高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫第十一章 第1講兩個基本計(jì)數(shù)原理

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1、 精品資料 第十一章 計(jì)數(shù)原理 第1講 兩個基本計(jì)數(shù)原理 一、填空題 1.5名運(yùn)動員爭奪三個項(xiàng)目的冠軍(不能并列),所有可能的結(jié)果共有_______種. 解析 第n個項(xiàng)目的冠軍可由5名運(yùn)動員中的任一人取得,共5種方法(n=1,2,3),根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,所有可能的結(jié)果共有5×5×5=53(種). 答案 53 2.現(xiàn)有4名教師參加說題比賽,共有4道備選題目,若每位選手從中有放回地隨機(jī)選出一道題進(jìn)行說題,其中恰有一道題沒有被這4位選中的情況有________種. 解析 首先選擇題目,從4道題目中選出3

2、道,選法為C,而后再將獲得同一道題目的2位老師選出,選法為C,最后將3道題目,分配給3組老師,分配方式為A,即滿足題意的情況共有CCA=144(種). 答案 144 3.某次活動中,有30人排成6行5列,現(xiàn)要從中選出3人進(jìn)行禮儀表演,要求這3人中的任意2人不同行也不同列,則不同的選法種數(shù)為________(用數(shù)字作答). 解析 其中最先選出的一個人有30種方法,此時不能再從這個人所在的行和列共9個位置上選人,還剩一個5行4列的隊(duì)形,故選第二個人有20種方法,此時不能再從該人所在的行和列上選人,還剩一個4行3列的隊(duì)形,此時第三個人的選法有12種,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,總的選法種數(shù)是30&#

3、215;20×12=7 200. 答案 7 200 4.如圖所示的陰影部分由方格紙上3個小方格組成,我們稱這樣的圖案為L型(每次旋轉(zhuǎn)90°仍為L型圖案),那么在由4×5個小方格組成的方格紙上可以畫出不同位置的L型圖案的個數(shù)是________. 答案 48 5.如圖所示,在連接正八邊形的三個頂點(diǎn)而成的三角形中,與正八邊形有公共邊的三角形有________個. 答案 40 6.已知集合A={1,2,3,4},B={5,6,7},C={8,9},現(xiàn)在從這三個集合中取出兩個集合,再從這兩個集合中各取出的一個元素,組成一個含有兩個元素的集合,則一共可組成集合

4、________個. 解析 分三類:第一類:若取出的集合是A,B,則可組成4×3=12個集合;第二類:若取出的集合是A,C,則可組成4×2=8個集合;第三類:若取出的集合是B,C,則可組成3×2=6個集合,故一共可組成12+8+6=26個集合. 答案 26 7.將數(shù)字1,2,3,4,5,6按第一行1個數(shù),第二行2個數(shù),第三行3個數(shù)的形式隨機(jī)排列,設(shè)Ni(i=1,2,3)表示第i行中最大的數(shù),則滿足N1<N2<N3的所有排列的個數(shù)是________(用數(shù)字作答). 解析 由已知數(shù)字6一定在第三行,第三行的排法種數(shù)為AA=60;剩余的三個數(shù)字中最大的一定排

5、在第二行,第二行的排法種數(shù)為AA=4,由分步計(jì)數(shù)原理滿足條件的排列個數(shù)是240. 答案 240 8. 數(shù)字1,2,3,…,9這九個數(shù)字填寫在如圖的9個空格中,要求每一行從左到右依次增大,每列從上到下也依次增大,當(dāng)數(shù)字4固定在中心位置時,則所有填寫空格的方法共有________種. 解析 必有1、4、9在主對角線上,2、3只有兩種不同的填法,對于它們的每一種填法,5只有兩種填法.對于5的每一種填法,6、7、8只有3種不同的填法,由分步計(jì)數(shù)原理知共有22×3=12(種)填法. 答案 12 9.從集合U={a,b,c,d}的子集中選出4個不同的子集,需同時滿足以下兩個條件: (

6、1)?,U都要選出; (2)對選出的任意兩個子集A和B,必有A?B或A?B.那么,共有________種不同的選法. 解析 將選法分成兩類.第一類:其中一個是單元素集合,則另一集合為含兩個或三個元素且含有單元素集合中的元素,有C×6=24(種). 第二類:其中一個是兩個元素集合,則另一個是含有這兩個元素的三元素集合,有C×2=12(種). 綜上共有24+12=36(種). 答案 36 10.如果一條直線與一個平面垂直,那么,稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”,在一個正方體中,由兩個頂點(diǎn)確定的直線與含有四個頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是________.

