最小正周期T==π.…………………………………………………………(4分)
(2)當(dāng)2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
即kπ+≤x≤kπ+(k∈Z)時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,
故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為
[kπ+,kπ+](k∈Z). 22、…………………………………………………………………(8分)
(3)當(dāng)x∈[0,]時(shí),2x+∈[,],…………………………………………………(10分)
∴2sin(2+)+a=-2,
∴a=-1.………………………………………………………………………………(12分)
11.解 f(x)=2sin xcos x+2sin2x-
=sin 2x+2-
=sin 2x-cos 2x=2sin.………………………………………………………(4分)
(1)令2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
解得單調(diào)遞減區(qū)間是,k∈Z.
……………………………………………………………………………………………(8分)
(2)f(x+θ)=2sin.
根據(jù)三角函數(shù)圖象性質(zhì)可知,
y=f(x+θ) 在x=0處取最值,
∴sin=1,
∴2θ-=kπ+,θ=+,k∈Z.……………………………………………………(12分)
又0<θ<,解得θ=.…………………………………………………………………(14分)
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