高考數(shù)學(xué)人教A版理科配套題庫(kù)【第六章】數(shù)列 第5講數(shù)列的綜合應(yīng)用

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1、 精品資料 第5講 數(shù)列的綜合應(yīng)用 一、選擇題 1.已知{an}為等比數(shù)列.下面結(jié)論中正確的是 (  ). A.a(chǎn)1+a3≥2a2 B.a(chǎn)+a≥2a C.若a1=a3,則a1=a2 D.若a3>a1,則a4>a2 解析 設(shè)公比為q,對(duì)于選項(xiàng)A,當(dāng)a1<0,q≠1時(shí)不正確;選項(xiàng)C,當(dāng)q=-1時(shí)不正確;選項(xiàng)D,當(dāng)a1=1,q=-2時(shí)不正確;選項(xiàng)B正確,因?yàn)閍+a≥2a1a3=2a. 答案 B 2.滿(mǎn)足a1=1,log2an+1=log2an+1(n∈N*),它的前n項(xiàng)和為Sn,則滿(mǎn)足Sn>1 0

2、25的最小n值是 (  ). A.9 B.10 C.11 D.12 解析 因?yàn)閍1=1,log2an+1=log2an+1(n∈N*),所以an+1=2an,an=2n-1,Sn=2n-1,則滿(mǎn)足Sn>1 025的最小n值是11. 答案 C 3.某化工廠打算投入一條新的生產(chǎn)線,但需要經(jīng)環(huán)保部門(mén)審批同意方可投入生產(chǎn).已知該生產(chǎn)線連續(xù)生產(chǎn)n年的累計(jì)產(chǎn)量為f(n)=n(n+1)(2n+1)噸,但如果年產(chǎn)量超過(guò)150噸,將會(huì)給環(huán)境造成危害.為保護(hù)環(huán)境,環(huán)保部門(mén)應(yīng)給該廠這條生產(chǎn)線擬定最長(zhǎng)的生產(chǎn)期限是 (  ). A.5年 B

3、.6年 C.7年 D.8年 解析 由已知可得第n年的產(chǎn)量an=f(n)-f(n-1)=3n2.當(dāng)n=1時(shí)也適合,據(jù)題意令an≥150?n≥5,即數(shù)列從第8項(xiàng)開(kāi)始超過(guò)150,即這條生產(chǎn)線最多生產(chǎn)7年. 答案 C 4.在等差數(shù)列{an}中,滿(mǎn)足3a4=7a7,且a1>0,Sn是數(shù)列{an}前n項(xiàng)的和,若Sn取得最大值,則n= (  ). A.7 B.8 C.9 D.10 解析 設(shè)公差為d,由題設(shè)3(a1+3d)=7(a1+6d), 所以d=-a1<0. 解不等式an>0,即a1+(n-1)>0, 所以n<,則n≤9, 當(dāng)n

4、≤9時(shí),an>0,同理可得n≥10時(shí),an<0. 故當(dāng)n=9時(shí),Sn取得最大值. 答案 C 5.設(shè)y=f(x)是一次函數(shù),若f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比數(shù)列,則f(2)+f(4)+…+f(2n)等于 (  ). A.n(2n+3) B.n(n+4) C.2n(2n+3) D.2n(n+4) 解析 由題意可設(shè)f(x)=kx+1(k≠0), 則(4k+1)2=(k+1)(13k+1),解得k=2, f(2)+f(4)+…+f(2n)=(22+1)+(24+1)+…+(22n+1)=2n2+3n. 答案 A 6.

5、若數(shù)列{an}為等比數(shù)列,且a1=1,q=2,則Tn=++…+的結(jié)果可化為(  ) A.1- B.1- C. D. 解析 an=2n-1,設(shè)bn==2n-1, 則Tn=b1+b2+…+bn=+3+…+2n-1 ==. 答案 C 二、填空題 7.設(shè)關(guān)于x的不等式x2-x<2nx(n∈N*)的解集中整數(shù)的個(gè)數(shù)為an,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則S100的值為_(kāi)_______. 解析 由x2-x<2nx(n∈N*),得0<x<2n+1,因此知an=2n. ∴S100==10 100. 答案 10 100 8.已知a,b,c成等比數(shù)列,如果a,x,b

6、和b,y,c都成等差數(shù)列,則+=________. 解析 賦值法.如令a,b,c分別為2,4,8,可求出x==3,y==6,+=2. 答案 2 9.設(shè)曲線y=xn+1(n∈N*)在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn,令an=lg xn,則a1+a2+a3+…+a99的值為_(kāi)_______. 解析 由y′=(n+1)xn(x∈N*),所以在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率k=n+1,故切線方程為y=(n+1)(x-1)+1,令y=0得xn=,所以a1+a2+a3+…+a99=lg x1+lg x2+…+lg x99=lg(x1x2…x99)=lg…=lg =-2. 答案?。? 1

7、0.?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若數(shù)列{an}的各項(xiàng)按如下規(guī)律排列: ,,,,,,,,,,…,,,…,,…,有如下運(yùn)算和結(jié)論: ①a24=; ②數(shù)列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…是等比數(shù)列; ③數(shù)列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…的前n項(xiàng)和為T(mén)n=; ④若存在正整數(shù)k,使Sk<10,Sk+1≥10,則ak=. 其中正確的結(jié)論有________.(將你認(rèn)為正確的結(jié)論序號(hào)都填上) 解析 依題意,將數(shù)列{an}中的項(xiàng)依次按分母相同的項(xiàng)分成一組,第n組中的數(shù)的規(guī)律是:第n組中的數(shù)共有n個(gè),并且每個(gè)數(shù)的分母均是n+1,分子

