高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù)第二章 第5講　指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

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1、 精品資料 第5講　指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 一、填空題 1．方程4x－2x＋1－3＝0的解是________． 解析 方程4x－2x＋1－3＝0可化為(2x)2－2·2x－3＝0，即(2x－3)(2x＋1)＝0，∵2x>0，∴2x＝3，∴x＝log23. 答案 log23 2．已知函數(shù)f(x)＝是定義域上的遞減函數(shù)， 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析 ∵函數(shù)f(x)＝是定義域上的遞減函數(shù)，∴即 解得<a≤. 答案 <a≤ 3．設(shè)集合M＝{x|2x－1<1，x∈R}，N＝{x

2、|logx<1，x∈R}，則M∩N 等于________． 解析 M＝{x|x<1}，N＝，則M∩N＝. 答案 4．函數(shù)y＝的單調(diào)遞增區(qū)間是________． 解析 由－x2＋x＋2≥0知，函數(shù)定義域?yàn)閇－1,2]，－x2＋x＋2＝－2＋，當(dāng)x>時(shí)，u(x)＝－x2＋x＋2遞減，又y＝x在定義域上遞減，故函數(shù)y＝的單調(diào)遞增區(qū)間為. 答案 5．已知函數(shù)f(x)＝關(guān)于x的方程f(x)＋x－a＝0有且 只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的范圍是________． 解析 方程f(x)＋x－a＝0有且只有一個(gè)實(shí)根，等價(jià)于函數(shù)y＝f(x)與y＝－x＋a的圖象有且只有一

3、個(gè)交點(diǎn)．結(jié)合下面函數(shù)圖象可知a>1. 答案 (1，＋∞) 6．設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＝則f(2 010)＝________. 解析　當(dāng)x＞0時(shí)，f(2 010)＝f(2 009)－f(2 008)＝f(2 008)－f(2 007)－f(2 008)＝－f(2 007)＝f(2 005)－f(2 006)＝f(2 005)－f(2 005)＋f(2 004)＝f(2 004)，所以f(x)是以T＝6的周期函數(shù)，所以f(2 010)＝f(335×6)＝f(0)＝3－1＝. 答案　 7．已知函數(shù)f(x)，g(x)分別是R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足f(

4、x)－g(x)＝ex，則g(0)，g(2)，g(3)的大小關(guān)系是________． 解析　因?yàn)閒(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，所以由f(－x)－g(－x)＝e－x，得－f(x)－g(x)＝e－x，與f(x)－g(x)＝ex聯(lián)立，求得f(x)＝(ex－e－x)，g(x)＝－(ex＋e－x)，g′(x)＝－(ex－e－x)＝0，x＝0，當(dāng)x<0時(shí)，g′(x)>0，當(dāng)x>0時(shí)，g′(x)<0.所以g(3)＜g(2)＜g(0)． 答案　g(3)＜g(2)＜g(0) 8．設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(x)是奇函數(shù)，則g(2)的值是________． 解析　因?yàn)閒(x

5、)是奇函數(shù)，所以g(2)＝f(2)＝－f(－2)＝－2－2＝－. 答案?。? 9．已知函數(shù)f(x)＝9x－m·3x＋m＋1在x∈(0，＋∞)上的圖象恒在x軸上方，則m的取值范圍為_(kāi)_______． 解析　設(shè)t＝3x＞1問(wèn)題轉(zhuǎn)化為m＜，t∈(1，＋∞)，即m小于y＝，t∈(1，＋∞)的最小值，又y＝＝t－1＋＋2≥2 ＋2＝2＋2，所以m＜2＋2. 答案　(－∞，2＋2) 10．函數(shù)y＝a2x－2(a>0，a≠1)的圖象恒過(guò)點(diǎn)A，若直線l：mx＋ny－1＝0經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，則坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離的最大值為_(kāi)_______． 解析　由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得：函數(shù)y＝a2x－2(

6、a>0，a≠1)的圖象恒過(guò)點(diǎn)A(1,1)，而A∈l，∴m＋n－1＝0，即m＋n＝1，由基本不等式可得：m2＋n2≥(m＋n)2＝.∴O到直線l的距離d＝≤＝，∴O到直線l的距離的最大值為. 答案　 二、解答題 11．已知函數(shù)f(x)＝2x－(x∈R)． (1)討論f(x)的單調(diào)性與奇偶性； (2)若2xf(2x)＋mf(x)≥0對(duì)任意的x∈[0，＋∞)恒成立，求m的取值范圍． 解　(1)由f(－x)＝2－x－＝－2x＝－f(x)知f(x)是奇函數(shù)．由y1＝2x與y2＝－2－x是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，得f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)． (2)當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，2x

7、＋m≥0，即≥0恒成立，因?yàn)閤≥0時(shí)，2x－≥0，所以22x＋1＋m≥0，m≥－(22x＋1)，所以m≥－(20＋1)＝－2. 12．如圖，過(guò)原點(diǎn)O的直線與函數(shù)y＝2x的圖象交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)B作y軸 的垂線交函數(shù)y＝4x的圖象于點(diǎn)C.若AC平行于y軸，求A點(diǎn)的坐標(biāo)． 解 設(shè)C(a,4a)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． ∵AC∥y軸，∴x1＝a， ∴y1＝2x1＝2a，即A(a,2a)． 又y2＝2x2＝4a，∴x2＝2a， 即B(2a,4a)．∵A、B、O三點(diǎn)共線， ∴＝?a＝1，∴A(1,2)． 13．已知函數(shù)f(x)＝a·2x＋b·3x，其中

8、常數(shù)a，b滿足ab≠0. (1)若ab>0，判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性； (2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)時(shí)的x的取值范圍． 解 (1)當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，因?yàn)閍·2x、b·3x都單調(diào)遞增，[來(lái)源:] 所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞增； 當(dāng)a<0，b<0時(shí)， 因?yàn)閍·2x、b·3x都單調(diào)遞減， 所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞減． (2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x＞0. 當(dāng)a＜0，b＞0時(shí)，x＞－， 解得x>log； 當(dāng)a＞0，b＜0時(shí)，x＜－，解得x<log.

9、 14．設(shè)函數(shù)f(x)＝kax－a－x(a＞0且a≠1)是奇函數(shù)． (1)求k的值； (2)若f(1)＞0，解關(guān)于x的不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)＞0； (3)若f(1)＝，且g(x)＝a2x＋a－2x－2mf(x)在[1，＋∞)上的最小值為－2，求m的值． 解　(1)因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，且f(0)有意義，所以f(0)＝0，所以k－1＝0，k＝1. (2)因?yàn)閒(1)＞0，所以a－＞0，∴a＞1，∴f(x)＝ax－a－x是R上的單調(diào)增函數(shù)． 于是由f(x2＋2x)＞－f(x－4)＝f(4－x)，得x2＋2x＞4－x，即x2＋3x－4＞0，解得x＜－4或x＞1. (3)因?yàn)閒(1)＝，所以a－＝，解得a＝2(a＞0)，所以g(x)＝22x＋2－2x－2m(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－2m(2x－2－x)＋2.設(shè)t＝f(x)＝2x－2－x，則由x≥1， 得t≥f(1)＝，g(x)＝t2－2mt＋2＝(t－m)2＋2－m2. 若m≥，則當(dāng)t＝m時(shí)，ymin＝2－m2＝－2，解得m＝2. 若m＜，則當(dāng)t＝時(shí)，ymin＝－3m＝－2， 解得m＝(舍去)．綜上得m＝2.