高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫第二章 第3講　函數(shù)的奇偶性與周期性

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1、 精品資料 第3講　函數(shù)的奇偶性與周期性 一、填空題 1．若函數(shù)f(x)＝＋m為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)m＝________. 解析　由題意，得f(0)＝0，所以＋m＝0，即m＝－1. 答案?。? 2．設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且周期為3，f(－1)＝－1，則f(2 011)＝________ 解析　因?yàn)閒(－x)＝－f(x)，f(x＋3)＝f(x)，f(－1)＝－1，所以f(1)＝1，f(2 011)＝f(3670＋1)＝f(1)＝1. 答案　1 3．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝2x－3， 則f(

2、－2)＝________. 解析 ∵f(x)為R上的奇函數(shù)， ∴f(－2)＝－f(2)． 又當(dāng)x＝2時(shí)，f(2)＝22－3＝1，∴f(－2)＝－1. 答案 －1 4．設(shè)f(x)是定義在R上的增函數(shù)，且對于任意的x都有f(1－x)＋f(1 ＋x)＝0恒成立．如果實(shí)數(shù)m、n滿足不等式組那么m2＋n2的取值范圍是________． 解析 考查函數(shù)單調(diào)性及對稱性，舉特殊函數(shù)是解決此類問題的一個(gè)重要方法．如：f(x)＝x－1，f(x＋1)＋f(1－x)＝0，所以f(x)的對稱中心為(1,0)，∴不等式組由圖可知OA最小，OA＝，OB最大，OB＝7，∴m2＋n2∈(13,49)．

3、 答案 (13,49) 5．設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，則 f(99)＝________. 解析 由f(x)f(x＋2)＝13得f(x＋2)＝，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝f(x)． ∴f(x)是以4為周期的周期函數(shù)． ∴f(99)＝f(254－1)＝f(－1)＝＝. 答案 6．設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，最小正周期T＝3，若f(1)≥1，f(2)＝， 則a的取值范圍是________． 答案 7．已知定義在R上的函數(shù)y＝f(x)滿足條件f＝－f(x)，且函數(shù)y ＝f為奇函數(shù)，給出以下四個(gè)命題： ①

4、函數(shù)f(x)是周期函數(shù)； ②函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱； ③函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)； ④函數(shù)f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)． 其中真命題的序號為________． 答案 ①②③ 8．若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函數(shù)，給出下列關(guān)于f(x)的判斷： ①f(x)是周期函數(shù)；②f(x)關(guān)于直線x＝1對稱； ③f(x)在[0,1]上是增函數(shù)；④f(x)在[1,2]上是減函數(shù)； ⑤f(2)＝f(0)． 其中正確的序號是________． 解析　∵f(x＋1)＝－f(x)， ∴f(x)＝－f(x＋1)＝f(x＋1＋1)＝f(x＋2

5、)， ∴f(x)是周期為2的函數(shù)，①正確． 又∵f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)，∴f(x)＝f(2－x)， ∴y＝f(x)的圖象關(guān)于x＝1對稱，②正確． 又∵f(x)為偶函數(shù)且在[－1,0]上是增函數(shù)， ∴f(x)在[0,1]上是減函數(shù)．又∵對稱軸為x＝1， ∴f(x)在[1,2]上為增函數(shù)，f(2)＝f(0)，故③④錯(cuò)誤，⑤正確． 答案?、佗冖? 9．已知函數(shù)f(x)＝x2－cos x，x∈，則滿足f(x0)>f的x0的取值范圍為________． 解析　f′(x)＝2x＋sin x，在區(qū)間內(nèi)f′(x)>0， ∴f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，此時(shí)由f(x0)>f得x0∈，易

6、證f(x)是偶函數(shù)，∴x0∈也符合題意． 答案　 10．已知定義在R上的函數(shù)y＝f(x)滿足條件f＝－f(x)，且函數(shù)y＝f為奇函數(shù)，給出以下四個(gè)命題：①函數(shù)f(x)是周期函數(shù)；②函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；③函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)；④函數(shù)f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)．其中真命題的序號為________(寫出所有真命題的序號)． 解析?、儆蒮＝－f(x)，得f(x＋3)＝－f＝f(x)，所以①正確．②由y＝f為奇函數(shù)，得f(x)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以②不正確．③由f＝－f，得f(x)＝－f，又f＝－f(x)，所以f＝f，所以f(x)是偶函數(shù)，③正確．由③正確知④不正確． 答案?、佗?