7、 解析 正方體的一條棱對應(yīng)著2個“正交線面對”,12條棱共對應(yīng)著24個“正交線面對”;正方體的一條面對角線對應(yīng)著1個“正交線面對”,12條面對角線對應(yīng)著12上“正交線面對”,共有36個. 答案 36 二、解答題 11.某外語組有9人,每人至少會英語和日語中的一門,其中7人會英語,3人會日語,從中選出會英語和日語的各一人,有多少種不同的選法? 解 由題意得有1人既會英語又會日語,6人只會英語,2人只會日語. 第一類:從只會英語的6人中選1人說英語,共有6種方法,則說日語的有2+1=3(種),此時共有6×3=18(種); 第二類:不從只會英語的6人中選1人說英語,則只

8、有1種方法,則選會日語的有2種,此時共有1×2=2(種);[來源:] 所以根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知共有18+2=20(種)選法. 12. 如圖,用四種不同顏色給圖中的A,B,C,D,E,F(xiàn)六個點(diǎn)涂色,要求每個點(diǎn)涂一種顏色,且圖中每條線段的兩個端點(diǎn)涂不同顏色.則不同的涂色方法共有多少種? 解 先涂A、D、E三個點(diǎn),共有4×3×2=24(種)涂法,然后再按B、C、F的順序涂色,分為兩類:一類是B與E或D同色,共有2×(2×1+1×2)=8(種)涂法;另一類是B與E或D不同色,共有1×(1×1+1×2)=3(種

9、)涂法.所以涂色方法共有24×(8+3)=264(種). 13.用n種不同的顏色為兩塊廣告牌著色(如圖甲、乙所示).要求在①,②,③,④四個區(qū)域中相鄰(有公共邊界)的區(qū)域不用同一種顏色. (1)若n=6,為甲著色時共有多少種不同的方法? (2)若為乙著色時共有120種不同的方法,求n的值. 解 完成著色這件事,共分為四個步驟,可以依次考慮為①,②,③,④這四個區(qū)域著色時各自的方法數(shù),再利用分步乘法計(jì)數(shù)原理確定出總的著色種數(shù),因此有: (1)為①區(qū)域著色時有6種方法,為②區(qū)域著色時有5種方法,為③區(qū)域著色時有4種方法,為④區(qū)域著色時有4種方法,∴依據(jù)分步(乘法)計(jì)數(shù)原理,

10、不同的著色方法為6×5×4×4=480(種). (2)由題意知,為①區(qū)域著色時有n種方法,為②區(qū)域著色時有(n-1)種方法,為③區(qū)域著色時有(n-2)種方法,為④區(qū)域著色時有(n-3)種方法,由分步計(jì)數(shù)原理得不同的著色數(shù)為n(n-1)(n-2)(n-3).∴n(n-1)(n-2)(n-3)=120. 而120=5×4×3×2,∴n=5. 14.已知集合A={a1,a2,a3,a4},B={0,1,2,3},f是從A到B的映射. (1)若B中每一元素都有原象,這樣不同的f有多少個? (2)若B中的元素0無原象,這樣的f有多少個

11、? (3)若f滿足f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)=4,這樣的f又有多少個? 解 (1)顯然對應(yīng)是一一對應(yīng)的,即a1找象有4種方法,a2找象有3種方法,a3找象有2種方法,a4找象有1種方法,所以不同的f共有4×3×2×1=24(個). (2)0無原象,1,2,3有無原象不限,所以為A中每一元素找象時都有3種方法.所以不同的f共有34=81(個). (3)分為如下四類: 第一類,A中每一元素都與1對應(yīng),有1種方法; 第二類,A中有兩個元素對應(yīng)1,一個元素對應(yīng)2,另一個元素與0對應(yīng),有C·C=12(種)方法; 第三類,A中有兩個元素對應(yīng)2,另兩個元素對應(yīng)0,有C·C=6(種)方法; 第四類,A中有一個元素對應(yīng)1,一個元素對應(yīng)3,另兩個元素與0對應(yīng),有C·C=12(種)方法. 所以不同的f共有1+12+6+12=31(個).

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