高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫第十章 第3講拋物線

上傳人:仙*** 文檔編號:43051636 上傳時間:2021-11-29 格式:DOC 頁數(shù):8 大?。?62KB
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1、 精品資料 第3講 拋物線 一、填空題 1.拋物線y=ax2的準(zhǔn)線方程是y=2,則a=________. 解析 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=y(tǒng),由條件得2=-,a=-. 答案?。? 2.直線y=x-3與拋物線y2=4x交于A、B兩點,過A、B兩點向拋物線 的準(zhǔn)線作垂線,垂足分別為P、Q,則梯形APQB的面積為________. 解析 由題不妨設(shè)A在第一象限,聯(lián)立y=x-3和y2=4x可得A(9,6),B(1,-2),而拋物線的準(zhǔn)線方程是x=-1,所以AP=10,QB=2,PQ=8,故S梯形APQB=(AP+QB)·P

2、Q=48. 答案 48 3.直線4kx-4y-k=0與拋物線y2=x交于A、B兩點,若|AB|=4,則弦 AB的中點到直線x+=0的距離等于________. 解析 直線4kx-4y-k=0,即y=k(x-),即直線4kx-4y-k=0過拋物線y2=x的焦點.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=x1+x2+=4,故x1+x2=,則弦AB的中點的橫坐標(biāo)是,所以弦AB的中點到直線x+=0的距離是+=. 答案 4.已知拋物線y2=2px(p>0),過點E(m,0)(m≠0)的直線交拋物線于點 M、N,交y軸于點P,若=λ,=μ,則λ+μ=________.

3、 解析 由題意知,λ+μ為定值,因此可以取E,此時將直線MN化為特殊直線y=x-,此時點P,設(shè)點M(x1,y1)、N(x2,y2),則由得x2-3px+=0,所以x1+x2=3p,x1x2=.由=λ,=μ得x1=λ,x2=μ,則λ=,μ=,所以λ+μ=+ ===-1. 答案 -1 5.已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,準(zhǔn)線為l,過拋物線C上的點A作 準(zhǔn)線l的垂線,垂足為M,若△AMF與△AOF(其中O 為坐標(biāo)原點)的面積之比為3∶1,則點A的坐標(biāo)為________. 解析 如圖所示,由題意,可得OF=1,由拋物線的定義, 得AF=AM,[來源:] ∵△AMF與△

4、AOF(其中O為坐標(biāo)原點)的面積之比為3∶1, ∴ = =3, ∴AF=AM=3,設(shè)A, ∴+1=3,解得y0=±2. ∴=2,∴點A的坐標(biāo)是(2,±2). 答案 (2,±2) 6.設(shè)F為拋物線y2=4x的焦點,A,B,C為該拋物線上三點,若+ +=0,則||+||+||=________. 解析 設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),又F(1,0). 由++=0知(x1-1)+(x2-1)+(x3-1)=0, 即x1+x2+x3=3, ||+||+||=x1+x2+x3+p=6. 答案 6[來源:數(shù)理化網(wǎng)]

5、7.設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,準(zhǔn)線為l,點A(0,2),連接FA交拋 物線于點B,過B作l的垂線,垂足為M,若AM⊥MF,則p的值為________. 解析 由拋物線定義可知BM=BF,又由平面幾何知識得BM=BA,所以點B為AF的中點,又B在拋物線上,所以12=2p×,即p2=2,又p>0,故p=. 答案 8. 如圖,過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線l交拋物線于點A、B,交其準(zhǔn)線于點C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,則此拋物線的方程為________. 解析 作AM,BN垂直于準(zhǔn)線,準(zhǔn)線與x軸交點為E,設(shè)|B

6、F|=t,則|BC|=2t. 則可得=,即=, 解得t=1.又=,即=, ∴P=.∴拋物線方程為y2=3x. 答案 y2=3x 9.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,F(xiàn)關(guān)于原點的對稱點為P,過F作x軸的垂線交拋物線于M、N兩點,有下列四個命題: ①△PMN必為直角三角形;②△PMN不一定為直角三角形;③直線PM必與拋物線相切;④直線PM不一定與拋物線相切.其中正確的命題是________(填序號). 解析 因為PF=MF=NF,故∠FPM=∠FMP,∠FPN=∠FNP,從而可知∠MPN=90°,故①正確,②錯誤:令直線PM的方程為y=x+,代入拋物線方程可得y

