高考數(shù)學(xué)人教A版理科含答案導(dǎo)學(xué)案【第六章】數(shù)列 學(xué)案30

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1、 精品資料 學(xué)案30　等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.4.能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題． 自主梳理 1．等比數(shù)列的定義 如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的________，通常用字母________表示(q≠0)． 2．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，則它的通項(xiàng)

2、an＝______________. 3．等比中項(xiàng)： 如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)． 4．等比數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am·________ (n，m∈N*)． (2)若{an}為等比數(shù)列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N*)，則__________________________． (3)若{an}，{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan} (λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比數(shù)列． (4)單調(diào)性：或?{an}是________數(shù)列；或?{an}是________數(shù)列

3、；q＝1?{an}是____數(shù)列；q<0?{an}是________數(shù)列． 5．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 等比數(shù)列{an}的公比為q (q≠0)，其前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1； 當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝＝＝－. 6．等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì) 公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為_(kāi)_____． 自我檢測(cè) 1．“b＝”是“a、b、c成等比數(shù)列”的 (　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要

4、條件 2．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n－a，數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的值是 (　　) A．3 B．1 C．0 D．－1 3．(2011·溫州月考)設(shè)f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1 (n∈N*)，則f(n)等于 (　　) A.(8n－1) B.(8n＋1－1) C.(8n＋2－1) D.(8n＋3－1) 4．(2011·湖南長(zhǎng)郡中學(xué)月考)已知等比數(shù)列{an}的前三項(xiàng)依次為a－2，a＋2，a＋8，則an等于

5、 (　　) A．8·n B．8·n C．8·n－1 D．8·n－1 5．設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，|q|>1，令bn＝an＋1 (n＝1,2，…)，若數(shù)列{bn}有連續(xù)四項(xiàng)在集合{－53，－23,19,37,82}中，則6q＝________. 探究點(diǎn)一　等比數(shù)列的基本量運(yùn)算 例1　已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an和前n項(xiàng)和Sn. 變

6、式遷移1　在等比數(shù)列{an}中，a1＋an＝66，a2·an－1＝128，Sn＝126，求n和q. 探究點(diǎn)二　等比數(shù)列的判定 例2　(2011·岳陽(yáng)月考)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝5，前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*. (1)證明數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列； (2)求{an}的通項(xiàng)公式以及Sn. 變式遷移2　設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)． (1)求a2，a3的值； (2)求證：數(shù)列{Sn＋2}是等比數(shù)列． 探究點(diǎn)三　

7、等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 例3　(2011·湛江月考)在等比數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝8，且＋＋＋＋＝2，求a3. 變式遷移3　(1)已知等比數(shù)列{an}中，有a3a11＝4a7，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且b7＝a7，求b5＋b9的值； (2)在等比數(shù)列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，求a41a42a43a44. 分類(lèi)討論思想與整體思想的應(yīng)用 例　(12分)設(shè)首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為80，它的前2n項(xiàng)和為6 560，且前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為54，求此數(shù)列的第2n項(xiàng)． 【答題

8、模板】 解　設(shè)數(shù)列{an}的公比為q， 若q＝1，則Sn＝na1，S2n＝2na1＝2Sn. ∵S2n＝6 560≠2Sn＝160，∴q≠1，[2分] 由題意得[4分] 將①整體代入②得80(1＋qn)＝6 560， ∴qn＝81.[6分] 將qn＝81代入①得a1(1－81)＝80(1－q)， ∴a1＝q－1，由a1>0，得q>1， ∴數(shù)列{an}為遞增數(shù)列．[8分] ∴an＝a1qn－1＝·qn＝81·＝54. ∴＝.[10分] 與a1＝q－1聯(lián)立可得a1＝2，q＝3， ∴a2n＝2×32n－1 (n∈N*)．[12分]

9、 【突破思維障礙】 (1)分類(lèi)討論的思想：①利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)要分公比q＝1和q≠1兩種情況討論；②研究等比數(shù)列的單調(diào)性時(shí)應(yīng)進(jìn)行討論：當(dāng)a1>0，q>1或a1<0,0<q<1時(shí)為遞增數(shù)列；當(dāng)a1<0，q>1或a1>0,0<q<1時(shí)為遞減數(shù)列；當(dāng)q<0時(shí)為擺動(dòng)數(shù)列；當(dāng)q＝1時(shí)為常數(shù)列．(2)函數(shù)的思想：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1qn－1＝·qn (q>0且q≠1)常和指數(shù)函數(shù)相聯(lián)系．(3)整體思想：應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，常把qn，當(dāng)成整體求解． 本題條件前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為54的利用是解決本題的關(guān)

