高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫 第7章學(xué)案35

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1、 精品資料 學(xué)案35 合情推理與演繹推理 導(dǎo)學(xué)目標(biāo): 1.了解合情推理的含義,能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理,了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用.2.了解演繹推理的重要性,掌握演繹推理的基本模式,并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡單推理.3.了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異. 自主梳理 自我檢測 1.(2010·山東改編)觀察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cos x)′=-sin x,由歸納推理可得:若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=f(x),記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則g(-x)=______

2、__. 2.(2010·珠海質(zhì)檢)給出下面類比推理命題(其中Q為有理數(shù)集,R為實數(shù)集,C為復(fù)數(shù)集): ①“若a,b∈R,則a-b=0?a=b”類比推出“若a,b∈C,則a-b=0?a=b”; ②“若a,b,c,d∈R,則復(fù)數(shù)a+bi=c+di?a=c,b=d”類比推出“若a,b,c,d∈Q,則a+b=c+d?a=c,b=d”; ③“若a,b∈R,則a-b>0?a>b”類比推出“若a,b∈C,則a-b>0?a>b”.其中類比結(jié)論正確的個數(shù)是________________________________________________________.

3、 3.(2009·江蘇)在平面上,若兩個正三角形的邊長比為1∶2,則它們的面積比為1∶4,類似地,在空間中,若兩個正四面體的棱長比為1∶2,則它們的體積比為________. 4.(2010·陜西)觀察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…,根據(jù)上述規(guī)律,第五個等式為________________________________. 5.(2010·蘇州統(tǒng)一測試)一切奇數(shù)都不能被2整除,2100+1是奇數(shù),所以2100+1不能被2整除,其演繹推理的“三段論”的形式為________________________

4、______________ ________________________________________________________________________. 探究點一 歸納推理 例1 在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=,n∈N*,猜想這個數(shù)列的通項公式,這個猜想正確嗎?請說明理由. 變式遷移1 觀察:①sin210°+cos240°+sin 10°cos 40°=;②sin26°+cos236°+sin 6°cos 36°=. 由上面兩題的結(jié)

5、構(gòu)規(guī)律,你能否提出一個猜想?并證明你的猜想. 探究點二 類比推理 例2 在平面內(nèi),可以用面積法證明下面的結(jié)論: 從三角形內(nèi)部任意一點,向各邊引垂線,其長度分別為pa,pb,pc,且相應(yīng)各邊上的高分別為ha,hb,hc,則有++=1. 請你運(yùn)用類比的方法將此結(jié)論推廣到四面體中并證明你的結(jié)論. 變式遷移2 在Rt△ABC中,若∠C=90°,AC=b,BC=a,則△ABC的外接圓半徑r=,將此結(jié)論類比到空間有_____________________________________________ ________

6、________________________________________________________________ ________________________________________________________________________. 探究點三 演繹推理 例3 在銳角三角形ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,D、E是垂足.求證:AB的中點M到D、E的距離相等. 變式遷移3 指出對結(jié)論“已知和是無理數(shù),證明+是無理數(shù)”的下述證明是否為“三段論”,證明有錯誤嗎? 證明:∵無理數(shù)與無理數(shù)的和是無理數(shù),而與都是無

7、理數(shù),∴+也是無理數(shù). 1.合情推理是指“合乎情理”的推理,數(shù)學(xué)研究中,得到一個新結(jié)論之前,合情推理常常能幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論;證明一個數(shù)學(xué)結(jié)論之前,合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向.合情推理的過程概括為: ―→―→―→.一般來說,由合情推理所獲得的結(jié)論,僅僅是一種猜想,其可靠性還需進(jìn)一步證明. 2.歸納推理與類比推理都屬合情推理:(1)歸納推理:由某類事物的部分對象具有某些特征,推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理,或由個別事實概括出一般結(jié)論的推理,稱為歸納推理.它是一種由部分到整體,由個別到一般的推理.(2)類比推理:由

8、兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征,推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理,它是一種由特殊到特殊的推理. 3.從一般性的原理出發(fā),推出某個特殊情況下的結(jié)論,把這種推理稱為演繹推理,也就是由一般到特殊的推理,三段論是演繹推理的一般模式,包括大前提,小前提,結(jié)論. (滿分:90分) 一、填空題(每小題6分,共48分) 1.(2010·福建廈門華僑中學(xué)模擬)定義A*B,B*C,C*D,D*A的運(yùn)算分別對應(yīng)下圖中的(1)、(2)、(3)、(4),那么下圖中的(A)、(B)所對應(yīng)的運(yùn)算結(jié)果分別為________________. 2.(2010

9、·廈門模擬)設(shè)f(x)=,又記f1(x)=f(x),fk+1(x)=f(fk(x)),k=1,2,…,則f2 011(x)=____________. 3.由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則: ①“mn=nm”類比得到“a·b=b·a”; ②“(m+n)t=mt+nt”類比得到“(a+b)·c=a·c+b·c”; ③“(m·n)t=m(n·t)”類比得到“(a·b)·c=a·(b·c)”; ④“t≠0,mt=xt?m=x”類比得到“p≠0,a·

