高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫第四章 第6講　二倍角、簡單的三角恒等變換

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1、 精品資料 第6講　二倍角、簡單的三角恒等變換 一、填空題 1．已知α是銳角，且sin＝，則sin的值等于________． 解析 由sin＝，得cos α＝，又α為銳角，[來源:] ∴sin＝－sin＝－ ＝－ ＝－ ＝－. 答案 － 2．若＝－，則cos α＋sin α的值為________． 解析　由＝－(sin α＋cos α)＝－，得sin α＋cos α＝. 答案　 3．已知函數(shù)f(x)＝cos2－sin2＋sin x，若x0∈且f(x0)＝，則cos 2x0＝________. 解析　f(x)＝cos

2、 x＋sin x＝sin，由f(x0)＝，得sin＝.又x0∈，所以x0＋∈，所以cos＝，所以cos 2x0＝sin＝2sincos＝. 答案　 4．已知鈍角α滿足cos α＝－， 則tan的值為________． 解析　因?yàn)閏os α＝2cos2－1＝－， 所以cos2＝.又α∈， 所以cos＝，sin＝， tan＝2，所以tan＝＝－3. 答案?。? 5．函數(shù)y＝sincos x的最小值是________． 解析　y＝sincos x＝cos x ＝sin xcos x－cos2x＝sin 2x－ ＝sin－，最小值為－－＝－. 答案?。? 6．已知sin α＝

3、2sin β，tan α＝3tan β，則cos 2α＝________. 解析　由sin2α＝4sin2β，tan2α＝9tan2β相除，得9cos2α＝4cos2β，所以sin2 α＋9cos2α＝4sin2β＋4cos2β＝4，所以cos2α＝，cos 2α＝2cos2α－1＝－. 答案?。? 7．在銳角△ABC中，sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝，則tan 2B的值為________． 解析 因?yàn)锳＋B>，所以由sin(A＋B)＝ 得cos(A＋B)＝－，tan(A＋B)＝－. 又因?yàn)閟in(A－B)＝，且A，B為銳角， 所以cos(A－B)＝，tan(A－B)＝.

4、 所以tan 2B＝tan[(A＋B)－(A－B)] ＝ ＝＝－. 答案 － 8．已知sinsin＝，則cos 2x＝________. 解析 因?yàn)閟insin ＝sincos＝sin＝， 所以cos 2x＝. 答案 9．函數(shù)y＝cos x(cos x＋sin x)，x∈的值域是________． 解析 y＝cos x(cos x＋sin x)＝cos2x＋sin xcos x＝＋sin 2x＝(sin 2x＋cos 2x)＋ ＝sin＋. 因?yàn)?≤x≤，所以≤sin≤1，從而1≤y≤＋. 答案 10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(0，－1)，B

5、(－3，－4)兩點(diǎn)，若點(diǎn)C在∠AOB的平分線上，且||＝，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是________． 解析　如圖，α＋2β＝90， sin α＝，cos α＝， 所以sin(90－2β)＝. 即cos 2β＝，從而2cos2β－1＝， cos β＝，sin β＝. 所以tan(α＋β)＝＝＝3. 所以直線OC的方程為y＝3x，于是由＝＝，且x＜0，得x＝－1，y＝－3，C(－1，－3)． 答案　(－1，－3) 二、解答題 11．已知函數(shù)f(x)＝2sincos－sin(x＋π)． (1)求f(x)的最小正周期； (2)若將f(x)的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函

6、數(shù)g(x)在區(qū)間[0，π]上的最大值和最小值． 解　(1)因?yàn)閒(x)＝sin＋sin x＝cos x＋sin x ＝2sin，所以f(x)的最小正周期為2π. (2)因?yàn)間(x)＝f＝2sin＝2sin，且x∈[0，π]，所以x＋∈，所以當(dāng)x＋＝，即x＝時(shí)，g(x)取最大值2；當(dāng)x＋＝，即x＝π時(shí)，g(x)取最小值－1. 12．已知向量a＝(1－tan x,1)，b＝(1＋sin 2x＋cos 2x,0)，記函數(shù)f(x)＝ab. (1)求函數(shù)f(x)的解析式，并指出它的定義域； (2)若f＝，且α∈，求f(α)． 解　(1)f(x)＝ab＝(1－tan x)(1＋sin 2x＋

7、cos 2x)＝(2cos2x＋2sin xcos x)＝2(cos2x－sin2x)＝2cos 2x.定義域?yàn)? (2)因?yàn)閒＝2cos＝， 所以cos＝，且2α＋∈， 所以sin＝. 所以f(α)＝2cos 2α＝2cos＝ 2coscos＋2sinsin ＝. 13． (1)設(shè)0<α<π，π<β<2π，若對(duì)任意的x∈R，都有關(guān)于x的等式cos(x＋α)＋sin(x＋β)＋cos x＝0恒成立，試求α，β的值； (2)在△ABC中，三邊a，b，c所對(duì)的角依次為A，B，C，且2cos2C＋sin 2C＝3，c＝1，S△ABC＝，且a>b，求a，b的值． 解　(1)由cos(x

8、＋α)＋sin(x＋β)＋cos x＝0，得(cos α＋sin β＋)cos x＋(cos β－sin α)sin x＝0. 由關(guān)于x的恒等式成立，得 即代入sin2β＋cos2β＝1， 解得cos α＝－.又0<α<π，∴α＝. ∴cos β＝sin α＝.又π<β<2π，∴β＝. (2)由2cos2C＋sin 2C＝3，得 sin 2C＋cos 2C＝2， ∴sin 2C＋cos 2C＝1，即sin＝1， ∴2C＋＝，C＝.于是由c＝1，S△ABC＝， 得即 又a>b，所以解得a＝2，b＝. 14．設(shè)函數(shù)f(x)＝cos＋sin2x. (1)求函數(shù)f(x)的最大值； (2)設(shè)A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，若cos B＝，f＝－，且C為銳角，求sin A. 解 (1)f(x)＝cos 2xcos－sin2xsin＋ ＝cos 2x－sin 2x＋－cos 2x ＝－sin 2x. 所以，當(dāng)2x＝－＋2kπ，k∈Z， 即x＝－＋kπ(k∈Z)時(shí)， f(x)取得最大值，f(x)max＝. (2)由f＝－，即－sin C＝－， 解得sin C＝，又C為銳角，所以C＝. 由cos B＝求得sin B＝. 因此sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C) ＝sin Bcos C＋cos Bsin C ＝＋＝.