10、鍵，同時(shí)將qn和的值整體代入求解，簡(jiǎn)化了運(yùn)算，體現(xiàn)了整體代換的思想，在解決有關(guān)數(shù)列求和的題目時(shí)應(yīng)靈活運(yùn)用． 1．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)公式分別為an＝a1qn－1，Sn＝ 2．等比數(shù)列的判定方法： (1)定義法：即證明＝q (q≠0，n∈N*) (q是與n值無(wú)關(guān)的常數(shù))． (2)中項(xiàng)法：證明一個(gè)數(shù)列滿(mǎn)足a＝an·an＋2 (n∈N*且an·an＋1·an＋2≠0)． 3．等比數(shù)列的性質(zhì)： (1)an＝am·qn－m (n，m∈N*)； (2)若{an}為等比數(shù)列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N*)，則ak·al＝a

11、m·an； (3)設(shè)公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn. 4．在利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，一定要對(duì)公比q＝1或q≠1作出判斷；計(jì)算過(guò)程中要注意整體代入的思想方法． 5．等差數(shù)列與等比數(shù)列的關(guān)系是： (1)若一個(gè)數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則此數(shù)列是非零常數(shù)列； (2)若{an}是等比數(shù)列，且an>0，則{lg an}構(gòu)成等差數(shù)列． (滿(mǎn)分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．(2010·遼寧)設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和．已知a2

12、a4＝1，S3＝7，則S5等于 (　　) A. B. C. D. 2．(2010·浙江)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，8a2＋a5＝0，則等于 (　　) A．－11 B．－8 C．5 D．11 3．在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1＝3，前三項(xiàng)的和S3＝21，則a3＋a4＋a5等于(　　) A．33 B．72 C．84 D．189 4．等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)的積為T(mén)n，

13、若a3a6a18是一個(gè)確定的常數(shù)，那么數(shù)列T10，T13，T17，T25中也是常數(shù)的項(xiàng)是 (　　) A．T10 B．T13 C．T17 D．T25 5．(2011·佛山模擬)記等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝2，S6＝18，則等于(　　) A．－3 B．5 C．－31 D．33 題號(hào) 1 2 3 4 5 答案 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若a1＝1，a5

14、＝16，則數(shù)列{an}前7項(xiàng)的和為_(kāi)_______． 7．(2011·平頂山月考)在等比數(shù)列{an}中，公比q＝2，前99項(xiàng)的和S99＝30，則a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________. 8．(2010·福建)在等比數(shù)列{an}中，若公比q＝4，且前3項(xiàng)之和等于21，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝________. 三、解答題(共38分) 9．(12分)(2010·陜西)已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)； (2)求數(shù)列{2an}的前n項(xiàng)和Sn. 10．(12分)(

15、2011·廊坊模擬)已知數(shù)列{log2(an－1)}為等差數(shù)列，且a1＝3，a2＝5. (1)求證：數(shù)列{an－1}是等比數(shù)列； (2)求＋＋…＋的值． 11．(14分)已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，公差d>0，且第2項(xiàng)、第5項(xiàng)、第14項(xiàng)分別是等比數(shù)列{bn}的第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng)． (1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)數(shù)列{cn}對(duì)n∈N*均有＋＋…＋＝an＋1成立，求c1＋c2＋c3＋…＋c2 010. 答案 自主梳理 1．公比　q　2.a1·qn－1　4.(1)qn－m　(2)ak·a

16、l＝am·an (4)遞增　遞減　?！[動(dòng)　6.qn 自我檢測(cè) 1．D　2.B　3.B　4.C　5.－9 課堂活動(dòng)區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　(1)在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中共有a1，an，q，n，Sn五個(gè)量，知道其中任意三個(gè)量，都可以求出其余兩個(gè)量．解題時(shí)，將已知條件轉(zhuǎn)化為基本量間的關(guān)系，然后利用方程組的思想求解； (2)本例可將所有項(xiàng)都用a1和q表示，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和q的方程組求解；也可利用等比數(shù)列的性質(zhì)來(lái)轉(zhuǎn)化，兩種方法目的都是消元轉(zhuǎn)化． 解　方法一　由已知得： ①－②，得4aq6＝64，∴aq6＝16.③ 代入①，得＋2×16＋16q2＝100