7、二、解答題 11．設(shè)f(x)＝ex＋ae－x(a∈R，x∈R)． (1)討論函數(shù)g(x)＝xf(x)的奇偶性； (2)若g(x)是偶函數(shù)，解不等式f(x2－2)≤f(x)． 解　(1)a＝1時(shí)，f(x)＝ex＋e－x是偶函數(shù)， 所以g(x)＝xf(x)是奇函數(shù)； a＝－1時(shí)，f(x)＝ex－e－x是奇函數(shù)， 所以g(x)＝xf(x)是偶函數(shù)． a≠1，由f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)， 得g(x)＝xf(x)是非奇非偶函數(shù)． (2)當(dāng)g(x)是偶函數(shù)時(shí)，a＝－1，f(x)＝ex－e－x是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，于是由f(x2－2)≤f(x)得x2－2≤x， 即x2－x－2≤

8、0，解得－1≤x≤2. 12.已知函數(shù)f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R)． (1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性； (2)若f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解　(1)當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝x2(x≠0)為偶函數(shù)； 當(dāng)a≠0時(shí)，f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)， ∴f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)． (2)設(shè)x2>x1≥2， 則f(x1)－f(x2)＝x＋－x－ ＝[x1x2(x1＋x2)－a]， 由x2>x1≥2，得x1x2(x1＋x2)>16，x1－x2<0，x1x2>0. 要使f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)， 只需f(x1)－

9、f(x2)<0， 即x1x2(x1＋x2)－a>0恒成立，則a≤16. 13．定義在R上的增函數(shù)y＝f(x)對任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)． (1)求f(0)； (2)求證：f(x)為奇函數(shù)； (3)若f(k3x)＋f(3x－9x－2)<0對任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍． 解 (1)令x＝y(tǒng)＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0. (2)證明：令y＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，又f(0)＝0，則有0＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x)對任意x∈R成立， 所以f(x)是奇函數(shù)． (3)因?yàn)閒(x)在R

10、上是增函數(shù)， 又由(2)知f(x)是奇函數(shù)． 所以f(k3x)<－f(3x－9x－2)＝f(－3x＋9x＋2)， 所以k3x<－3x＋9x＋2， 即32x－(1＋k)3x＋2>0對任意x∈R成立． 令t＝3x>0，問題等價(jià)于t2－(1＋k)t＋2>0對任意t>0恒成立． 令f(t)＝t2－(1＋k)t＋2，其對稱軸為t＝， 當(dāng)<0，即k<－1時(shí)，f(0)＝2>0，符合題意； 當(dāng)≥0，即k≥－1時(shí)，f(t)>0對任意t>0恒成立? 解得－1≤k<－1＋2. 綜上所述，當(dāng)k<－1＋2時(shí)，f(k3x)＋f(3x－9x－2)<0對任意x∈R恒成立． 14． (1)已知f(x)是R

11、上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2－x－1，求f(x)的解 析式； (2)設(shè)a>0，f(x)＝＋是R上的偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值； (3)已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－2,2]，且在區(qū)間[－2,0]內(nèi)遞減，求滿足f(1－m)＋f(1－m2)<0的實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解 (1)∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)， ∴f(0)＝0，當(dāng)x<0時(shí)，－x>0， 由已知f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1＝－f(x)． ∴f(x)＝－x2－x＋1. ∴f(x)＝ (2)∵f(x)是R上的偶函數(shù)， ∴f(－x)＝f(x)在R上恒成立． 即＋＝＋， (a2－1)(e2x－1)＝0，對任意的x恒成立， ∴解得a＝1. (3)∵f(x)的定義域?yàn)閇－2,2]， ∴有解得－1≤m≤.① 又f(x)為奇函數(shù)，且在[－2,0]上遞減， ∴在[－2,2]上遞減， ∴f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)?1－m>m2－1，即－2