高考數(shù)學(xué)人教A版理科含答案配套訓(xùn)練 4.2

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1、 精品資料 4.2　同角三角函數(shù)基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式 1． 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 (1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商數(shù)關(guān)系：＝tan α. 2． 下列各角的終邊與角α的終邊的關(guān)系 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α 圖示 與角α 終邊的 關(guān)系 相同 關(guān)于原點對稱 關(guān)于x軸對稱 角 π－α －α ＋α 圖示 與角α 終邊的 關(guān)系 關(guān)于y軸 對稱 關(guān)于直線y＝x 對稱 3. 六組誘導(dǎo)公式 組數(shù) 一 二 三 四 五

2、 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin_α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos_α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α 正切 tan_α tan_α －tan_α －tan_α 口訣 函數(shù)名不變 符號看象限 函數(shù)名改變 符號看象限 1． 判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“”) (1)sin(π＋α)＝－sin α成立的條件是α為銳角． (　　) (2)六組誘導(dǎo)公式中的角α

3、可以是任意角． (　　) (3)若cos(nπ－θ)＝(n∈Z)，則cos θ＝. (　　) (4)已知sin θ＝，cos θ＝，其中θ∈[，π]，則m<－5或m≥3. (　　) (5)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，則tan θ的值為－或－. (　　) (6)已知tan α＝－，則的值是－. (　√　) 2． 已知sin(π－α)＝log8，且α∈(－，0)，則tan(2π－α)的值為 (　　) A．－ B. C． D. 答案　B 解析　sin(π－α)＝sin α＝log8＝－

4、， 又α∈(－，0)， 得cos α＝＝， tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－＝. 3． 若tan α＝2，則的值為________． 答案　 解析　原式＝＝. 4． 已知cos＝，則sin＝________. 答案?。? 解析　sin＝sin ＝－sin＝－cos＝－. 5． 已知函數(shù)f(x)＝則f[f(2 015)]＝________. 答案?。? 解析　∵f[f(2 015)]＝f(2 015－15)＝f(2 000)， ∴f(2 000)＝2cos＝2cos π＝－1. 題型一　同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用 例1　(1)已知cos(π＋x

5、)＝，x∈(π，2π)，則tan x＝________. (2)已知tan θ＝2，則sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于 (　　) A．－ B. C．－ D. 思維啟迪　(1)應(yīng)用平方關(guān)系求出sin x，可得tan x； (2)把所求的代數(shù)式中的弦轉(zhuǎn)化為正切，代入可求． 答案　(1)　(2)D 解析　(1)∵cos(π＋x)＝－cos x＝，∴cos x＝－. 又x∈(π，2π)， ∴sin x＝－＝－＝－， ∴tan x＝＝. (2)sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝ ＝＝＝＝. 思維升華　(1)利用s

6、in2α＋cos2α＝1可以實現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以實現(xiàn)角α的弦切互化． (2)應(yīng)用公式時注意方程思想的應(yīng)用：對于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α這三個式子，利用(sin αcos α)2＝12sin αcos α，可以知一求二． (3)注意公式逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 　(1)已知＝－，那么的值是 (　　) A. B．－ C．2 D．－2 (2)已知tan θ＝2，則sin θcos θ＝________. 答案　

7、(1)A　(2) 解析　(1)由于＝＝－1， 故＝. (2)sin θcos θ＝ ＝＝＝. 題型二　誘導(dǎo)公式的應(yīng)用 例2　(1)已知cos＝，求cos的值； (2)已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－，求sin(3π＋α)tan的值． 思維啟迪　(1)將＋α看作一個整體，觀察＋α與－α的關(guān)系． (2)先化簡已知，求出cos α的值，然后化簡結(jié)論并代入求值． 解　(1)∵＋＝π， ∴－α＝π－. ∴cos＝cos ＝－cos＝－， 即cos＝－. (2)∵cos(α－7π)＝cos(7π－α) ＝cos(π－α)＝－cos α＝－， ∴cos α＝. ∴