17、. 解得q2＝4或q2＝. 又?jǐn)?shù)列{an}為正項(xiàng)數(shù)列，∴q＝2或. 當(dāng)q＝2時(shí)，可得a1＝， ∴an＝×2n－1＝2n－2， Sn＝＝2n－1－； 當(dāng)q＝時(shí)，可得a1＝32. ∴an＝32×n－1＝26－n. Sn＝＝64－26－n. 方法二　∵a1a5＝a2a4＝a，a2a6＝a3a5，a3a7＝a4a6＝a， 由 可得 即 ∴解得或 當(dāng)a3＝8，a5＝2時(shí)，q2＝＝＝. ∵q>0，∴q＝，由a3＝a1q2＝8， 得a1＝32，∴an＝32×n－1＝26－n. Sn＝＝64－26－n. 當(dāng)a3＝2，a5＝8時(shí)，q2＝＝4

18、，且q>0， ∴q＝2. 由a3＝a1q2，得a1＝＝. ∴an＝×2n－1＝2n－2. Sn＝＝2n－1－. 變式遷移1　解　由題意得 解得或 若則Sn＝＝＝126， 解得q＝，此時(shí)，an＝2＝64·n－1， ∴n＝6. 若則Sn＝＝126，∴q＝2. ∴an＝64＝2·2n－1.∴n＝6. 綜上n＝6，q＝2或. 例2　解題導(dǎo)引　(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列的兩個(gè)基本方法： ①＝q (q為與n值無(wú)關(guān)的常數(shù))(n∈N*)． ②a＝anan＋2 (an≠0，n∈N*)． (2)證明數(shù)列不是等比數(shù)列，可以通過(guò)具體的三個(gè)連續(xù)項(xiàng)不成

19、等比數(shù)列來(lái)證明，也可用反證法． (1)證明　由已知Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*， 可得n≥2時(shí)，Sn＝2Sn－1＋n＋4， 兩式相減得Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1， 即an＋1＝2an＋1，從而an＋1＋1＝2(an＋1)， 當(dāng)n＝1時(shí)，S2＝2S1＋1＋5， 所以a2＋a1＝2a1＋6， 又a1＝5，所以a2＝11， 從而a2＋1＝2(a1＋1)， 故總有an＋1＋1＝2(an＋1)，n∈N*， 又a1＝5，a1＋1≠0，從而＝2， 即數(shù)列{an＋1}是首項(xiàng)為6，公比為2的等比數(shù)列． (2)解　由(1)得an＋1＝6·2n－1， 所以an

20、＝6·2n－1－1， 于是Sn＝－n＝6·2n－n－6. 變式遷移2　(1)解　∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，∴當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2×1＝2； 當(dāng)n＝2時(shí)，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2＝4； 當(dāng)n＝3時(shí)，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6， ∴a3＝8. (2)證明　∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan ＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，① ∴當(dāng)n≥2時(shí)，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1 ＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)．② ①－②得nan＝(n－1)Sn－(n－2

21、)Sn－1＋2＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2. ∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2， ∴Sn＋2＝2(Sn－1＋2)． ∵S1＋2＝4≠0，∴Sn－1＋2≠0， ∴＝2， 故{Sn＋2}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列． 例3　解題導(dǎo)引　在解決等比數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度． 解　由已知得 ＋＋＋＋ ＝＋＋ ＝＝＝2， ∴a＝4，∴a3＝±2.若a3＝－2，設(shè)數(shù)列的公比為q，

22、 則＋－2－2q－2q2＝8， 即＋＋1＋q＋q2 ＝2＋2＋＝－4. 此式顯然不成立，經(jīng)驗(yàn)證，a3＝2符合題意，故a3＝2. 變式遷移3　解　(1)∵a3a11＝a＝4a7， ∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝4， ∵{bn}為等差數(shù)列，∴b5＋b9＝2b7＝8. (2)a1a2a3a4＝a1·a1q·a1q2·a1q3＝aq6＝1.① a13a14a15a16＝a1q12·a1q13·a1q14·a1q15 ＝a·q54＝8.② ②÷①：＝q48＝8?q16＝2， 又a41a42a43a4