7、2-2py+p2=0,Δ=0,所以直線PM與拋物線相切,故③正確,④錯誤. 答案?、佗? 10.已知拋物線y2=8x的焦點為F,拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點為K,點A在拋物線上且AK=AF,則△AFK的面積為________. 解析 如圖,過點A作AB⊥l于點B(l為準(zhǔn)線),則由拋物線的定義,得AB=AF.因為AK=AF,所以AK=AB,所以∠AKF=∠AKB=45°,設(shè)A(2t2,4t),由K(-2,0),得=1,得t=1,所以S△AKF=×4×4=8. 答案 8 二、解答題 11.如圖,已知中心在原點O、焦點在x軸上的橢圓T過點M(2,1),離心率為;拋

8、物線C頂點在原點,對稱軸為x軸且過點M. (1)當(dāng)直線l0經(jīng)過橢圓T的左焦點且平行于OM時,求直線l0的方程; (2)若斜率為-的直線l不過點M,與拋物線C交于A、B兩個不同的點,求證:直線MA,MB與x軸總圍成等腰三角形. 解 (1)由e==,可設(shè)橢圓T方程為+=1, 將M(2,1)代入可得b2=2,∴橢圓T的方程為+=1. 因此左焦點為(-,0),斜率kl0=kOM=, ∴直線l0的方程為y=(x+),即y=x+. (2)拋物線C的方程為y2=x. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線MA,MB的斜率分別為k1,k2,則k1=,k2=, kAB===-,∴y1+

9、y2=-2. k1+k2=+=+ ==0, ∴直線MA,MB與x軸總圍成等腰三角形. 12. 如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線的頂點在原點,焦點為F(1,0),過拋物線在x軸上方的不同兩點A、B作拋物線的切線AC、BD,與x軸分別交于C、D兩點,且AC與BD交于點M,直線AD與BC交于點N. (1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)求證:MN⊥x軸; (3)若直線MN與x軸的交點恰為F(1,0),求證:直線AB過定點. 解 (1)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0), 由題意,得=1,即p=2.∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x. (2)設(shè)A(x1,y1),B(x2

10、,y2),且y1>0,y2>0. 由y2=4x(y>0),得y=2,∴y′=. ∴切線AC的方程為y-y1=(x-x1), 即y-y1=(x-x1). 整理,得yy1=2(x+x1), ① 且C點坐標(biāo)為(-x1,0). 同理得切線BD的方程為yy2=2(x+x2), ② 且D點坐標(biāo)為(-x2,0). 由①②消去y,得xM=. 又直線AD的方程為y=(x+x2), ③ 直線BC的方程為y=(x+x1). ④ 由③④消去y,得xN=. ∴xM=xN,即MN⊥x軸. (3)由題意,設(shè)M(

11、1,y0),代入(2)中的①②, 得y0y1=2(1+x1),y0y2=2(1+x2), ∴A(x1,y1),B(x2,y2)都滿足方程y0y=2(1+x). ∴直線AB的方程為y0y=2(1+x). 故直線AB過定點(-1,0). 13.設(shè)M、N為拋物線C:y=x2上的兩個動點, 過M、N分別作拋物線C的切線l1、l2,與x軸分別交于 A、B兩點,且l1與l2相交于點P,若AB=1. (1)求點P的軌跡方程; (2)求證:△MNP的面積為一個定值,并求出這個定值. 解 (1)設(shè)M(m,m2),N(n,n2),則依題意知,切線l1,l2的方程分別為y=2mx-m2,y

12、=2 x-n2, 則A,B,設(shè)P(x,y),由, 得,① 因為AB=1,所以|n-m|=2, 即(m+n)2-4mn=4,將①代入上式得:y=x2-1, ∴點P的軌跡方程為y=x2-1. (2)證明:設(shè)直線MN的方程為y=kx+b(b>0). 聯(lián)立方程,消去y得x2-kx-b=0,所以m+n=k,mn=-b,② 點P到直線MN的距離[來源:] d=, MN=|m-n|, ∴S△MNP=d·MN=·|m-n| =·(m-n)2·|m-n|=2. 即△MNP的面積為定值2. 14.拋物線y2=4x的焦點為F,A(x1,y1)

13、,B(x2,y2)(x1>x2,y1>0,y2<0)在拋 物線上,且存在實數(shù)λ,使+λ=0,||=. (1)求直線AB的方程; (2)求△AOB的外接圓的方程. 解 (1)拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=-1. ∵+λ=0,∴A,B,F(xiàn)三點共線. 由拋物線的定義,得||=x1+x2+2. 設(shè)直線AB:y=k(x-1),而k=,x1>x2,y1>0,y2<0,∴k>0. 由得 k2x2-2(k2+2)x+k2=0. ∴ ||=x1+x2+2=+2=. ∴k2=. 從而k=,故直線AB的方程為y=(x-1), 即4x-3y-4=0. (2)由 求得A(4,4),B. 設(shè)△AOB的外接圓方程為 x2+y2+Dx+Ey+F=0,則 解得 故△AOB的外接圓的方程為 x2+y2-x-y=0.

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