8、sin(3π＋α)tan ＝sin(π＋α) ＝sin αtan ＝sin α ＝sin α＝cos α＝. 思維升華　熟練運用誘導(dǎo)公式和基本關(guān)系式，并確定相應(yīng)三角函數(shù)值的符號是解題的關(guān)鍵．另外，切化弦是常用的規(guī)律技巧． 　(1)已知sin＝，則cos的值為________． (2)已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，則tan2(π－α)＝________. 答案　(1)－　(2)－ 解析　(1)cos＝cos ＝－sin＝－. (2)∵方程5x2－7x－6＝0的根為－或2， 又α是第三象限角，∴sin α＝－， ∴cos α＝－＝－， ∴

9、tan α＝＝＝， ∴原式＝tan2α＝－tan2α＝－. 題型三　三角函數(shù)式的求值與化簡 例3　(1)已知tan α＝，求的值； (2)化簡：. 思維啟迪　三角函數(shù)式的化簡與求值，都是按照從繁到簡的形式進行轉(zhuǎn)化，要認真觀察式子的規(guī)律，使用恰當(dāng)?shù)墓剑? 解　(1)因為tan α＝， 所以＝ ＝＝. (2)原式＝ ＝＝＝－1. 思維升華　在三角函數(shù)式的求值與化簡中，要注意尋找式子中的角，函數(shù)式子的特點和聯(lián)系，可以切化弦，約分或抵消，減少函數(shù)種類，對式子進行化簡． 　(1)若α為三角形的一個內(nèi)角，且sin α＋cos α＝，則這個三角形是 (　　) A．正三角形

10、 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．鈍角三角形 (2)已知tan α＝2，sin α＋cos α<0， 則＝________. 答案　(1)D　(2)－ 解析　(1)∵(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝， ∴sin αcos α＝－<0，∴α為鈍角．故選D. (2)原式＝＝sin α， ∵tan α＝2>0，∴α為第一象限角或第三象限角． 又sin α＋cos α<0，∴α為第三象限角， 由tan α＝＝2， 得sin α＝2cos α代入sin2α＋cos2α＝1， 解得sin α＝－. 方程思想在三角函數(shù)求值中的

11、應(yīng)用 典例：(5分)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，則tan θ＝________. 思維啟迪　利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系，尋求sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ和sin θcos θ的關(guān)系． 規(guī)范解答 解析　方法一　因為sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)， 所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝， 所以sin θcos θ＝－. 由根與系數(shù)的關(guān)系，知sin θ，cos θ是方程x2－x－＝0的兩根， 所以x1＝，x2＝－. 因為θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0. 所以sin θ＝，cos θ＝－.

12、 所以tan θ＝＝－. 方法二　同法一，得sin θcos θ＝－， 所以＝－. 弦化切，得＝－， 即60tan2θ＋169tan θ＋60＝0， 解得tan θ＝－或tan θ＝－. 又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝>0，sin θcos θ＝－<0. 所以θ∈(，)，所以tan θ＝－. 方法三　解方程組得， 或(舍)． 故tan θ＝－. 答案?。? 溫馨提醒　三種解法均體現(xiàn)了方程思想在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用．利用已知條件sin θ＋cos θ＝和公式sin2θ＋cos2θ＝1可列方程組解得sin θcos θ，sin θ－cos θ，也可以利用一元二次

13、方程根與系數(shù)的關(guān)系求sin θ、cos θ.各解法中均要注意條件θ∈(0，π)的運用，謹防產(chǎn)生增解. 方法與技巧 同角三角恒等變形是三角恒等變形的基礎(chǔ)，主要是變名、變式． 1． 同角關(guān)系及誘導(dǎo)公式要注意象限角對三角函數(shù)符號的影響，尤其是利用平方關(guān)系在求三角函數(shù)值時，進行開方時要根據(jù)角的象限或范圍，判斷符號后，正確取舍． 2． 三角求值、化簡是三角函數(shù)的基礎(chǔ)，在求值與化簡時，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x＝化成正弦、余弦函數(shù)；(2)和積轉(zhuǎn)換法：如利用(sin θcos θ)2＝12sin θcos θ的關(guān)系進行變形、轉(zhuǎn)化；(3)巧用“1”的變換：1＝sin2θ＋