10、;p=x·p?a=x”; ⑤“|m·n|=|m|·|n|”類比得到“|a·b|=|a|·|b|”; ⑥“=”類比得到“=”. 以上的式子中,類比得到的結(jié)論正確的個數(shù)是________. 4.(2011·南通月考)有一個奇數(shù)列1,3,5,7,9,…,現(xiàn)在進(jìn)行如下分組:第一組含有一個數(shù)1,第二組含有兩個數(shù)3,5;第三組含有三個數(shù):7,9,11;第四組含有四個數(shù):13,15,17,19;…試觀察每組內(nèi)各數(shù)之和與組的編號數(shù)n的關(guān)系為______________________. 5.已知整數(shù)的數(shù)對如下:(1,1),(1,2),(2,

11、1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…則第60個數(shù)對是________. 6.已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的,把這個結(jié)論推廣到空間正四面體,類似的結(jié)論是________________________________________________________________________ ____________. 7.(2010·廣東深圳高級中學(xué)一模)定義一種運(yùn)算“*”:對于自然數(shù)n滿足以下運(yùn)算性質(zhì): (1)1] . 8.(2011·陜西,13)觀察下列等式 1=1 2+3

12、+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 … 照此規(guī)律,第n個等式為___________________________________________________. 二、解答題(共42分) 9.(14分)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=-,且Sn++2=0(n≥2).計算S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表達(dá)式. 10.(14分)已知函數(shù)f(x)=- (a>0且a≠1), (1)證明:函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點對稱; (2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(

13、2)+f(3)的值. 11.(14分)如圖1,若射線OM,ON上分別存在點M1,M2與點N1,N2,則=·;如圖2,若不在同一平面內(nèi)的射線OP,OQ和OR上分別存在點P1,P2,點Q1,Q2和點R1,R2,則類似的結(jié)論是什么?這個結(jié)論正確嗎?說明理由. 學(xué)案35 合情推理與演繹推理 答案 自主梳理 歸納推理 一般性 部分 個別 類比推理?、僖话阈栽怼、谔厥鈱ο蟆、厶厥鈱ο蟆∫话恪√厥? 自我檢測 1.-g(x) 解析 由所給函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)知,偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù).因此當(dāng)f(x)是偶

14、函數(shù)時,其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù),故g(-x)=-g(x). 2.2 解析?、佗谡_,③錯誤.因為兩個復(fù)數(shù)如果不全是實數(shù),不能比較大?。? 3.1∶8 解析 ∵兩個正三角形是相似的三角形,∴它們的面積之比是相似比的平方.同理,兩個正四面體是兩個相似幾何體,體積之比為相似比的立方,所以它們的體積比為1∶8. 4.13+23+33+43+53+63=212 解析 由前三個式子可以得出如下規(guī)律:每個式子等號的左邊是從1開始的連續(xù)正整數(shù)的立方和,且個數(shù)依次多1,等號的右邊是一個正整數(shù)的平方,后一個正整數(shù)依次比前一個大3,4,…,因此,第五個等式為13+23+33+43+53+63=212. 5.

15、一切奇數(shù)都不能被2整除 大前提 2100+1是奇數(shù) 小前提 所以2100+1不能被2整除 結(jié)論 課堂活動區(qū) 例1 解題導(dǎo)引 歸納分為完全歸納和不完全歸納,由歸納推理所得的結(jié)論雖然未必是可靠的,但它由特殊到一般、由具體到抽象的認(rèn)識功能,對科學(xué)的發(fā)現(xiàn)是十分有用的,觀察、實驗,對有限的資料作歸納整理,提出帶規(guī)律性的說法是科學(xué)研究的最基本的方法之一. 解 在{an}中,a1=1,a2==, a3===,a4==,…, 所以猜想{an}的通項公式為an=. 這個猜想是正確的,證明如下: 因為a1=1,an+1=, 所以==+, 即-=,所以數(shù)列是以=1為首項, 為公差的等差數(shù)列,

16、 所以=1+(n-1)×=n+, 所以通項公式an=. 變式遷移1 解 猜想sin2α+cos2(α+30°)+sin αcos(α+30°)=. 證明如下: 左邊=sin2α+cos(α+30°)[cos(α+30°)+sin α] =sin2α+ =sin2α+cos2α-sin2α==右邊. 例2 解題導(dǎo)引 類比推理是根據(jù)兩個對象有一部分屬性類似,推出這兩個對象的其他屬性亦類似的一種推理方法,例如我們拿分式同分?jǐn)?shù)來類比,平面幾何與立體幾何中的某些對象類比等等.我們必須清楚類比并不是論證,它可以幫助我們發(fā)現(xiàn)真理.類比推理應(yīng)從

