高考數(shù)學理一輪資源庫第四章 第7講 正弦定理和余弦定理

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1、 精品資料 第7講　正弦定理和余弦定理 一、填空題 1．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C，則A的取值范圍是________． 解析　由題意和正弦定理，得a2≤b2＋c2－bc，∴b2＋c2－a2≥bc，cos A＝≥，所以0＜A≤. 答案　 2．若△ABC的內角A，B，C所對的邊為a，b，c，滿足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60，則ab的值為________．　 解析　由(a＋b)2－c2＝4及余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos 60＝(a＋b)2－3ab，所以ab＝. 答案　

2、 3．已知△ABC的一個內角為120，并且三邊長構成公差為4的等差數(shù)列，則△ABC的面積為________． 解析　不妨設A＝120，c＜b，則a＝b＋4，c＝b－4，于是由cos 120＝＝－，解得b＝10，S＝bcsin 120＝15. 答案　15 4．在△ABC中，若b＝5，B＝，tan A＝2，則sin A＝________，a＝________. 解析　∵tan A＝2＞0，∴A為銳角， 又＝2①，sin2A＋cos2A＝1② 由①②得sin A＝.a＝＝＝＝2. 答案　　2 5. 如圖，在△ABC中，D是邊AC上的點，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，則s

3、in C＝________. 解析　設AB＝a，∴BD＝a，BC＝2BD＝a， cos A＝＝＝， ∴sin A＝＝， 由正弦定理知sin C＝sin A＝＝. 答案　 6．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，則A角大小為________． 解析　由a2－b2＝bc，c＝2b，得a2＝7b2，所以cos A＝＝＝，所以A＝. 答案　 7．在△ABC中，a，b，c分別為A，B，C的對邊，如果a，b，c成等差數(shù)列，B＝30，△ABC的面積為，那么b＝________. 解析　由a，b，c成等差數(shù)列，得2b＝a＋c.平

4、方得a2＋c2＝4b2－2ac.又△ABC的面積為，且B＝30， 故由S△ABC＝acsin B＝acsin 30＝ac＝， 得ac＝6，所以a2＋c2＝4b2－12.由余弦定理 cos B＝＝＝＝. 解得b2＝4＋2.又因為b為邊長，故b＝1＋. 答案　1＋ 8．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a＝2，c＝2，1＋＝，則C＝________. 解析 由1＋＝和正弦定理得cos A＝，∴A＝60.由正弦定理得＝， ∴sin C＝ ，又c

5、2－cos 2C＝，且a＋b＝5，c＝，則△ABC的面積為________． 解析 因為4sin2－cos 2C＝，所以2[1－cos(A＋B)]－2cos2C＋1＝，2＋2cos C－2cos2C＋1＝，cos2C－cos C＋＝0，解得cos C＝.根據(jù)余弦定理有cos C＝＝，ab＝a2＋b2－7,3ab＝a2＋b2＋2ab－7＝(a＋b)2－7＝25－7＝18，ab＝6，所以△ABC的面積S△ABC＝absin C＝6＝. 答案 10．在△ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，則△ABC的面積為________．[] 解析 ∵cos C＝，∴sin C＝，∴S△ABC

6、＝absin C＝32＝4. 答案 4 二、解答題 11．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c. (1)若(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，求A的值； (2)若c＝10，A＝45，C＝30，求b的值． 解　(1)由已知得(b＋c)2－a2＝3bc，即a2＝b2＋c2－bc. 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得cos A＝. 由于0

7、c，已知sin B(tan A＋tan C)＝tan Atan C. (1)求證：a，b，c成等比數(shù)列； (2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面積S. 解 (1)證明：在△ABC中，由于sin B(tan A＋tan C) ＝tan A tanC， 所以 sinB＝， 因此sin B(sin Acos C＋cos Asin C)＝sin A sinC， 所以sinBsin(A＋C)＝sin Asin C， 又A＋B＋C＝π， 所以sin(A＋C)＝sin B， 因此sin2B＝sin Asin C. 由正弦定理得 b2＝ac， 即a，b，c成等比數(shù)列． (2)因為a

8、＝1，c＝2，所以b＝， 由余弦定理得cosB＝＝＝， 因為0＜B＜π， 所以sinB＝＝. 故△ABC的面積S＝acsinB＝12＝. 13．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知＝. (1)求的值； (2)若cos B＝，△ABC的周長為5，求b的長． 解　(1)由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R為△ABC外接圓半徑)，所以＝＝，即sin Bcos A－2sin Bcos C＝2sin Ccos B－sin Acos B，即有sin(A＋B)＝2sin(B＋C)， 即sin C＝2sin A，所以＝2. (2)由

9、(1)知＝2，所以有＝2，即c＝2a， 又因為△ABC的周長為5，所以b＝5－3a， 由余弦定理及cos B＝得b2＝c2＋a2－2accos B， 即(5－3a)2＝(2a)2＋a2－4a2，解得a＝1，所以b＝2. 14．設△ABC的內角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，且b2＝ac. (1)求證：cos B≥； (2)若cos(A－C)＋cos B＝1，求角B的大?。? 解　(1)因為cos B＝＝≥ ＝，所以cos B≥. (2)因為cos(A－C)＋cos B＝cos(A－C)－cos(A＋C)＝ 2sin Asin C＝1，所以sin Asin C＝. 又由b2＝ac，得sin2B＝sin Asin C＝， 又B∈(0，π)，故sin B＝.由(1)，得B＝.