8、由1依次增大到n,第n組中的各數(shù)和等于=. 對(duì)于①,注意到21=<24<=28,因此數(shù)列{an}中的第24項(xiàng)應(yīng)是第7組中的第3個(gè)數(shù),即a24=,因此①正確. 對(duì)于②、③,設(shè)bn為②、③中的數(shù)列的通項(xiàng),則bn= =,顯然該數(shù)列是等差數(shù)列,而不是等比數(shù)列,其前n項(xiàng)和等于=,因此②不正確,③正確. 對(duì)于④,注意到數(shù)列的前6組的所有項(xiàng)的和等于=10,因此滿(mǎn)足條件的ak應(yīng)是第6組中的第5個(gè)數(shù),即ak=,因此④正確. 綜上所述,其中正確的結(jié)論有①③④. 答案?、佗邰? 三、解答題 11.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,S5=35,a5和a7的等差中項(xiàng)為13. (1)求an及Sn;

9、(2)令bn=(n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d, 因?yàn)镾5=5a3=35,a5+a7=26, 所以解得a1=3,d=2, 所以an=3+2(n-1)=2n+1, Sn=3n+2=n2+2n. (2)由(1)知an=2n+1, 所以bn===-, 所以Tn=++…+ =1-=. 12.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿(mǎn)足2Sn=an+1-2n+1+1,n∈N*,且a1,a2+5,a3成等差數(shù)列. (1)求a1的值; (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (3)證明:對(duì)一切正整數(shù)n,有++…+<. (1)解 當(dāng)n=1時(shí),2

10、a1=a2-4+1=a2-3, ① 當(dāng)n=2時(shí),2(a1+a2)=a3-8+1=a3-7, ② 又a1,a2+5,a3成等差數(shù)列,所以a1+a3=2(a2+5), ③ 由①②③解得a1=1. (2)解 ∵2Sn=an+1-2n+1+1, ∴當(dāng)n≥2時(shí),有2Sn-1=an-2n+1, 兩式相減整理得an+1-3an=2n,則-=1, 即+2=.又+2=3,知 是首項(xiàng)為3,公比為的等比數(shù)列, ∴+2=3n-1, 即an=3n-2n,n=1時(shí)也適合此式,∴an=3n-2n. (3)證明 由(2)得=. 當(dāng)n≥2時(shí),n>2,即3n-2n>2n

11、, ∴++…+<1+2+3+…+n=1+<. 13.已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列{an}的前四項(xiàng)和為14,且a1,a3,a7恰為等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng). (1)分別求數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和Sn,Tn; (2)記數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和為Kn,設(shè)cn=,求證:cn+1>cn(n∈N*). (1)解 設(shè)公差為d,則 解得d=1或d=0(舍去),a1=2, 所以an=n+1,Sn=. 又a1=2,d=1,所以a3=4,即b2=4. 所以數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為b1=2,公比q==2, 所以bn=2n,Tn=2n+1-2. (2)證明 因?yàn)镵n=221+322+…+(n+

12、1)2n, ① 故2Kn=222+323+…+n2n+(n+1)2n+1, ② ①-②得-Kn=221+22+23+…+2n-(n+1)2n+1, ∴Kn=n2n+1,則cn==. cn+1-cn=- =>0, 所以cn+1>cn(n∈N*). 14.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足Sn+1=a2Sn+a1,其中a2≠0. (1)求證:{an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列; (2)若a2>-1,求證:Sn≤(a1+an),并給出等號(hào)成立的充要條件. 證明 (1)由S2=a2S1+a1,得a1+a2=a2a1+a1, 即a2=a2a1. 因a2≠0,故a

13、1=1,得=a2, 又由題設(shè)條件知Sn+2=a2Sn+1+a1,Sn+1=a2Sn+a1, 兩式相減得Sn+2-Sn+1=a2(Sn+1-Sn), 即an+2=a2an+1,由a2≠0,知an+1≠0,因此=a2. 綜上,=a2對(duì)所有n∈N*成立.從而{an}是首項(xiàng)為1,公比為a2的等比數(shù)列. (2)當(dāng)n=1或2時(shí),顯然Sn=(a1+an),等號(hào)成立. 設(shè)n≥3,a2>-1且a2≠0,由(1)知,a1=1,an=a, 所以要證的不等式化為: 1+a2+a+…+a≤(1+a)(n≥3), 即證:1+a2+a+…+a≤(1+a)(n≥2), 當(dāng)a2=1時(shí),上面不等式的等號(hào)成立. 當(dāng)-1<a2<1時(shí),a-1與a-1,(r=1,2,…,n-1)同為負(fù); 當(dāng)a2>1時(shí),a-1與a-1,(r=1,2,…,n-1)同為正; 因此當(dāng)a2>-1且a2≠1時(shí),總有(a-1)(a-1)>0,即a+a<1+a,(r=1,2,…,n-1). 上面不等式對(duì)r從1到n-1求和得 2(a2+a+…+a)<(n-1)(1+a). 由此得1+a2+a+…+a<(1+a). 綜上,當(dāng)a2>-1且a2≠0時(shí),有Sn≤(a1+an),當(dāng)且僅當(dāng)n=1,2或a2=1時(shí)等號(hào)成立.

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