14、cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ＝tan＝…. 失誤與防范 1． 利用誘導(dǎo)公式進行化簡求值時，先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其步驟：去負—脫周—化銳． 特別注意函數(shù)名稱和符號的確定． 2． 在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時，若開方，要特別注意判斷符號． 3． 注意求值與化簡后的結(jié)果一般要盡可能有理化、整式化. A組　專項基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時間：35分鐘，滿分：57分) 一、選擇題 1． α是第四象限角，tan α＝－，則sin α等于 (　　) A. B．－ C. D．－ 答案　D 解析　∵tan α＝

15、＝－，∴cos α＝－sin α， 又sin2α＋cos2α＝1， ∴sin2α＋sin2α＝sin2α＝1. 又sin α<0，∴sin α＝－. 2． 已知α和β的終邊關(guān)于直線y＝x對稱，且β＝－，則sin α等于 (　　) A．－ B. C．－ D. 答案　D 解析　因為α和β的終邊關(guān)于直線y＝x對稱，所以α＋β＝2kπ＋(k∈Z)．又β＝－，所以α＝2kπ＋(k∈Z)，即得sin α＝. 3． 已知sin(π－α)＝－2sin(＋α)，則sin αcos α等于 (　　) A. B．－ C.或－ D．

16、－ 答案　B 解析　由sin(π－α)＝－2sin(＋α)得sin α＝－2cos α， 所以tan α＝－2， ∴sin αcos α＝＝＝－，故選B. 4． 已知f(α)＝，則f的值為 (　　) A. B．－ C. D．－ 答案　A 解析　∵f(α)＝＝cos α， ∴f＝cos ＝cos＝cos ＝. 5． 已知A＝＋(k∈Z)，則A的值構(gòu)成的集合是 (　　) A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1} C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2} 答案　C 解析　當(dāng)k＝2n(n∈Z)時

17、， A＝＋＝2； 當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時， A＝＋＝－2. 故A的值構(gòu)成的集合為{－2,2}． 二、填空題 6． 化簡：＝________. 答案　－1 解析　原式＝－＝－＝－1. 7． 如果cos α＝，且α是第一象限的角，那么cos(α＋)＝________. 答案　 解析　∵cos α＝，α為第一象限角， ∴sin α＝＝ ＝， ∴cos(α＋)＝sin α＝. 8． 化簡：＝________. 答案　1 解析　原式＝＝＝1. 三、解答題 9． 已知sin θ＝，<θ<π. (1)求tan θ的值； (2)求的值． 解　(1)∵sin2θ＋c

18、os2θ＝1，∴cos2θ＝. 又<θ<π，∴cos θ＝－. ∴tan θ＝＝－. (2)由(1)知，＝＝－. 10．已知sin θ，cos θ是關(guān)于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的兩個根，求cos3(－θ)＋sin3(－θ)的值． 解　由已知原方程的判別式Δ≥0，即(－a)2－4a≥0， ∴a≥4或a≤0. 又，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， 則a2－2a－1＝0，從而a＝1－或a＝1＋(舍去)， 因此sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－. ∴cos3(－θ)＋sin3(－θ)＝sin3θ＋cos3θ ＝(sin θ＋c

19、os θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ) ＝(1－)[1－(1－)]＝－2. B組　專項能力提升 (時間：25分鐘，滿分：43分) 1． 已知sin θ＝－，θ∈(－，)，則sin(θ－5π)sin(π－θ)的值是 (　　) A. B．－ C．－ D. 答案　B 解析　∵sin θ＝－，θ∈(－，)， ∴cos θ＝＝. ∴原式＝－sin(π－θ)(－cos θ)＝sin θcos θ ＝－＝－. 2． 當(dāng)0

20、　D 解析　當(dāng)0

21、(x)＝ ＝ ＝ ＝ ＝sin2x， 綜上得f(x)＝sin2x. (2)由(1)得f()＋f() ＝sin2＋sin2 ＝sin2＋sin2(－) ＝sin2＋cos2＝1. 5． 已知在△ABC中，sin A＋cos A＝. (1)求sin Acos A的值； (2)判斷△ABC是銳角三角形還是鈍角三角形； (3)求tan A的值． 解　(1)∵sin A＋cos A＝，① ∴兩邊平方得1＋2sin Acos A＝， ∴sin Acos A＝－. (2)由sin Acos A＝－<0，且00，cos A<0，∴sin A－cos A>0， ∴sin A－cos A＝.② ∴由①，②可得sin A＝，cos A＝－， ∴tan A＝＝＝－.