17、具體問題出發(fā),通過觀察、分析、聯(lián)想進(jìn)行對比、歸納、提出猜想. 解  類比:從四面體內(nèi)部任意一點向各面引垂線,其長度分別為pa,pb,pc,pd,且相應(yīng)各面上的高分別為ha,hb,hc,hd,則有+++=1. 證明如下: ==, 同理有=,=,=, VP—BCD+VP—CDA+VP—BDA+VP—ABC=VA—BCD, ∴+++ ==1. 變式遷移2 在三棱錐A—BCD中,若AB、AC、AD兩兩互相垂直,且AB=a,AC=b,AD=c,則此三棱錐的外接球半徑R= 例3 解題導(dǎo)引 在演繹推理中,只有前提(大前提、小前提)和推理形式都是正確的,結(jié)論才是正確的,否則所得的結(jié)論可

18、能就是錯誤的.推理時,要清楚大前提、小前提及二者之間的邏輯關(guān)系. 證明 (1)因為有一個內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形,——大前提 在△ABD中,AD⊥BC,即∠ADB=90°,——小前提 所以△ADB是直角三角形.——結(jié)論 (2)因為直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,——大前提 而M是Rt△ADB斜邊AB的中點,DM是斜邊上的中線,——小前提 所以DM=AB.——結(jié)論 同理EM=AB,所以DM=EM. 變式遷移3 解 證明是“三段論”模式,證明有錯誤.證明中大前提使用的論據(jù)是“無理數(shù)與無理數(shù)的和是無理數(shù)”,這個論據(jù)是假的,因為兩個無理數(shù)的和不一定是無理數(shù),因此原

19、理的真實性仍無法斷定. 課后練習(xí)區(qū) 1.B*D,A*C 解析 由(1)(2)(3)(4)圖得A表示|,B表示□,C表示—,D表示○,故圖(A)(B)表示B*D和A*C. 2. 解析 計算f2(x)=f==-, f3(x)=f==, f4(x)==x,f5(x)=f1(x)=, 歸納得f4k+i(x)=fi(x),k∈N*,i=1,2,3,4. ∴f2 011(x)=f3(x)=. 3.2 解析 只有①、②對,其余錯誤. 4.每組內(nèi)各數(shù)之和等于n3 解析 1=13,3+5=23,7+9+11=33. 猜想每組內(nèi)各數(shù)之和等于n3. 5.(5,7) 解析 觀察可知橫坐

20、標(biāo)和縱坐標(biāo)之和為2的數(shù)對有1個,和為3的數(shù)對有2個,和為4的數(shù)對有3個,和為5的數(shù)對有4個,依次類推和為n+1的數(shù)對有n個,多個數(shù)對的排序是按照橫坐標(biāo)依次增大的順序來排的,由=60?n(n+1)=120,n∈Z,n=10時,=55(個)數(shù)對,還差5個數(shù)對,且這5個數(shù)對的橫、縱坐標(biāo)之和為12,它們依次是(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7), ∴第60個數(shù)對是(5,7). 6.空間正四面體的內(nèi)切球的半徑是高的 解析 利用體積分割可證明. 7.n 解析 由(n+1)*1=n*1+1,得n*1=(n-1)*1+1=(n-2)*1+2=…=1] 8.n+(n+1)+

21、…+(3n-2)=(2n-1)2 解析 ∵1=12,2+3+4=9=32,3+4+5+6+7=25=52,∴第n個等式為n+(n+1)+…+(3n-2)=(2n-1)2. 9.解 當(dāng)n=1時,S1=a1=-.(2分) 當(dāng)n=2時,=-2-S1=-, ∴S2=-.(5分) 當(dāng)n=3時,=-2-S2=-, ∴S3=-.(8分) 當(dāng)n=4時,=-2-S3=-, ∴S4=-.(11分) 猜想:Sn=- (n∈N*).(14分) 10.(1)證明 函數(shù)f(x)的定義域為R, 任取一點(x,y),它關(guān)于點對稱的點的坐標(biāo)為(1-x,-1-y).(2分) 由已知得y=-, 則-1-y

22、=-1+=-,(4分) f(1-x)=-=- =-=-, ∴-1-y=f(1-x). 即函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點對稱.(7分) (2)解 由(1)有-1-f(x)=f(1-x), 即f(x)+f(1-x)=-1.(10分) ∴f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1, f(0)+f(1)=-1, 則f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3. (14分) 11.解 類似的結(jié)論為:=··. (4分) 這個結(jié)論是正確的,證明如下: 如圖,過R2作R2M2⊥平面P2OQ2于M2,連結(jié)OM2. 過R1在平面OR2M2作R1M1∥R2M2交OM2于M1, 則R1M1⊥平面P2OQ2. 由VO—P1Q1R1=S△P1OQ1·R1M1=·OP1·OQ1·sin∠P1OQ1·R1M1 =OP1·OQ1·R1M1·sin∠P1OQ1,(8分) 同理,VO—P2Q2R2=OP2·OQ2·R2M2·sin∠P2OQ2. 所以=.(10分) 由平面幾何知識可得=.(12分) 所以=. 所以結(jié)論正確.(14分)

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