23、4＝a1q40·a1q41·a1q42·a1q43 ＝a·q166＝a·q6·q160＝(a·q6)·(q16)10 ＝1·210＝1 024. 課后練習(xí)區(qū) 1．B　[∵{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且a2a4＝1， ∴設(shè){an}的公比為q，則q>0，且a＝1，即a3＝1. ∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝＋＋1＝7，即6q2－q－1＝0. 故q＝或q＝－(舍去)，∴a1＝＝4. ∴S5＝＝8(1－)＝.] 2．A　[由8a2＋a5＝0，得8a1q＋a1q4＝0，所以q＝－2，則

24、＝＝－11.] 3．C　[由題可設(shè)等比數(shù)列的公比為q， 則＝21?1＋q＋q2＝7?q2＋q－6＝0 ?(q＋3)(q－2)＝0， 根據(jù)題意可知q>0，故q＝2. 所以a3＋a4＋a5＝q2S3＝4×21＝84.] 4．C　[a3a6a18＝aq2＋5＋17＝(a1q8)3＝a，即a9為定值，所以下標(biāo)和為9的倍數(shù)的積為定值，可知T17為定值．] 5．D　[因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}中有S3＝2，S6＝18， 即＝＝1＋q3＝＝9， 故q＝2，從而＝ ＝1＋q5＝1＋25＝33.] 6．127 解析　∵公比q4＝＝16，且q>0，∴q＝2， ∴S7＝＝1

25、27. 7. 解析　∵S99＝30，即a1(299－1)＝30， ∵數(shù)列a3，a6，a9，…，a99也成等比數(shù)列且公比為8， ∴a3＋a6＋a9＋…＋a99＝ ＝＝×30＝. 8．4n－1 解析　∵等比數(shù)列{an}的前3項(xiàng)之和為21，公比q＝4， 不妨設(shè)首項(xiàng)為a1，則a1＋a1q＋a1q2＝a1(1＋4＋16)＝21a1＝21，∴a1＝1，∴an＝1×4n－1＝4n－1. 9．解　(1)由題設(shè)知公差d≠0， 由a1＝1，a1，a3，a9成等比數(shù)列， 得＝，…………………………………………………………………………(4分) 解得d＝1或d＝0(舍去)．

26、 故{an}的通項(xiàng)an＝1＋(n－1)×1＝n.……………………………………………………(7分) (2)由(1)知2an＝2n，由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式， 得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝ ＝2n＋1－2.………………………………………………………………………………(12分) 10．(1)證明　設(shè)log2(an－1)－log2(an－1－1)＝d (n≥2)，因?yàn)閍1＝3，a2＝5，所以d＝log2(a2－1)－log2(a1－1)＝log24－log22＝1，…………………………………………………………(3分) 所以log2(an－1)＝n，所以an－1＝2n， 所以＝

27、2 (n≥2)，所以{an－1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．………(6分) (2)解　由(1)可得an－1＝(a1－1)·2n－1， 所以an＝2n＋1，…………………………………………………………………………(8分) 所以＋＋…＋ ＝＋＋…＋ ＝＋＋…＋＝1－.………………………………………………………………(12分) 11．解　(1)由已知有a2＝1＋d，a5＝1＋4d，a14＝1＋13d， ∴(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)． 解得d＝2(d＝0舍)．……………………………………………………………………(2分) ∴an＝1＋(n－1)·

28、2＝2n－1.………………………………………………………………(3分) 又b2＝a2＝3，b3＝a5＝9， ∴數(shù)列{bn}的公比為3， ∴bn＝3·3n－2＝3n－1.………………………………………………………………………(6分) (2)由＋＋…＋＝an＋1得 當(dāng)n≥2時(shí)，＋＋…＋＝an. 兩式相減得：當(dāng)n≥2時(shí)，＝an＋1－an＝2.……………………………………………(9分) ∴cn＝2bn＝2·3n－1 (n≥2)． 又當(dāng)n＝1時(shí)，＝a2，∴c1＝3. ∴cn＝.……………………………………………………………(11分) ∴c1＋c2＋c3＋…＋c2 010 ＝3＋＝3＋(－3＋32 010)＝32 010.…………………………………………(14分)